第15章 量子物理基础教案

PAGE10PAGE10大学物理学大学物理学教案授课章节 第15章量子物理基础能级和能级跃迁决定谱线频率这两个重要的量子思想．理解德布罗意波的假定及其实验验证，掌握电子波长的计算．了教学目的教学重点、难点

解玻恩对粒子波的统计解释．理解测不准关系并会简单应用．斯特恩—盖拉赫实验．理解描述原子中电子运动状态的四个量子数的意义．了解泡利不相容原理和原子的壳层结构．教学内容 备注引言十九世纪末，经典物理已相当成熟，对物理现象本质的认识似乎已经完成。1900…”。但在喜悦的气氛中，研究的触角进10-10－10-15“在物理学晴空万里的天际出现了两朵乌云：第一朵乌云：涉及以太和有质量物体之间的Maxwell—Boltzmann定律的失败。这就迫使入们跳出传统的物理学框架，去寻找新的解决途径，从而导致了量子理论的诞生。历史上，量子论首先是在黑体辐射问题上突破的。§15.1黑体辐射普朗克量子假说一、热辐射绝对黑体辐射定律热辐射物体的分子包含带电粒子，分子的热运动使物体辐射电磁波，产生辐射场。温度越高，发射的能量越大，发射的电磁波的波长越短。例:加热铁块，随着温度的升高,一开始看不出它发光→暗红→橙色→黄白色。在不同的温度下发出的各种电磁波的能量按波长的分布不同．这种能量按波长的分布随温度而不同的电磁辐射叫做热辐射．平衡热辐射物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收的能量，辐射过程达到热平衡，称为平衡热辐射。此时物体具有固定的温度。以下只讨论平衡热辐射。M大学物理学教案单位时间内从物体单位表面发出的波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量。单位为W/m3 (SI制)M表示辐射能量按波长的分布。研究热辐射规律，应利用辐射本领M只与温度有关而和材料及表面状态无关的物体。黑体辐射定律能完全吸收照射到它上面的各种波长的光的物体，称为黑体。实验表明：物体辐射的光和吸收的光相同。因此黑体能辐射各种波长的光。它的M最大且只和温度有关。维恩黑体用不透明材料制成的开一个小孔的空腔。小孔面积远小于空腔内表面积，射入的电磁波能量几乎全部被吸收。小孔能完全吸收各种波长的入射电磁波而成为黑体。

空腔是黑体吗？玻耳兹曼定律黑体的总辐射本领为 式

)B0

)d,写成等BM )T4。B其中称为斯特藩常数，实验测得5.670108W/(m2K4。维恩位移律m与黑体温度T之间满足关系： b/T，m其中常量b=2.897756×10-3m·K。斯特藩—玻耳兹曼定律和维恩位移律是测量高温、遥感和红外追踪等物理基础。二、普朗克的能量子假说（1）经典物理学所遇到的困难由经典理论导出的M～公式都与实验结果不符合，其中最典型的是维恩公式和大学物理学教案瑞利—金斯公式。维恩公式c维恩(1896)假定驻波能量按频率的分布类似于麦克斯韦速度分布率(经典的)c Ed 1 ec/T1 Ev为在频率v，c1 c2

维恩公式是经典物理能作出的最好结果。它成为Plank进一步用M 表示则为：MBλ

cλ5e1

λT。与实验对比：在低频段，维恩线与实验曲线有明

研究的显的偏离；在高频段，维恩线与实验曲线符合的很好。 出点。瑞利—金斯公式(1900年与Jeans合作的平均能量为kT，得到一个黑体辐射公式：8Ed c3

kT2d，c：光速；k：Boltzmann常数。用M 表示则为：BλM ckTB 与实验对比：在低频段，瑞金线与实验曲线符合的很好；在高频段，瑞金线与实验曲线有明显的偏离其短波极限为无限大(，E)“紫外灾难”。(2)普朗克的能量子假说和黑体辐射公式普朗克(M.Planck)假定（1900年）对于频率为v的电磁辐射，物体只能以hv为单位发射或吸收它。即，物体发射或吸收电磁辐射只能以“量子”方式进行，每个能量子的能量为： h，其中h6.6260755×10-34J·s是普朗克常数。普朗克公式了与实验结果极为符合的普朗克公式：c3Ed

1 dec/T1大学物理学教案用M 表示则为BλM

(T)2πhc2λ5Bλ

1hcekλT1当，趋于维恩公式；当0，趋于瑞利—金斯公式。经典极限：h→0在hv<<kT公式。(3).普朗克假设的意义当时Plank提出的能量子的假设并没有很深刻的道理，仅仅是为了从理论上推导出一个和实验相符的公式。这件事本身对物理学的意义是极其深远的。能量子假设是对经典物理的巨大突破，它直接导致了量子力学的诞生。5Einstein“”和。Plank本入一开始也没能认识到这一点。13年后才接收了他自己提出的这个概念（1918Nobel奖。§15.2光的量子性一、光电效应爱因斯坦方程光电效应子称为光电子。实验装置：GD为光电管，光通过石英窗口照射阴极K，光电子从阴极表面逸出。光电子在电场加速下向阳极运动，形成光电流。实验规律Is与入射光强I成正比。解释：当光电流达到饱和时，阴极K上逸出的光电子全部飞到了阳极A上。单位时间内从金属表面输出的光电子数和光强成正比。光电子的最大初动能随入射光的频率的增大而增大。大学物理学教案IIs2I>I2 1Is1U-UUa当电压U=0时，光电流并不为零；只有当两极间加了反向电压U=-Ua<0时，光电U流I才为零。Ua

称为截止电压。这表明：从阴极逸出的光电子必有初动能。设m为光电子的最大初速度，则有122 m

eU 。a(因为光强大与光强小时Ua)但截止电压Ua呈线性关系U k U （k：普适常数）a 0代入可得：

12

2U 。m 00时，才会产生光电效应。U令 00 KUC N代入可得

2

eU2 m

00当入射光频率降低到0 时光电子的最大初动能为零若入射光频率再降低则无论光强多大都没有光电子产生，不发生光电效应。0称为这种金属的截止频率或红限频率。光电效应是瞬时发生的只要入射光频率>0，无论光多微弱，从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间不超过10-9s。大学物理学教案按照光的经典电磁理论：电子在电场中受力为eE,收的能量与频率无关，更不存在截止频率。发生。普朗克的假定是不协调的普朗克假定物体只是在发射或吸收电磁辐射时才以“量子”的方式进行，并未涉及辐射在空间的传播。相反，他认为电磁辐射在空间的传播还是波动的。爱因斯坦光量子假设c()光量子的能量=h（h：普朗克常数）。”。一个光子只能整个地被电子吸收或放出。爱因斯坦方程光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即被金属中的自由电子吸收。但只有当入射光的频率足够高，以致每个光量子的能量hv出功W逸出金属表面。逸出的电子的最大初动能为1因此存在红限频率，

m2h，爱因斯坦方程mWh 。h0爱因斯坦还把能量子的概念应用于固体中的振动，成功地解决了当温度趋近绝对零度时固体比热趋于零的现象。例:的单色光照射某金属M表面发生光电效应，发射光电子（电子电量绝对值为e，质量为经狭缝S后垂直进入磁感应强度为B今已测出电子在该磁场中作圆运动的最大半径为遏止电势差。11解：（1）h mv2W2 S eBvmv2/R, v(ReB)/m,M故 W

hc1mR2e2B2

hc R2e2B2 2 m1

2ma(2) eUa

mv22mv2 R2e2B2 U a 2e 2m大学物理学教案二、康普顿效应康普顿散射实验研究X实验装置：实验规律：在散射的X射线中，除有波长与入射射线相同的成分外，还有波长较长的成分。波长的偏移为h Δλλλ 1cos

1cos0 mc c0其中0：散射角，电子的Compton波长：hcm c0.0024263nm。0康普顿效应的特点：有关，而与散射物质及入射X0无关：大学物理学教案a）=0，s

00， 0s 0无论什么散射物质，不同散射物质，元素的原子越重越大），散射的X射线中λ0的强度越大、λ的强度越小；Iλs越小；对同一散射元素，I0

，I s0c此选用X射线观察。康普顿效应验证了光的量子性经典电磁理论的困难如果入射X光是电磁波，散射光的波长是不会改变的。康普顿的解释康普顿效应的物理图象：假设：X射线由光量子组成；光量子与散射物质中的电子之间的发生弹性碰撞，且在碰撞过程中能量与动量守恒。简化： 光量子能量>>电子的束缚能 电子可视“自”的。

为什么在散射线中还观察到有与原波长相同的射线？由于反冲，光量子把部分能量传给电子，能量与动量都减小，散射X射线频率变小而波长变长。利用能量与动量守恒定律有hν m0

c2hνmc20解出的波长偏移：

hn λ 00

hnmvλ h cos0 mc0康普顿散射实验的意义(1)有力地支持了“光量子”概念。也证实了普朗克假设=h。(2)首次实验证实了爱因斯坦提出的“光量子具有动量”的假设。(3)证实了在微观的单个碰撞事件中，动量和能量守恒定律仍然是成立的。大学物理学教案例:已知x射线的能量为0.60Me试求反冲电子的动能。解：设散射前电子为静止自由电子，则反冲电子的动能EK=入射光子与散射光子能量之差=0-入射x射线光子的能量 h hc/0 0 0 hc/0 0散射光子的波长 0.20 1.200 0 0 0其能量 hc/hc)(1/1.2)0 0 反冲电子的能量E 1/1.2) 0.10MeV0 0§15.3玻尔的氢原子理论一、氢原子光谱的实验规律氢原子可见光谱是分立的线状光谱。各谱线的波长是经光谱学测定的。波长越短、谱线的间隔越小，在短波方向、谱线的间隔趋于零。1885年，巴耳末用下列经验公式表示了上图中氢原子可见光谱各谱线的波长n2nBn24

巴耳末公式其中B364.57nm,nn=3，4，5，…H,H,H,H…等谱线的波长。氢原子可见光谱线系称为巴耳末系。在光谱分析中也常用频率或波数目。于是巴耳末公式可改写为

1来表征。波数是单位长度内所含波的数νc

Rc(1

1)或ν

1R(11)λ 22 n2 λ 22 n2上式称为氢原子光谱巴耳末系的里德伯公式R恒量。里兹并合原理：

4B=1.096776107m-1称为里德伯大学物理学教案在氢原子谱线实验规律的基础上，里德伯、里兹等人在1890年研究其他元素的光谱，指出碱金属光谱也可分为若干线系，其频率或波数一般也可用两个函数的差值来表示，函数中的参变量分别为正整数k和n（n>k）：~=T（k）-T（n）上式称为里兹并合原理。式中T（k），T（n）称为谱项。对同一k值，不同的n值给出同一谱系的不同谱线。如：氢光谱红外区域有一谱线系，其波数公式为~R(11 ) n=，，…称为帕邢系。32 n2原子光谱的实验规律可归纳如下：谱线的波数由两个谱项的差值决定；线系中各谱线的波数；改变前项参变量的值，可给出不同的谱系。二、玻尔的氢原子理论原子的核型结构1015~1014按经典电磁理论，绕核运动的电子在不断辐射能量。这必然使原子的结构不稳定，为保证原子的核型结构稳定、必须假设绕核运动的电子不辐射能量。玻尔的基本假设：定态假设,电子在一定轨道绕核运动时不辐射能量。即能级上E1<E2<E3……。n 频率假设:当电子从能级E跃迁到能级En h＝E En k为普朗克常数h=6.6210-34 Js轨道角动量量子化假: 电子绕核运动的轨道动量矩L只能取一些分立值：Lnh n n=1,2,3,……2n=1,2,3,……为量子数。氢原子轨道半径和能量∵ mυ2 e2r 4πεm2v2r2

r20n2

n=1,2,3,……相除得

1 mr n

e2n220大学物理学教案∴ r

4πε0

n2

n

εh20

n=1,2,3,……，n me2 πme2n=1时r1

5.291011m称为第一玻尔半径。1 1 υ2 1 e2电子的动能E

mυ2 m nr rK 2 n 2 r ne2

24πεr2 n0n=r0n

； n=1,2,3,……以远处为静电势能零点、当电子在rn处时原子系统电势能Ep∴原子能量

e24πε r0 n

， n=1,2,3,……E Ε Ε e2

1 me4n Κ

r0 n

能量量子化n28ε2h20基态能级

E1

me48ε2h201

10-18J；受激态能级 En

Εn2 1

n=1,2,3,……基态氢原子的电离能EE Ε 1

13.6eV。里德伯公式的解释：设E E（此时n>k）n kE E∴发射的光子频率v＝k n

用E

me4

代入得h n n2

2h20大学物理学教案ν me4 (18ε2h3 k0

1)n2~ 1

1 1相应的波数为ν R λ c f2 i2 所以 me4 R2h3c0

1.097373107

m1与实验值R1.096776107

(m-1)十分接近。下图是氢原子光谱在紫外区、可见光区和红外区的三个线系。赖曼系紫外) 112

1nn2巴尔末可见光) 11n4,...22 n2帕邢系（红外区） ~R(11) n=，，，…32 n2波尔的对应原理经典物理是量子物理在量子数很大时的极限情况。如氢原子能量当n级的能量差很小，不再具有量子化特征而呈现能量连续的经典物理特征。量子理论过渡到经典理论。波尔理论的局限性：“”（一条谱线实际上由相靠很近的若干条谱线组成和“谱线在匀强磁场中发生分裂的现象“定态能级”和“能级跃迁决定谱线频率的观点是非常重要的基本概念，与量子理论完全一致。大学物理学教案例:氢原子的巴耳末线系中，有一光谱线的波长=4340Å，试求：与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？该谱线是氢原子由能级En跃迁到能级EK产生的，n,K各为多少？最高能级为E5氢原子能级图上表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线。（1）hhc/2.86eV（2）由于此谱线是巴耳末线系，其k=2

这里的粒子不是经典粒子，又 EK

E/221

（E1

13.6eV）

波也不E En 1

/n2EKE

h

5 是经典4 波！3 n

1 5E hK 210条谱线，见图。波长最短的是赖曼系中由n5跃迁到n1的谱线。 1§15.4粒子的波动性一、德布罗意波光的本性，频率，动量P＝h h

p2c2m2c4，因光子的“静止质量m0

0，得光子的动量p 。c 实物粒子的波动性自然界在许多方面都是明显对称的,是否也应具有波粒二象性？1924年,德布罗意假设实物粒子具有波动性。实物粒子的能量和动量p跟和它相联系的波的频率和波长的关系和光子一样，为E=mc2=hνhp=mv=与实物粒子相联系的波称为称为德布罗意波或物质波。目的:试图把实物粒子与光的理论统一起来。更为自然地去理解微观粒子能量的不连续性。应用:玻尔的量子化条件Jn带有人为性。现知道原子中的电子具有“波动性”，则提出：定态+驻波大学物理学教案hp

+ rne得 r

n r2,由p

h, rn得角动量

Lrp

nλhnh

n2πλ 2π当然，从后来建立的量子力学的角度来看，这种联系有不确切之处，但它的物理图象很具有启发性。电子的德布罗意波长vmvc时，动能1mυ22 0

eU，U是加速电压、则v

2eU

,按德布罗意假: λ h

h ( 1

)126m mv 2em U U0 0在v与c可以比较时

p2c2E2E0

E2k

2E Ek 0 p

(2E0

E )Ek kc德布罗意波长 λh hcp (2E0二、德布罗意波的实验验证戴维孙-革末实验

E)Ek k1927年戴维逊和革末做了电子束在晶体表面的散射实验，证实了电子的波动性年汤姆逊做的电子通过金多晶薄膜的衍射实验。大学物理学教案热阴极K集电器B上测出的电流。实验发现I与U的关系如图。只有U为某些特定值时，电流I出现极大值。解释：按德布罗意假设，表示电子波长只有为一定值时I才有极大值。这与x射线的布喇格衍射十分相似。即电子射线投射单晶后，只有波长满足布喇格公式2dsinkλ时才能反射最强、电流有极大值。在戴维孙-革末实验中65，d0.9110-10m；由布喇格公式（k=1）计算的结果1.65，实验结果发现U＝54V时的I有极大值。用12.26U

计算出1.69。实验与理论很接近。这有力地证明了德布罗意物质波假设的正确性。三、玻恩对德布罗意波的统计解释:”或”“道”的概念！”“衍射矢。不是经典的波，不代表实在的物理量的波动。玻恩的统计解释1926（或电子衍射实验中的亮纹处即电子出现的概例：当电子的德布罗意波长与可见光的波长（＝550nm）多少电子伏特？解: 电子的静能E mc20 0

0.51MeV电子的总能 E

c2p2E2 c2( )2E2h0 0hh 1而 c2()2

(hc/)2

(6.6310343108

)255001010(2.26eV)2(0.51MeV)2 EE E E <<c（即电子的速度远小于光速）0, K 0所以，EKp2/(2m)(h/)2/(2m)5.0105eV。大学物理学教案§15.5测不准关系一、测不准关系波动性使微观粒子的坐标和动量（或时间和能量）不能同时取确定值。光子的不确定关系：坐标与动量的不确定关系光子沿y方向通过狭缝后散布在一衍射角范围内。只考虑衍射的中央明纹，则其半角宽根据单缝衍射公式有Δxsin=光子在x方向的动量为 p=psinx狭缝处的光子的x坐标不确定范围：x~Δx,x x方向动量的不确定范围：不确定量Δp≈p=psinx Δp=pλ/Δxx再利用德布罗意公式λ=h/p，可得再考虑一级以上的条纹，则得量子力学给出的结果为h

ΔxΔp≈hxΔxΔp≥hx1ΔxΔpx≥2ћ其中：ћ

=1.0545887×10-34J·s，称为约化普朗克常数，或普朗克常数．说明：如果测量光子的x坐标，则破坏原来对它在x方向动量的知识，使之产生一个不确定性px.对坐标x测量得越精确(x越小)，动量不确定性px就越大。时间与能量的不确定关系：ΔEΔt≥1或 ΔEΔt≥2ћ如果测量光子的时间精确到t，则测得光子能量的精度就不会好于E。实物粒子的不确定关系因不确定关系的物理根源是粒子的波动性，则实物粒子的不确定关系与光子的相同。注意：x，px分别是由粒子的座标和动量的统计分布所决定的，而和对它们进行大学物理学教案测量与否并没有直接关系，更不是由什么测量技术和仪器的精度所引起的。能级宽度和能级寿命：设体系状态的寿命为。因测量只能在时间范围t=内进行，则测得的能量必有宽度为E的不确定程度。满足关系Et~。理论上，计算平均寿命→估计能量的范围；实验上，测量能级宽度→估计不稳态的寿命。二、用不确定关系作数量级估算例1:原子中电子运动不存在“轨道”。设电子的动能E=10eV，则速度 2E10/s，但速度的不确定程度m

p 1 106m/s。速度的不确定程度与速度本身数值属同一数量级，故m 2mx轨道概念不适用。例2:光子的波长为=300nm，如果确定此波长的精确度/106，试求：此光子位置的不确定量。解：光子动量 ph/，按题意，动量数值的不确定量ph/(h/)(/)根据测不准关系式得：

xh/(2p) h h(/) (/)故x0.048m48mm。§15.6波函数薛定谔方程一、波函数Ψ=Ψ(x,y,z,t)表示。自由粒子沿x方向运动的波函数根据德布罗意公式，能量为E、动量为P的粒子是一个单色（单能）平面波。其波动方程为写成复数形式

xy(x,t)=Acos2πt-)y(x.t)Aei2(tx)把λ=h/p，ν=E/h代入，即得自由粒子的波函数Ψ(x,t)Ψ0

i2π(EtPx)ehe大学物理学教案这就是沿x方向运动的自由粒子的波函数。在三维空间运动的粒子的波函数：

(x,

y,

t)e0

i2(Et)PhP波函数的平方2t(x,y,z)点附近单位体积内粒子出现的概率，称为概率密度。波函数的归一化条件和标准条件： 2dV1

归一化条件标准条件：波函数必须满足单值、有限、连续的所谓标准条件。二、薛定谔方程薛定谔方程是1926年薛定谔建立的，是量子力学的一个基本假设1.对方程的建立的说明．在非相对论(<<c)情况下，自由粒子的能量E与动量p的经典关系(非相对论)为Ep22m一维自由粒子的波函数为

(x,t)0

ipxee

，分别对tx求导it

E

2x2

p22将以上两式代入Ep2，得2m

i

2 2。t 2m2x2若粒子在外力场中运动，且假定外力场是保守力场，粒子在外力场中的势能是V，则粒子的总能量为Ep2V2m与上述类似，可得

i

2 2

Vt 2mx2当粒子在三维空间中运动时，上式推广为 2it

2V 薛定谔方程2m大学物理学教案式中2称为拉普拉斯算符，在直角坐标系中2

2 2 22 2 2简写为 it

ˆ式中ˆ

22m2

V哈密顿算符。薛定谔方程是量子力学的动力学方程，不同的方程，仅在势能函数形式不同。方程中出现虚数i，表明波函数必须是复数，这并不破坏它的统计解释，因为是实数．二阶偏微分方程，还要根据初值和边界条件才能解得波函数，同时波函数必须满足标准条件．2.定态薛定谔方程粒子的运动状态不同，需要不同的波函数来描述。决定波函数的基本方程是薛定谔方程。在多数情况下，微观粒子在一个不随时间变化的势场中运动，势函数只是空间坐标的函数，与时间无关，即V=V(x,y,z的状态称为定态。描述定态的波函数称为定态波函数，可把波函数Ψ(x,y,z,t)分离变量，形式为代入薛定谔方程，则

Ψ(x,y,z,t)=ψ(x,y,z)f(t)1( V) 2m

idff 要使等式成立，必须两边都等于与坐标和时间无关的常数．令这个常数为E，则idf f dt这个方程的解是k

f(t)keiEtx,y,z,ty,ziEt同自由粒子波函数比较，可知E

，说明在空间各点测到粒子的概率密度与时间无关，所以叫做定态．于是就有 V2mψ只是空间坐标的函数，方程中不含时间t，称为定态薛定谔方程．它的解ψ通常称为定态波函数．如果只考虑粒子在一维势场中运动，则该方程为d2dx

2mV02大学物理学教案对于自由粒子，V=0，在一维情况，并注意E=p2/2m(非相对论)，方程的一个解为x0

ipxee这是空间波函数，它是沿x正向传播的单色平面波。薛定谔方程的意义假设。§15.7薛定谔方程在几个一维问题中的应用求解定态薛定谔方程：给定势函数V(x)，求解能量本征值和本征函数。给定势函数V(x)和入射能量E(一、一维无限深势阱势函数V(x)=0, 当

xa ,2 2V(x)=∞, 当xa,xa2 2如图所示，分为Ⅰ区和Ⅱ区．一维无限深势阱对Ⅰ区，V=02mE

d2xdx2

2mEx02令 k

，则2

ddx2

k

x0通解 ψ(x)=Aeikx+Be-ikx或 ψ(x)=Ccoskx+Dsinkx其中A，B或C，D是待定常数对Ⅱ区，V=∞．大学物理学教案E

d2xdx2

2mEx2令22

V→∞d

xdx2通解为 ψ(x)=A′eλx+B′e-λx当x＞a/2时，λ→∞，则x＜-a/2时,λ→∞

ψ(x)=A′·∞+B′·0ψ(x)=A′·0+B′·∞Ⅱ区ψ=0，即粒子出现的概率为零现在考虑Ⅰ区的波函数,运用标准条件和归一化条件确定C，D，k的取值在x=±a/2处，有Ccosk

a a+Dsink =02 2a aCcosk -Dsink =02 2这是关于C，D的线性方程组，要使C，D有非零解，系数行列式必须为零，即cos

ka kasinka kacos sin2 2ka ka得 2cos sin =sinka=02 2k只能取一些不连续的数值，即ka=n n=1，2，3，…则 kn a

2mE能量 E

222ma2

n2 n=1，2，3，…n称为粒子能量的量子数．但n不能为零．能量的最小值 E1

222ma

，称为零点能．波函数

nψ(x)=Ccos

x+Dsinnxa a当x=±a/2时，大学物理学教案ψ(±a/2)=Ccos(nπ/2)+Dsin(±nπ/2)C·0+D·(±1) n=1，3，5，…；＝因为ψ(±a/2)=0，n所以 ψ(x)=Ccosn anψ(x)=Dsin a

C·(±1)+D·0 n=2，4，6，…x 当n=1，3，5，…x n=2，4，6，…C，D这两个常数可由归一化条件确定．a na2C2cos2aa2a a2D2sin2aa2

xdx1xdx1由此算出则归一化的波函数为ψ(x)=

acos a

CD 2ax， n=1，3，5，…2 nψ(x)=

asin

x， n=2，4,6，…波函数ψ(x)(实线)、概率密度｜ψ｜2(虚线)和能级En的关系曲线．驻波解在阱内形成稳定的驻波，阱宽必须满足a=n·λ/2，n=1，2，3，…，λ=2a/n代入德布罗意关系p=h/λ，得一维无限深势阱中的波函数、概率密度和能级大学物理学教案p2 h2 22 n2 22E n22m 2m2 2m 4a2 2ma2这与前面所得结果完全一样．二、宇称ψ(-x)=ψ(x)表明相对原点是对称的，这样的空间对称性称为正宇称或偶宇称，ψ(-x)=-ψ(x)对原点是反对称的，即在相对原点对称位置上的函数值相等，而符号相反，这样的空间对称性称为负宇称或奇宇称。例：已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为(x)

2sinx

(0xa)，求：发现粒子概率最大的位置。a a2 2 解：粒子密度 |(x)|2 sin2 cos )a a 2a ax 当cos 1时，|(x)|2 有最大值，在0xa范围内可得 ，则a a1x a处发现粒子的概率最大。12§15.8量子力学对氢原子的应用一、氢原子的定态薛定谔方程氢原子具有空间转动对称性，原子核的质量比电子大得多，因此可认为原子核不动，电子在核的库仑电场中运动。电子的势能为：V(r)氢原子的定态薛定谔方程为

e2r0x2

y2

z2

2m(E2

e20

)0变换到球坐标系(r,,)中

zx=rsincos P r yy=rsinsin x大学物理学教案得球坐标下的定态薛定谔方程：1 1 1 2m e2(r2 )

sin

(E 0r2r

r2sin

r2sin22 2 r0(r,,)R(r)()(经一系列演算可得三个常微分方程：dd2

m20 （1）l1 d (sin

d)[l(l1)

m2l 0 （2）sind d sin21 d dR 2m e2 2l(l(r2 ) [E ]R0 （3）r2dr dr 2

r 2m r20,l化条件来确定。二、能量量子化——主量子数n(r,,)满足标准条件（单值、连续，有限），能量只能取E

me4 1

13.6eV n=1,2,3,…n 22)2n2o三、角动量量子化——角量子数l在解(),()的方程中，为使方程（2），（1）有解，电子的角动量L的大小只能取

L l(l1) l=1,2,3,…n-1这与玻尔的假设不同。即L可以取零值，而玻尔假设中n0、即L不能取零值。四、角动量在空间取向的量子化——磁量子数ml在解薛定谔方程中得出，不仅L的大小时候量子化的、而且L的空间取向也有一定的限制。若取一z轴，则L在z轴的分量LZ的值也是量子化的，即L mZ l

磁量子数ml

0,2,...l对于一定的角量子数l，磁量子数ml可取2l+1值，表明角动量在空间的取向只有2l+1种可能。大学物理学教案例：=2时，m=0,1,2,即它在z方向上的投影有5个可能。§15.9斯特恩—盖拉赫实验一、电子的轨道磁矩e电子绕核作椭圆运动．电子的电量为e，周期为T，则I=T。电子绕核作椭圆运动电子绕行一周，矢径r扫过的面积为21

T1 dA r2d r2 dt0 2 02 dtd电子的角动量为L=mr2dtAT Ldt LT单电子的轨道运动磁矩大小为

02m 2mIA e L2m角动量和磁矩都是矢量，因为电子带负电，磁矩μ和角动量L的方向相反，于是有Le L2m大学物理学教案在量子力学中，L ，在外磁场中，取外磁场B的方向为z轴正向，角动量在B方向的投影则为

L mz lmml

=0，±1，±2，…，±l2l+1μ在z轴的投影μ为zz其中

e L2m

e2m

mml l B称为玻尔磁子。

e ehB 2m

=9.27401541×10-24J·T-1=5.78838263×10-5eV·T-1二、斯特恩一盖拉赫实验载流线圈在磁场中所受力矩为 MB将磁矩由垂直于磁场方向转到与磁场成θ角的方向，M所作的功W为WMBsindBcos 2 2B若取磁矩垂直于磁场方向，即θ=π/2的位置线圈与磁场的相互作用势能为零，则BUBcosB

Bz如果磁场Bz

，则载流线圈在z方向受力为f z

zz原子射线束通过一个不均匀磁场区域，观察原子磁矩在磁力作用下的偏转。实验装置如图，设质量为M的原子以速度v经过长度为L的不均匀磁场，则t=L/v，1s at

1fzt2

1 L2 2 2M 2Mzv zμ＞0时向上偏转，μ＜0向下偏转．z z实验发现在屏上是几条清晰可辨的黑斑．这说明原子磁矩只能取几个特定的方向，也就是角动量只能取几个特定的方向，证明了角动量在外磁场方向的投影是量子化的。大学物理学大学物理学大学物理学教案斯特恩—盖拉赫实验装置B实验可以测算出μ．当L，v，z z

保持不变时，s与μz

相对应．一般地斑纹条纹数=2l+1注意的是对Li，Na，K，Cu，Ag，Au等基态原子，测得的斑纹数为2．如果按照上1