高考数学一轮复习讲义微专题38向量的数量积-数量积的投影定义（含数量积综合练习题）(含详解)

PAGE1-微专题38向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是轴上的有向线段，如果实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0与轴同向时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与轴反向时，SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为轴SKIPIF1<0上有向线段SKIPIF1<0的值。（2）点在直线上的投影：若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0外，则过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影；若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合。所以说，投影往往伴随着垂直。（3）向量的投影：已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的起点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在轴SKIPIF1<0（与SKIPIF1<0同向）上的投影分别为SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在轴SKIPIF1<0上的值称为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，向量SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量。2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0的夹角（1）SKIPIF1<0为锐角：则投影（无论是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影还是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影）均为正（2）SKIPIF1<0为直角：则投影为零（3）SKIPIF1<0为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0为例，通过构造直角三角形可以发现（1）当SKIPIF1<0为锐角时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）当SKIPIF1<0为锐角时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（3）当SKIPIF1<0为直角时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以也符合SKIPIF1<0综上可得：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0，即被投影向量的模乘以两向量的夹角4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量SKIPIF1<0数量积公式为SKIPIF1<0，可变形为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量SKIPIF1<0的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即SKIPIF1<0（记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：SKIPIF1<0即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题二、典型例题：例1：已知向量满足，且，则在方向上的投影为（）A．3B．.C．D．思路：考虑SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，所以只需求出SKIPIF1<0即可。由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。进而SKIPIF1<0答案：C小炼有话说：本题主要应用投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量的模长例2：如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的高，则SKIPIF1<0的值等于（）A．0B．4C．8D．SKIPIF1<0思路：由图中垂直可得：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，只需求出SKIPIF1<0的高即可。由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B例3：两个半径分别为SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0,公共弦SKIPIF1<0长为3，如图所示，则SKIPIF1<0__________.思路：SKIPIF1<0为两个圆的公共弦，从而圆心SKIPIF1<0到弦SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0的中点，进而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影能够确定，所以考虑计算SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时可利用向量的投影定义。解：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，由圆的性质可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4：如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的值为（）A.4B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：外心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影恰好为它们的中点，分别设为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0恰好为SKIPIF1<0中点，故考虑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而在求数量积时可联想到投影法。例5：若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的取值范围是_______思路：本题中因为SKIPIF1<0位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，通过旋转SKIPIF1<0可发现，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0位于其他位置时，SKIPIF1<0点始终位于SKIPIF1<0的反向延长线上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，下面寻找最小值，即SKIPIF1<0的最大值，可得当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0最大，即为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0即为直线SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0。进而SKIPIF1<0的范围是SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外接圆上优弧SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最大值是________思路：题中SKIPIF1<0的模长为定值，考虑SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0乘以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，从而SKIPIF1<0的最大值只需寻找投影的大小，观察图形可得只有当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，投影最大。即SKIPIF1<0，只需计算SKIPIF1<0的模长即可解：当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影最大SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例7：如图，菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，若SKIPIF1<0为菱形内任意一点（含边界），则SKIPIF1<0的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：在所给菱形中SKIPIF1<0方向大小确定，在求数量积时可想到投影定义，即SKIPIF1<0乘以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，所以SKIPIF1<0的最大值只需要寻找SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的最大值即可，而SKIPIF1<0点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在SKIPIF1<0投影距离SKIPIF1<0最远的，结合图像可发现SKIPIF1<0的投影距离SKIPIF1<0最远，所以SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0表示后进行数量积运算即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：9小炼有话说：（1）从例7也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得最值的情况（2）在找到取到最值的SKIPIF1<0点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，SKIPIF1<0不便于计算），则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等）。正所谓：寻找最值用投影，而计算时却有更多方法供选择。例8：如图，在等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0内（包括边界）任一点，则SKIPIF1<0的取值范围是____________思路：因为SKIPIF1<0点为SKIPIF1<0内任一点，所以很难用定义表示出SKIPIF1<0，考虑利用投影定义。由SKIPIF1<0长为定值，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0乘以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，所以只需找到投影的范围即可。如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线，则SKIPIF1<0点的投影为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影最大且为线段SKIPIF1<0的长，当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影最小，为SKIPIF1<0，分别计算相关模长即可。在图中有条件可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为中点可得：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影分别为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例9：已知SKIPIF1<0为直角三角形SKIPIF1<0的外接圆，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0上的高，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中绕圆心SKIPIF1<0运动的一条直径，则SKIPIF1<0_________思路：本题的难点在于SKIPIF1<0是一条运动的直径，所以很难直接用定义求解。考虑到SKIPIF1<0为直径，所以延长SKIPIF1<0交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0。所求SKIPIF1<0，而由SKIPIF1<0联想到相交弦定理，从而SKIPIF1<0。考虑与已知条件联系求出直径SKIPIF1<0上的各段线段长度。由射影定理可得：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例10：已知SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：从条件上判断很难用代数方式求解，所以考虑作图观察几何特点，则SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0及所求SKIPIF1<0可想到投影与数量积的关系，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影相等，即可得到SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0。再分析SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0与和向量共线，从而SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，由此可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，作出内切圆。所求SKIPIF1<0也可视为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，即SKIPIF1<0，由内切圆性质可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0答案：C小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，从而将表达式与图形特征联系起来：一个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。三、历年好题精选（数量积三种求法综合）1、如图：在平行四边形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值是.2、已知SKIPIF1<0的半径为1，四边形SKIPIF1<0为其内接正方形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一条直径，SKIPIF1<0为正方形SKIPIF1<0边界上一动点，则SKIPIF1<0的最小值为_________3、已知点SKIPIF1<0是边长为2的正方形SKIPIF1<0的内切圆内（含边界)的一动点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<04、已知SKIPIF1<0是单位圆上互不相同的三个点,且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05、如图，SKIPIF1<0是半径为1的圆SKIPIF1<0上两点，且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上任意一点，则SKIPIF1<0的取值范围是__________6、（，福建文）设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<07、（，天津）在等腰梯形SKIPIF1<0中,已知SKIPIF1<0,动点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别在线段SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上,且,SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值为____答案：SKIPIF1<08、（，山东）已知菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<09、（，福建）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<010、（2016，无锡联考）如图，已知正方形SKIPIF1<0的边长为2，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径，作弧交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0为劣弧SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为________11、（2016，南京金陵中学期中）如图，梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______12、已知圆SKIPIF1<0的直径为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是圆周上异于SKIPIF1<0的一点，且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<013、如图，在半径为1的扇形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为弧上的动点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值是__________14、如图，已知圆SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的内接正方形，SKIPIF1<0分别为边SKIPIF1<0的中点，当正方形SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0圆心转动时，SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<015、在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<016、如图，在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0习题答案：1、答案：SKIPIF1<0解析：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．2、答案：SKIPIF1<0解析：以SKIPIF1<0为坐标轴建系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值只需找到SKIPIF1<0的最小值即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<03、答案：C解析：考虑如图建立坐标系，可得：SKIPIF1<0，内切圆方程为：SKIPIF1<0，故设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<04、答案：B解析：设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<05、答案：SKIPIF1<0解析：方法一：以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴建系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。所以SKIPIF1<0方法二：考虑SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，利用数量积投影定义数形结合可知SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合；当SKIPIF1<0取最小值时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0反向延长线与圆SKIPIF1<0的交点处，经计算可得：SKIPIF1<06、答案：A解析：由已知可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<07、答案：SKIPIF1<0解析：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.8、答案：D解析：SKIPIF1<09、答案：A解析：以SKIPIF1<0为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为单位