2023届二轮复习 专题8 数列 二级结论讲练 学案

专题8数列二级结论1：等差数列的性质【结论阐述】设为等差数列的前项和，则有如下性质：项的性质在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项的等差中项：两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若，则；若则若为项数相同的等差数列，则仍为等差数列（为常数）等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点(当时，是的一次函数)和的性质①也成等差数列，公差为②当时，是的二次函数③是等差数列③为奇数时，；为偶数时，④若为项数相同的等差数列，且前项和分别为与则（处理方法分别设）单调性在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列，公差为【应用场景】应用等差数列的性质，可以很方便地、快捷地解决有关等差数列的计算、最值问题，以及证明题.【典例指引1】（2022·山西太原·高二月考）1．设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．28 B．32 C．16 D．24【答案】B【分析】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，∴，解得.∴2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B【典例指引2】2．已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】计算得出，利用等差数列求和公式得出，由此可解得与的值.【详解】由题意，，所以，，，所以，，.故选：A.【点睛】本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考查计算能力，属于中等题.【针对训练】（2022·北京·人大附中高二期末）3．已知等差数列的前项和为，并且，，若对恒成立，则正整数的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由等差数列的前项和公式和等差数列的性质可得，所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，由此即可求出正整数的值.【详解】由题意可得，所以，又，所以，又可得，所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，所以，所以.故选：C.（2022·江苏·高二月考）4．已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据给定条件结合等差数列性质及前n项和公式，将用n表示出即可作答.【详解】依题意，，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B5．已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】根据等差数列前n项和公式的特点，令，又即可求值.【详解】由题意，令，∴，故选：D【点睛】关键点点睛：由等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数形式的特点，设和，结合项与前n项和的关系求值.（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高三月考（文））6．已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A．15 B．23 C．28 D．30【答案】D【分析】应用等差数列片段和性质：成等差数列，求即可.【详解】由等差数列片段和的性质：成等差数列，∴，可得，同理可得，∴，可得.故选：D（2022·河南·高二月考）7．已知等差数列和的前项和分别为和，且有，，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式可求得、的值，即可得解.【详解】由等差数列的求和公式可得，，因此，.故选：B.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.若S12>0，S13<0，则数列{|an|}的最小项是（

）A．第6项 B．第7项C．第12项 D．第13项【答案】B【分析】由等差数列的前n项和可得a6＋a7>0，a7<0，从而可得a6>0，根据公差d<0即可得出答案.【详解】由题意S12>0，S13<0及S12＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)，S13＝13a7，得a6＋a7>0，a7<0，所以a6>0，a6>|a7|，且公差d<0，所以|a7|最小.故选：B9．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为．现有下列4个命题①若，则；②若，则使的最大的n为15；③若，，则中最大；④若，则．其中正确的命题的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质判断选项的正误即可.【详解】①中若，则，那么．故①不正确：②中若，则，又因为，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为，所以使的最大的n为15，故②正确：③中若，，则，，则中最大．故③正确④中若，则，而，不能判断正负情况，故④不正确故选：B.10．已知等差数列的公差为4，项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根据偶数项等差数列的奇偶项项数相等，则即可求解.【详解】设等差数列的公差为，项数为，前项和为，则，即这个数列的项数为20，故选择B.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，偶数项和与奇数项和的关系，属于中档题.（2022·重庆·西南大学附中高二期末）11．已知等差数列共有项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则的值为（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可【详解】奇数项共有项，其和为，∴．偶数项共有n项，其和为，∴．故选：B．12．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________.【答案】4034【解析】根据等差数列的性质得，可得，可解得，又，代入可得值.【详解】因为，所以，故.故答案为：4034.【点睛】本题考查等差数列的性质，关键在于得出，属于基础题.13．设是等差数列的前项和，若，，则数列中的最大项是第______项.【答案】13【解析】由已知可得数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，可得数列从第14项起为负值，而为递增数列，则答案可求．【详解】解：在等差数列中，由，，得，，则数列是递减数列，且前13项大于0，自第14项起小于0，数列从第14项起为负值，而为递增数列，数列的最大项是第13项．故答案为：13．【点睛】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前项和的应用，属于中档题．14．等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是______.【答案】①②④【分析】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果．【详解】等差数列中，，，所以，则．所以，则．所以①正确．②整理得正确．③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误．④是中最大的值，正确；⑤为递增数列．错误，应改为递减数列．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查等差数列的性质的应用、数列的单调性的应用、数列的前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．二级结论2：等比数列的性质【结论阐述】设为等比数列的前项和，则有如下性质：项的性质在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比列，即为等比数列，公比为从第二项起每一项是它前一项与后一项的等比数列，也是与它等间距的两项的等比中项.两积式项数相同，下标和相等，则两式积相等：即若则；若则若为项数相同的等比数列，则①（其中为常数）为等差数列；②（其中为常数）为等比数列.等比数列的图像是一列分布的孤立点(当时，是的指数型函数)，则成等比数列和的性质①若是的等比数列，则数列也成等比数列（其中为常数）；且为偶数时，数列是常数列，它不是等比数列；②；③在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，单调性①时，数列是常数列，如数列；②时，数列是摆动数列，如数列；③时，数列是递减数列，如数列；④时，数列是递增数列，如数列；⑤时，数列是递增数列，如数列；⑥时，数列是递减数列，如数列.【应用场景】应用等比数列的性质，可以很方便地、快捷地解决有关等比数列的计算、最值问题，以及证明题.【典例指引1】（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）15．设等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.【典例指引2】16．已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.【详解】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.【针对训练】（2022·广东潮阳·高二期末）17．等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．5 B．10 C．4 D．【答案】A【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.【详解】由题有，则=5.故选：A（2023·江苏·高二月考）18．在等差数列中，若，则有等式(且)成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则有（

）A．(且)B．(且)C．(且)D．(且)【答案】B【分析】根据等差数列的加法运算类比等比数列的乘法运算以及等差和等比数列的性质即可得答案.【详解】在等差数列中，若则，若，则，所以成立，当时，(且)成立，在等比数列中，若则，若，则，所以成立，当时，＝(且)成立，故选：B.19．已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（

）A．12 B．30C．45 D．81【答案】C【分析】根据题意可得成等比数列，由此可求出.【详解】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，，，，则，，则.故选：C.20．设是等比数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据等比数列的性质求解．在时，仍成等比数列．【详解】设，由数列为等比数列(易知数列的公比)，得为等比数列又故选：．【点睛】结论点睛：数列是等比数列，若，则成等比数列．简称等比数列的片断和仍成等比数列．注意是等比数列与成等比数列之间不是充要条件．（2023·全国·高二月考）21．已知等比数列中，，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.（2023·江西·奉新县一中高一月考）22．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【详解】设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，则,所以，结合等比数列求和公式有：，解得n=4，即这个等比数列的项数为8.本题选择C选项.（2022·上海·高考真题）23．已知为等比数列，的前n项和为，前n项积为，则下列选项中正确的是（

）A．若，则数列单调递增B．若，则数列单调递增C．若数列单调递增，则D．若数列单调递增，则【答案】D【分析】根据等比数列的前n项和公式与通项公式可得与，进而可得、取值同号，即可判断A、B；举例首项和公比的值即可判断C；根据数列的单调性可得，进而得到，求出，即可判断D.【详解】A：由，得，即，则、取值同号，若，则不是递增数列，故A错误；B：由，得，即，则、取值同号，若，则数列不是递增数列，故B错误；C：若等比数列，公比，则，所以数列为递增数列，但，故C错误；D：由数列为递增数列，得，所以，即，所以，故D正确.故选：D（2023·全国·高二月考）24．已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】根据，解关于的方程，注意还是的讨论，代入公式即可求解.【详解】设数列的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故.故选：B【点睛】注意公式应用的前提，以及题中没有说明的取值时，要考虑是否为1.25．设正项等比数列的前n项和为，，若，则数列中最大的项为_____.【答案】【分析】设正项等比数列的公比为，其中，求得，得到，进而得出，结合数列的函数特性，即可求解.【详解】根据题意，设正项等比数列的公比为，其中，因为，可得，解得或，因为，所以，所以，则，故，当时，则由，则有，所以数列中最大的项为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，以及数列的函数特性，其中解答中熟记等比数列的公式，进而得出数列的通项公式，结合数列的函数特性求解是解答的关键，着重考查