概率论ppt课件 概率5

§5.1大数定律§5.2中心极限定理大数定律及中心极限定理第五章本章要解决的问题

2023/3/1421.为何能以某事件发生的频率

作为该事件的概率的估计？2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？4.大样本统计推断的理论基础是什么？大数定律中心极限定理

大量的随机现象中平均结果的稳定性大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率一、大数定律主要：(1)频率稳定性(2)大量测量结果算术平均值的稳定性。定理

设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,

则对任意的正数，有

--------切比雪夫(chebyshev)不等式．切比雪夫不等式证明:（X为连续型）设X的概率密度为f(x)，则(1)这个不等式给出了在随机变量X的分布未知的情况下事件|x-μ|<ε的概率的一种估计方法。例如:(2)切比雪夫不等式也从另一角度体现了方差D(X)的意义。从切比雪夫不等式可以看出，随机变量X的方差越小，则X的取值越集中在其中心E(X)的附近。方差越小，X取值越集中在区间(E(X)-ε,E(X)+ε)之内。意义：切比雪夫不等式(3)可以证明方差性质（P136）例1一台设备由10个独立工作的元件组成,每一元件在时间T发生故障的概率为0.05．设在时间T发生故障的元件数为X.试用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望的偏差（若不对称？P135例5.1）（a）小于2；(b)不小于2的概率．解（a）由题意知X~b(10,0.05)，且由切比雪夫不等式，得E(X)=0.5D(X)=0.475(b)

性质：设则称随机变量序列Y1,Y2,…,Yn

,...依概率收敛于a

，记为:若对任意正数，有定义1

设Y1,Y2…,Yn

,...为一随机变量序列,a是常数.,g(x,y)在点(a,b)连续,则定理1

（辛钦大数定理）设随机变量序列X1,X2,…,Xn,...相互独立同分布，数学期望E(Xk)=

(k=1,2,...),则对任意即的>0,有【注】

辛钦大数定理不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.证由切比雪夫不等式即推论1（伯努利大数定律）设nA是n次独立重复试验中A发生的次数.p是事件A在每次试验中发生的概率,则对任意>0,有因而E(Xk)=p，

(k=1,2,...),由辛钦大数定理证:因为有即

1.伯努利大数定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性.【注】2.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.在实际应用中，当试验次数很大时，往往用事件发生的频率来代替事件的概率．

二、中心极限定理中心极限定理的客观背景

在实际问题中，常需考虑许多随机因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响.瞄准时的误差，如空气阻力所产生的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等.对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.

观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大.则这种量一般都服从或近似服从正态分布.现在我们研究独立随机变量之和的规律性问题：1.当n无限增大时，这个和的极限分布是什么？2.在什么条件下极限分布是正态分布？3.考虑n个随机变量之和的标准化的随机变量的分布函数的极限.定理1

设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,服从同一分布,且E(Xk)=，D(Xk)=20(k=1,2,...),则定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.的分布函数Fn(x)满足:对任意实数x，有(证明略)独立同分布的中心极限定理例1

一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g，求一盒螺丝钉的重量超过10.2kg的概率.且解：设Xi

为第i个螺丝钉的重量,i=1,2,…,100.Xi相互独立同分布.于是,一盒螺丝钉的重量为由中心极限定理定理2(李雅普诺夫定理)设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,

E(Xk)=k，D(Xk)=2k0(k=1,2,...),

当n充分大时，Zn的分布近似于标准正态分布.记,若存在>0,使得则随机变量的分布函数Fn(x)对任意x，有(证明略)证由§4.2例知,n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分布的随机变量X1,...,Xn之和，即定理3(棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量n(n=1,2,…)服从参数为n，p(0<p<1)的二项分布，则对任意x，恒有此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，所以当n充分大时，我们可以用正态分布近似二项分布.由定理1知，例2

某车间有200台车床独立工作,设每台车床的开工率为0.6,开工时耗电1千瓦，问供电所至少要供多少电才能以不小于99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产？

至少供电142千瓦,才能保证车间以不小于99.9%的概率正常工作.

由定理3解记X为200台车床中工作着的车床台数，则X~b(200,0.6)．按题意，要求最小的k，使P{Xk}0.999例3

在人寿保险公司里,有3000个同一年龄的人参加保险.设在一年内这些人的死亡率为0.1%,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元，死亡时，家属可从保险公司领取2000元．求（1）保险公司一年中获利不小于10000元的概率；（2）保险公司亏本的概率是多少？解设一年中死亡人数为X，X=0,1,…,3000,死亡率=0.001,则

而由拉普拉斯定理，有(1)P{保险公司获利不小于10000元}=P{30000-2000X10000}=P{0X10},即一年中保险公司获利10000元以上的概率为96%．X~b(3000,0.001).而保险公司每年获利=300010-2000X(元)由此可见保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司亏本}=P{2000X>30000}=P{X>15}2023/3/14222023/3/14232023/3/1424