高考数学一轮复习讲义微专题12复合函数零点问题(含详解)

PAGE1-微专题12复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0定义域的子集，那么SKIPIF1<0通过SKIPIF1<0的联系而得到自变量SKIPIF1<0的函数，称SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的复合函数，记为SKIPIF1<02、复合函数函数值计算的步骤：求SKIPIF1<0函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0SKIPIF1<03、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求SKIPIF1<0的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出SKIPIF1<0的值。例如：已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0解：令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0综上所述：SKIPIF1<0由上例可得，要想求出SKIPIF1<0的根，则需要先将SKIPIF1<0视为整体，先求出SKIPIF1<0的值，再求对应SKIPIF1<0的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于SKIPIF1<0的方程，观察有几个SKIPIF1<0的值使得等式成立；第二层是结合着第一层SKIPIF1<0的值求出每一个SKIPIF1<0被几个SKIPIF1<0对应，将SKIPIF1<0的个数汇总后即为SKIPIF1<0的根的个数6、求解复合函数SKIPIF1<0零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出SKIPIF1<0的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0解的个数，再根据个数与SKIPIF1<0的图像特点，分配每个函数值SKIPIF1<0被几个SKIPIF1<0所对应，从而确定SKIPIF1<0的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0由3个不同的解SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______思路：先作出SKIPIF1<0的图像如图：观察可发现对于任意的SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的个数分别为2个（SKIPIF1<0）和3个（SKIPIF1<0），已知有3个解，从而可得SKIPIF1<0必为SKIPIF1<0的根，而另一根为SKIPIF1<0或者是负数。所以SKIPIF1<0，可解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：5例2：关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的不相同实根的个数是（）A.3B.4C.5D.8思路：可将SKIPIF1<0视为一个整体，即SKIPIF1<0，则方程变为SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则只需作出SKIPIF1<0的图像，然后统计与SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点总数即可，共有5个答案：C例3：已知函数SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）恰有6个不同实数解，则SKIPIF1<0的取值范围是．思路：所解方程SKIPIF1<0可视为SKIPIF1<0，故考虑作出SKIPIF1<0的图像：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图像如图，由图像可知，若有6个不同实数解，则必有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例4：已知定义在SKIPIF1<0上的奇函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的实数根个数为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：已知方程SKIPIF1<0可解，得SKIPIF1<0，只需统计SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点个数即可。由奇函数可先做出SKIPIF1<0的图像，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的图像只需将SKIPIF1<0的图像纵坐标缩为一半即可。正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像。通过数形结合可得共有7个交点答案：B小炼有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数SKIPIF1<0有极值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的不同实根的个数是（）A．3B．4C．5D．6思路：SKIPIF1<0由极值点可得：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0①的两根，观察到方程①与SKIPIF1<0结构完全相同，所以可得SKIPIF1<0的两根为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可判断出SKIPIF1<0是极大值点，SKIPIF1<0是极小值点。且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有一个交点，共计3个；若SKIPIF1<0，可判断出SKIPIF1<0是极小值点，SKIPIF1<0是极大值点。且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，而SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点答案：A例6：已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0恰有七个不相同的实根，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：考虑通过图像变换作出SKIPIF1<0的图像（如图），因为SKIPIF1<0最多只能解出2个SKIPIF1<0，若要出七个根，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0答案：B例7：已知函数SKIPIF1<0，若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有4个不相等的实数根，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：SKIPIF1<0，分析SKIPIF1<0的图像以便于作图，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0正半轴为水平渐近线；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减。由此作图，从图像可得，若恰有4个不等实根，则关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，从而将问题转化为根分布问题，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的两根SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0答案：C小炼有话说：本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。例8：已知函数SKIPIF1<0，则下列关于函数SKIPIF1<0的零点个数判断正确的是（）A.当SKIPIF1<0时，有4个零点；当SKIPIF1<0时，有1个零点B.当SKIPIF1<0时，有3个零点；当SKIPIF1<0时，有2个零点C.无论SKIPIF1<0为何值，均有2个零点D.无论SKIPIF1<0为何值，均有4个零点思路：所求函数的零点，即方程SKIPIF1<0的解的个数，先作出SKIPIF1<0的图像，直线SKIPIF1<0为过定点SKIPIF1<0的一条直线，但需要对SKIPIF1<0的符号进行分类讨论。当SKIPIF1<0时，图像如图所示，先拆外层可得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0有两个对应的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也有两个对应的SKIPIF1<0，共计4个；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的图像如图所示，先拆外层可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0只有一个满足的SKIPIF1<0，所以共一个零点。结合选项，可判断出A正确答案：A例9：已知函数SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正实数）的实数根最多有___________个思路：先通过分析SKIPIF1<0的性质以便于作图，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单增，在SKIPIF1<0单减，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取SKIPIF1<0能对应SKIPIF1<0较多的情况，由SKIPIF1<0图像可得，当SKIPIF1<0时，每个SKIPIF1<0可对应3个SKIPIF1<0。只需判断SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0能在SKIPIF1<0取得的值的个数即可，观察SKIPIF1<0图像可得，当SKIPIF1<0时，可以有2个SKIPIF1<0，从而能够找到6个根，即最多的根的个数答案：6个例10：已知函数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的图像如下，给出下列四个命题：（1