高数经管类-第四章导数应用-4.1洛必达法则

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第四章导数的应用4.1洛必达法则

4.1.1“”型未定式的极限定理4.1.1

设函数与满足条件：（1），；（2）在点的某个邻域内，与都存在且；（3）（或）；

则有（或）说明：将更换成等趋向时，只要对条件（2）做出相应修改后，定理仍然成立．例1

求解这是一个“”型未定式，我们曾经在第2章利用三角公式解决过这个极限．由于它也满足洛必达法则的条件，所以我们现在用洛必达法则来看一看．

原式=这里，我们应用了第一个重要极限：例2

求解这是一个“”型未定式，其中的常数

原式=注意：因为满足洛必达法则条件，所以利用洛必达法则，有4.1.1“”型未定式的极限定理4.1.2

设函数与满足条件：（1），；（2）在点的某个邻域内，与都存在且；（3）（或）；

则有（或）说明：将更换成等趋向时，只要对条件（2）做出相应修改后，定理仍然成立．例3

求解因为且，所以这是一个“”型未定式．利用洛必达法则，得原式====0一般地，有(为正整数)例4

求解这是一个“”型未定式．利用洛必达法则，得原式====

====0本题中，根据题目需要，在条件满足的情况下，我们使用了三次洛必达法则．一般来说，只要条件满足，洛必达法则是可以多次使用的．有一部分未定式是不能应用洛必达法则求出极限的，这时要考虑其它的方法来解决。例5

求

解本题是一个“”型未定式．若使用洛必达法则

==但是不存在的．这说明洛必达法则失效．事实上，有===0例6

求

解本题是一个“”型未定式．若使用洛必达法则

=====原式=这显然就是开始时的极限．洛必达法则在这个极限上不成立．其实，这个未定式极限并不难解决．事实上，有原式

=14.1.3其它类型未定式举例例7

求

解由于，，所以，这是一个“”型的未定式极限．可以将其转化为“”型的未定式．

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