【中考】2017数学汇编专题44-以几何图形为背景的综合题（二）含解析

专题44：以几何图形为背景的综合题（二）

一、选择题

1.（3分）（2017•滨州）如图，点P为定角NAOB的平分线上的一个定点，且

NMPN与NAOB互补，若NMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、

OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不

变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）

B

A.4B.3C.2D.1

【分析】如图作PE_LOA于E,PFLOB于F.只要证明△POE^^POF,APEM

g△PFN,即可一一判断.

【解答】解：如图作PELOA于E,PF_LOB于F.

VZPEO=ZPFO=90°,

.,.ZEPF+ZAOB=180°,

VZMPN+ZAOB=180°,

/.ZEPF=ZMPN,

ZEPM=ZFPN,

二•OP平分NAOB,PE_LOA于E,PFJ_OB于F,

，PE=PF,

在APOE和APOF中，

[OP=OP,

lPE=PF，

.,.△POE义△POF,

.,.OE=OF,

在APEM和aPPN中，

'NMPE二NNPF

<PE=PF，

ZPEM=ZPFN

.♦.△PEM丝△PFN,

，EM=NF,PM=PN,故（1）正确，

•,SAPEM=SAPNF»

♦,•S四边形PMON=S四边度PEOF=定值，故（3）正确，

•.•OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确,

MN的长度是变化的，故（4）错误，

故选B.

【点评】本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知

识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常

考题型.

2.（3分）（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a,小

正方形CEFG边长为b（a>b）,M在BC边上，且BM=b,连接AM,MF,MF

交CG于点P.WAABM绕点A旋转至aADN,将aMEF绕点F旋转至ANGF,

给出以下五个结论：①/MAD=NAND；②CP=b-"；③AABM丝ANGF；④

22

sw^AMFN=a+b；⑤A,M,P,D四点共圆，其中正确的个数是（)

A.2B.3C.4D.5

【分析】①根据正方形的性质得到NBAD=/ADC=NB=90。，根据旋转的性质得

至U，/NAD=NBAM,NAND=NAMB,根据余角的T生质得至【J/DAM+NNAD=

NNAD+NAND=NAND+NNAD=90。，等量代换得到NDAM=NAND,故①正

确；

2

②根据正方形的性质得到PC〃EF,根据相似三角形的性质得到CP=b-K；故

a

②正确；

③根据旋转的性质得到GN=ME,等量代换得到AB=ME=NG,根据全等三角形

的判定定理得到AABM咨ZXNGF；故③正确；

④由旋转的性质得到AM=AN,NF=MF,根据全等三角形的性质得到AM=NF,

推出四边形AMFN是矩形，根据余角的想知道的NNAM=90。,推出四边形AMFN

是正方形，于是得到S四边形AMFN=AM2=a~+b~；故④正确；

⑤根据正方形的性质得到NAMP=90。，ZADP=90°,得至ijNABP+NADP=180。，

于是推出A,M,P,D四点共圆，故⑤正确.

【解答】解：①四边形ABCD是正方形，

二NBAD=NADC=NB=90。，

.,.ZBAM+ZDAM=90°,

•.,将AABM绕点A旋转至^ADN,

.,.ZNAD=ZBAM,NAND=NAMB,

，ZDAM+ZNAD=NNAD+ZAND=ZAND+ZNAD=90°,

，NDAM=NAND,故①正确；

②二•四边形CEFG是正方形，

，PC〃EF,

.,.△MPC^AEMF,

；PC_CH；

•i•而下，

,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,

，EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,

,•,-P-C--z:--a---b--，

ba

2

Z.CP=b-b_；故②正确；

a

③•.•将AMEF绕点F旋转至aNGF,

，GN=ME,

VAB=a,ME=a,

，AB=ME=NG,

'AB=NG=a

在△ABM与ANGF中，,/B=NNGF=90。，

,GF=BI=b

/.△ABM^ANGF；故③正确；

④•.•将aABM绕点A旋转至AADN,

，AM=AN,

•.,将AMEF绕点F旋转至ANGF,

，NF=MF,

VAABM^ANGF,

；.AM=NF,

...四边形AMFN是矩形，

•；ZBAM=ZNAD,

ZBAM+DAM=ZNAD+ZDAN=90°,

，ZNAM=90°,

...四边形AMFN是正方形，

,在RtAABM中，a2+b2=AM2,

S四边彩AMFN=AM?=a~+b~；故④正确；

⑤；四边形AMFN是正方形，

二ZAMP=90°,

,/ZADP=90°,

/.ZABP+ZADP=180°,

:.A,M,P,D四点共圆，故⑤正确.

故选D.

【点评】本题考查了四点共圆，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.

2.（3分）（2017•东营）如图，在正方形ABCD中，Z\BPC是等边三角形，BP、

CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出

下列结论：

①BE=2AE；②△DFPs-PH；③△PFDSMDB；@DP2=PH«PC

其中正确的是（）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论.

【解答】解：•••△BPC是等边三角形，

，BP=PC=BC,ZPBC=ZPCB=ZBPC=60°,

在正方形ABCD中，

VAB=BC=CD,ZA=ZADC=ZBCD=90°

.,.ZABE=ZDCF=30°,

.,.BE=2AE；故①正确；

VPC=CD,NPCD=30°,

，NPDC=75°,

.,.ZFDP=15°,

VZDBA=45°,

/.ZPBD=15°,

/.ZFDP=ZPBD,

VZDFP=ZBPC=60°,

.,.△DFP^ABPH；故②正确；

VZFDP=ZPBD=15°,NADB=45°,

，ZPDB=30°,而ZDFP=60°,

.•.NPFDWNPDB,

...△PFD与APDB不会相似；故③错误；

VZPDH=ZPCD=30°,ZDPH=ZDPC,

.,.△DPH-ACPD,

•DPPH

••而赤，

，DP2=PH・PC,故④正确；

故选C.

【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和

性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理.

3.（3分）（2017•济宁）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,将

□△ABC绕点A逆时针旋转30。后得到Rt^ADE,点B经过的路径为曲，则图

中阴影部分的面积是（）

A.2LB.-C.--1.D.工

63222

【分析】先根据勾股定理得到AB=&，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，

由旋转的性质得到RtAADE=RtAACB,于是S阴影部分二S4ADE+S扇形ABD-SAABC—S

扇形ABD・

【解答】解:vZACB=90°,AC=BC=1,

AB=五,

2

30>nx（V2）=K

.\S

扇形ABD=・360--6

XVRtAABC绕A点逆时针旋转30。后得到RtAADE,

ARtAADE^RtAACB,

•'•S阴影部，>=SZ\ADE+S13®ABD-SAABC=Sft）BABD=-^—

6

故选：A.

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将

阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键.

4.（3分）（2017•聊城）如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB

的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB,那

么使4ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论.

【解答】解：如图所示，使4ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3,

故选B.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题

的关键.

5.（3分）（2017•泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C

的切线与边AD所在直线垂直于点M,若NABC=55。，则NACD等于（）

A.20°B.35°C.40°D.55°

【分析】由圆内接四边形的性质求出/ADC=180。-ZABC=125°,由圆周角定理

求出NACB=90。，得出NBAC=35。，由弦切角定理得出NMCA=NABC=55。，由

三角形的外角性质得出NDCM=NADC-NAMC=35。，即可求出NACD的度数.

【解答】解：•.•圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,

.,.ZADC+ZABC=180°,ZACB=90°,

,ZADC=180°-ZABC=125°,ZBAC=90°-NABC=35°,

•••过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,

.,.ZMCA=ZABC=55°,ZAMC=90°,

■:ZADC=ZAMC+ZDCM,

:.ZDCM=ZADC-NAMC=35。，

ZACD=ZMCA-ZDCM=55°-35°=20°；

故选:A.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦

切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关

键.

6.（3分）（2017•泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上

一点，且BC=EC,CFLBE交AB于点EP是EB延长线上一点，下列结论：

①BE平分NCBF；②CF平分NDCB；③BC=FB；④PF=PC,

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性

质分别判断得出答案.

【解答】证明：•••BC=EC,

，/CEB=NCBE,

•..四边形ABCD是平行四边形，

，DC〃AB,

:.NCEB=NEBF,

...NCBE=NEBF,

...①BE平分NCBF,正确；

VBC=EC,CF±BE,

/.ZECF=ZBCF,

.•.②CF平分/DCB,正确；

•.•DC〃AB,

/.ZDCF=ZCFB,

VZECF=ZBCF,

；.NCFB=NBCF,

；.BF=BC,

...③正确；

VFB=BC,CF1BE,

，B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC,

，PF=PC,故④正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三

角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键.

7.（3分）（2017•泰安）如图，在^ABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

点P从点A沿AC向点C以lcm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B

以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的

面积最小值为（）

AB

A.19cm2B.16cm2C.15cm2D.12cm2

【分析】在Rt^ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm,设运动时间为t（OWt

W4）,则PC=（6-t）cm,CQ=2tcm,利用分割图形求面积法可得出S四边形PABQ=/

-6t+24,利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值，此题得解.

【解答】解：在RtaABC中，ZC=90°,AB=10cm,BC=8cm,

,,AB2-BC2=60111,

设运动时间为t(0WtW4),则PC=(6-t)cm,CQ=2tcm,

S四边形PABQ=SAABC-SACPQ=—AC*BC--PC*CQ=—X6X8-三(6-t)X2t=t2-

6t+24=(t-3)2+15,

...当t=3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15.

故选C.

【点评】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出

S四四形PABQ=*-6t+24是解题的关键.

8.(3分)(2017•威海)如图，在QABCD中，NDAB的平分线交CD于点E,

交BC的延长线于点G,ZABC的平分线交CD于点F,交AD的延长线于点H,

AG与BH交于点O,连接BE,下列结论错误的是()

A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质一一判断即可.

【解答】解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AH〃BG,AD=BC,

，/H=NHBG,

VZHBG=ZHBA,

/.ZH=ZHBA,

AH=AB,同理可证BG=AB,

；.AH=BG,VAD=BC,

，DH=CG,故③正确，

VAH=AB,NOAH=NOAB,

，OH=OB,故①正确，

VDF/7AB,

，/DFH=NABH,

,:ZH=ZABH,

/.ZH=ZDFH,

/.DF=DH,同理可证EC=CG,

VDH=CG,

，DF=CE,故②正确，

无法证明AE=AB,

故选D.

【点评】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的

关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.（4分）（2017•淄博）如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,

ZBAC,NACB的平分线相交于点E,过点E作EF〃BC交AC于点E则EF

的长为（）

—c.与T

【分析】延长FE交AB于点D,作EGLBC、作EHLAC,由EF〃BC可证四

边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、NDAE=NHAE,从而知四

边形BDEG是正方形，MiiEADAE^AHAE.ACGE^ACHE得AD=AH、

CG=CH,设BD=BG=x,则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x,由AC=10可得x=2,

即BD=DE=2、AD=4,再证△ADFS/\ABC可得DF=1且，据此得出EF=DF-

3

DE=W.

3

【解答】解：如图，延长FE交AB于点D,作EG±BC于点G,作EH±AC于

点H,

•.•EF〃BC、NABC=90°,

/.FD±AB,

VEG±BC,

...四边形BDEG是矩形,

：AE平分NBAC、CE平分NACB,

，ED=EH=EG,ZDAE=ZHAE,

二四边形BDEG是正方形，

在ADAE和aHAE中，

fZDAE=ZHAE

•・[AE=AE，

IZADE=ZAHE

/.△DAE^AHAE(SAS),

，AD=AH,

同理△CGEgACHE,

.,.CG=CH,

设BD=BG=x,则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x,

;AC=7AB2+ACW62+82=310，

A6-x+8-x=10,

解得：x=2,

.*.BD=DE=2,AD=4,

VDF/7BC,

.'.△ADF^AABC,

・AD-DFan4-DF

ABBC68

解得：DF=W,

3

贝I」EF=DF-DE*-2=W,

33

故选：C.

【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正

方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角

形的判定与性质是解题的关键.

10.（3分）（2017•达州）如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向

旋转90。至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90。至图②位置，

以此类推，这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程

中所经过的路径总长为（）

A.20177tB.2034兀C.3024兀D.3026兀

【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算

即可.

【解答】解：VAB=4,BC=3,

，AC=BD=5,

转动一次A的路线长是：90兀X4=2兀,

180

转动第二次的路线长是：9°兀X5&,

1802

转动第三次的路线长是：9°兀X33,

1802

转动第四次的路线长是：0,

以此类推，每四次循环，

故顶点A转动四次经过的路线长为：号+三计2尸6兀，

22

V20174-4=504...1,

二顶点A转动四次经过的路线长为：67rx504+27r=3026兀，

故选D.

【点评】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，掌握旋转变换的性质、

灵活运用弧长的计算公式、发现规律是解决问题的关键.

11.（3分）（2017•内江）如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分

别在x轴、y轴上，点B的坐标为（0,3«）,NABO=30。，将^ABC沿AB所

在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为（）

【分析】根据翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出对应线段长，进而得出

D点坐标.

【解答】解：•四边形AOBC是矩形，NABO=30。，点B的坐标为（0,3a）,

，AC=OB=3a，NCAB=30。，

BC=AC»tan300=3X^Z.=3,

3

•.•将4ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，

.,.ZBAD=30°,AD=3四

过点D作DM±x轴于点M,

ZCAB=ZBAD=30°,

.,.ZDAM=30°,

:.DM=1AD=^^,

22

；.AM=3aXcos3()o=1_,

，MO=旦-3=3,

22

...点D的坐标为（3,①）.

22

故选：A.

【点评】此题主要考查了翻折变换以及矩形的性质和锐角三角函数关系，正确得

出NDAM=30。是解题关键.

12.（4分）（2017•安徽）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点P满足

SAPAB=Is矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）

3

A.V29B.V34C.5我D.V41

【分析】首先由SAPAB=iS矩形ABCD，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是

3

2的直线1上，作A关于直线1的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就

是所求的最短距离.然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即

PA+PB的最小值.

【解答】解：设4ABC中AB边上的高是h.

SAPAB=-^矩形ABCD，

3

.,.lAB«h=lAB«AD,

23

.,.h=2.AD=2,

3

二动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线1上，如图，作A关于直线1

的对称点E,连接AE,连接BE,则BE的长就是所求的最短距离.

在RCABE中，VAB=5,AE=2+2=4,

即PA+PB的最小值为屈.

故选D.

【点评】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股

定理，两点之间线段最短的性质.得出动点P所在的位置是解题的关键.

13.（3分）（2017•海南）已知AABC的三边长分别为4、4、6,在AABC所在

平面内画一条直线，将aABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形,

则这样的直线最多可画（）条.

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边得出符合题意的图形即可.

【解答】解:如图所示:

当AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE时，都能得到符合题意的等腰三角形.

故选B.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利

用图形分类讨论得出是解题关键.

14.（2分）（2017•河北）如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一

个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位：cm）不氐砸的是

（）

【分析】利用勾股定理求出正方形的对角线为10&七14,由此即可判定A不正

确.

【解答】解：选项A不正确.理由正方形的边长为10,所以对角线=10加心14,

因为15>14,所以这个图形不可能存在.

故选A.

【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理

求出正方形的对角线的长.

15.（2分）（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,

把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：

将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一

次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…

在这样连续6次旋转的过程中，点B,M间的距离可能是（）

A(O)B(K)

A.1.4B.1.1C.0.8D.0.5

【分析】如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线,

观察图象可知点B,M间的距离大于等于2-&小于等于1,由此即可判断.

【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的

红线，

观察图象可知点B,M间的距离大于等于2-&小于等于1,

故选C.

【点评】本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运

动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度.

16.（3分）（2017•河南）如图，将半径为2,圆心角为120。的扇形OAB绕点A

逆时针旋转60。，点O,B的对应点分别为O，，B\连接BB，，则图中阴影部分

的面积是（）

A•芋B.2后专一《告》4匠号

【分析】连接00，，BO\根据旋转的性质得到NOAO，=60。，推出△OACY是等

边三角形，得到NAOO』60。，推出△OOB是等边三角形，得到NAOB=120。，

得到NO，B，B=NO，BB，=30。，根据图形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：连接00',BCY,

•.•将半径为2,圆心角为120。的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°,

/.NOAO.60。，

...△OAO,是等边三角形，

NAOO，=60。，

VZAOB=120°,

.，.ZO,OB=60°,

.•.△OO，B是等边三角形，

.'.NAO'B=120°,

•.•NAOB=120。，

.•.NB'O'B=120。，

,NOBB=NOBB.30。，

2

.••图中阴影部分的面积=SABOB-（S扇形O'OB-SAOOB）="1X2a-（§0二叮2"

2360

-1X2XV3）=2我-竺

23

故选C.

【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质,

正确的作出辅助线是解题的关键.

17.（3分）（2017•江西）如图，任意四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,

BC,CD,DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课

中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）

A.当E,F,G,H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形

B.当E,F,G,H是各边中点，且ACLBD时，四边形EFGH为矩形

C.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形

D.当E,F,G,H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形

【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的

性质进行判断即可.

【解答】解：A.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存

在EF=FG=GH=HE,故四边形EFGH为菱形，故A正确；

B.当E,F,G,H是四边形ABCD各边中点，且AC_LBD时，存在NEFG=/

FGH=ZGHE=90°,故四边形EFGH为矩形，故B正确；

C.如图所示，当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时，若EF〃HG,EF=HG,

则四边形EFGH为平行四边形，故C正确；

D.如图所示，当E,F,G,H不是四边形ABCD各边中点时，若EF=FG=GH=HE,

则四边形EFGH为菱形，故D错误；

ED

A

故选：D.

【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与

原四边形的对角线有关.

18.（3分）（2017•山西）如图是某商品的标志图案，AC与BD是。O的两条直

径，首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10cm,NBAC=36。,

则图中阴影部分的面积为（）

A.571cm2B.10兀cm?C.1Sncm2D.20兀cm?

【分析】根据已知条件得到四边形ABCD是矩形，求得图中阴影部分的面积=S

星彩AOD+S扇彩BOC=2S扇彩AOD，根据等腰二角形的性质得到NBAC=NABO=36°,由

圆周角定理得到NAOD=72。，于是得到结论.

【解答】解：••.AC与BD是。O的两条直径，

ZABC=ZADC=ZDAB=ZBCD=90°,

...四边形ABCD是矩形，

AAABO于ACDO的面积=Z\AOD与aBOD的面积,

二图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇彩BOC=2S扇形AOD，

VOA=OB,

/.ZBAC=ZABO=36°,

.,.ZAOD=72°,

2

，图中阴影部分的面积=2X72•兀X5=10兀,

360

故选B.

【点评】本题考查了扇形的面积，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握扇

形的面积公式是解题的关键.

19.（3分）（2017•陕西）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3.若点E是边

CD的中点，连接AE,过点B作BF_LAE交AE于点B则BF的长为（）

【分析】根据SAABE=X瞰ABCD=3=L・AE・BF,先求出AE,再求出BF即可.

22

【解答】解：如图，连接BE.

•.•四边形ABCD是矩形,

，AB=CD=2,BC=AD=3,ZD=90°,

在RtAADE111»AE={AD?+DE32+]2="\/T5,

,•*SAABE=^S矩形ABCD=3=A.»AE»BF,

22

故选B.

【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关

键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中考常

考题型.

20.（3分）（2017•天津）如图，在AABC中，AB=AC,AD、CE是aABC的

两条中线,P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC

NCE,推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】解:如图连接PC,

A

BDC

VAB=AC,BD=CD,

/.AD±BC,

，PB=PC,

，PB+PE=PC+PE,

VPE+PC^CE,

...P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度,

故选B.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的

性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

21.（3分）（2017•天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3

和1,点F,G分别在边BC,CD上，P为AE的中点，连接PG,则PG的长为

V5_.

【分析】延长GE交AB于点O,作PH1OE于点H,则PH是AOAE的中位线,

求得PH的长和HG的长，在RtAPGH中利用勾股定理求解.

【解答】解：延长GE交AB于点O,作PHLOE于点H.

则PH〃AB.

•••P是AE的中点，

APH是AAOE的中位线，

.,.PH=1OA=1（3-1）=1.

22

•.,直角AAOE中，ZOAE=45°,

...△AOE是等腰直角三角形，即0A=0E=2,

同理4PHE中，HE=PH=1.

.*.HG=HE+EG=1+1=2.

.♦在RtZXPHG中，PG=,pH2+HG*4]2+2*

故答案是：V5-

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的中位线定理，正确作出辅助线构造直角

三角形是关键.

22.（4分）（2017•重庆）如图，矩形ABCD的边AB=1,BE平分NABC,交

AD于点E,若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于

点F,则图中阴影部分的面积是（）

AA.ToT___TBJ.—3-兀----cC.O_兀___D

4248H

【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE,BE的长以及

NEBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积=$矩形ABCD-SAABE-S扇形EBF，求出

答案.

【解答】解：•.•矩形ABCD的边AB=1,BE平分NABC,

.•.NABE=NEBF=45°,AD〃BC,

.,.ZAEB=ZCBE=45°,

AAB=AE=LBE=&,

•.•点E是AD的中点，

/.AE=ED=L

...图中阴影部分的面积=S矩形ABCD-SAABE-S扇形EBF

=1X2-iX1X1-45兀X（衣产

2360

=3__工

~2T-

故选:B.

【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的

长以及/EBC的度数是解题关键.

23.（4分）（2017•乌鲁木齐）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在

BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形

面积为4门且NAFG=60。，GE=2BG,则折痕EF的长为（）

【分析】由折叠的性质可知，DF=GF、HE=CE、GH=DC、NDFE=NGFE,结合

NAFG=60。即可得出NGFE=60。，进而可得出4GEF为等边三角形，在Rt^GHE

中，通过解含30度角的直角三角形及勾股定理即可得出GE=2EC、DC=V3EC,

再由GE=2BG结合矩形面积为4代，即可求出EC的长度，根据EF=GE=2EC即

可求出结论.

【解答】解：由折叠的性质可知，DF=GF,HE=CE,GH=DC,ZDFE=ZGFE.

ZGFE+ZDFE=1800-ZAFG=120°,

，ZGFE=60°.

•.•AF〃GE,ZAFG=60°,

.,.ZFGE=ZAFG=60°,

/.△GEF为等边三角形,

，EF=GE.

VZFGE=60°,ZFGE+ZHGE=90°,

/.ZHGE=30°.

在RtAGHE中，NHGE=30。，

，GE=2HE=CE,

GH=^Qg22=E=V3CE.

VGE=2BG,

:.BC=BG+GE+EC=4EC.

•.•矩形ABCD的面积为4仃，

，4EC•小C=4我，

/.EC=1,EF=GE=2.

故选C.

【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、等边三角形的判定及性质以及解含

30度角的直角三角形，根据边角关系及解直角三角形找出BC=4EC、DC=V3EC

是解题的关键.

24.（3分）（2017•杭州）如图，在AABC中，AB=AC,BC=12,E为AC边的

中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD=x,tanZACB=y,则（）

A.x-y2=3B.2x-y2=9C.3x-y2=15D.4x-y2=21

【分析】过A作AQLBC于Q,过E作EMLBC于M,连接DE,根据线段垂

直平分线求出DE=BD=x,根据等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,

解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt^DEM中，根据勾股定理求出即可.

过A作AQ_LBC于Q,过E作EM_LBC于M,连接DE,

：BE的垂直平分线交BC于D,BD=x,

/.BD=DE=x,

VAB=AC,BC=12,tanZACB=y,

AEM=AQ=y>BQ=CQ=6,

MCCQ

AQ=6y,

VAQ±BC,EM±BC,

，AQ〃EM,

•.•E为AC中点，

，CM=QM=LCQ=3,

2

，EM=3y,

DM=12-3-x=9-x,

在RtZ\EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9-x)2,

即2x-y2=9,

故选B.

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直

角三角形等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键.

25.（3分）（2017•湖州）如图，已知在RtZkABC中,ZC=90°,AC=BC,AB=6,

点P是RtAABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）

A.1B.V2C.AD.2

2

【分析】连接CP并延长，交AB于D,根据重心的性质得到CD是AABC的中

线，PD=1CD,根据直角三角形的性质求出CD,计算即可.

3

【解答】解：连接CP并延长，交AB于D,

VP^RtAABC的重心，

，CD是AABC的中线，PD=』JCD,

3

VZC=90°,

.,.CD=1AB=3,

2

VAC=BC,CD是AABC的中线，

，CDLAB,

.,.PD=1,即点P到AB所在直线的距离等于1,

故选:A.

【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条

中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍.

26.（3分）（2017•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正

方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距遍的另一个格点的运动称为

一次跳马变换.例如，在4X4的正方形网格图形中（如图1）,从点A经过一次

跳马变换可以到达点B,C,D,E等处.现有20X20的正方形网格图形（如图

2）,则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳

马变换的次数是（）

A.13B.14C.15D.16

【分析】根据从一个格点移动到与之相距遍的另一个格点的运动称为一次跳马

变换，计算出按A-C-F的方向连续变换10次后点M的位置，再根据点N的

位置进行适当的变换，即可得到变换总次数.

【解答】解：如图1,连接AC,CF,则AF=3^,

二两次变换相当于向右移动3格，向上移动3格，

又..，MN=20加，

...20&+3&=型，（不是整数）

3

...按A-C-F的方向连续变换10次后，相当于向右移动了10+2X3=15格，向

上移动了10+2X3=15格，

此时M位于如图所示的5X5的正方形网格的点G处，再按如图所示的方式变

换4次即可到达点N处,

，从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变

换的次数是14次，

故选:B.

【点评】本题主要考查了几何变换的类型以及勾股定理的运用，解题时注意：在

平移变换下，对应线段平行且相等，两对应点连线段与给定的有向线段平行（共

线）且相等.解决问题的关键是找出变换的规律.

27.（3分）（2017•舟山）一张矩形纸片ABCD,已知AB=3,AD=2,小明按如

图步骤折叠纸片，则线段DG长为（）

A.V2B.272C.1D.2

【分析】首先根据折叠的性质求出DA\CA，和DC的长度，进而求出线段DG

的长度.

【解答】解：•••AB=3,AD=2,

.•.DA'=2,CA'=1,

.*.DCf=l,

VZD=45°,

.•.DG=&DC=&,

故选A.

【点评】本题主要考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是求出DC的长

度.

28.（4分）（2017•舟山）如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan

ZBA,C=1,tan/BA2C=L,tan/BA?C=L,计算tanZBA4C=-L,...按此

37—13—

规律，写出tanNBAnC=一l一（用含n的代数式表示）.

—9一--

n'F+1

_______小出444”

BC

【分析】作CHLBA4于H,根据正方形的性质、勾股定理以及三角形的面积公

式求出CH、A4H,根据正切的概念求出tanNB&C,总结规律解答.

【解答】解：作CH_LBA4于H,

由勾股定理得，BA4={42+]"71AA4c=A/]0,

△BA4C的面积=4-2-2=1,

22

.,.1XV17XCH=1,

22

解得，CH=®I,

17

A4H=22=1

则7A4C-CH

I.tanNBA4c

A4H13

1=12-1+1,

3=22-2+1,

7=32-3+1,

1

tanZBAnC=—

n-n+1

故答案为：

13n^-n+1

【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的应用以及正切的概念，掌握正

方形的性质、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键.

29.（4分）（2017•舟山）一副含30。和45。角的三角板ABC和DEF叠合在一起,

边BC与EF重合，BC=EF=12cm（如图1）,点G为边BC（EF）的中点，边FD

与AB相交于点H,此时线段BH的长是12吏-12.现将三角板DEF绕点

G按顺时针方向旋转（如图2）,在NCGF从0。到60。的变化过程中，点H相应

移动的路径长共为12亚-12或12巫-18.（结果保留根号）

【分析】如图1中，作HMLBC于M,HNLAC于N,则四边形HMCN是正

方形，设边长为a.在RtABHM中，BH=2HM=2a,在RtAAHN中，

AH=F-2区,可得2a+&l=8畲,推出a=6a-6,推出BH=2a=12«-12.如

V333

2

图2中，当DG±AB时，易证GHj±DF,此时BHt的值最小，易知

BH|=BK+KH|=3后3,当旋转角为60。时，F与H?重合，易知8氏=6愿，观察

图象可知，在NCGF从0。到60。的变化过程中，点H相应移动的路径长

=2HH|+HH2，由此即可解决问题.

【解答】解：如图1中，作HM±BC于M,HN±AC于N,则四边形HMCN

是正方形，设边长为a.

在Rt^ABC中，•.•NABC=30。，BC=12,

•*.AB=g=8A/"5,

V3

T

在Rt^BHM中，BH=2HM=2a,

在RtAAHN中，AH=F-=3&a,

V33

2

/.2a+

3

/.a=6-\[s-6,

，BH=2a=12«-12.

如图2中，当DG±AB时，易证GHiJ_DF,此时BH,的值最小，易知

BH]=BK+KHi=3后3,

.*.HH|=BH-BHi=9a-15,

当旋转角为60。时，F与H2重合，易知BH2=6Q,

观察图象可知，在/CGF从0。到60。的变化过程中，点H相应移动的路径长

=2HH1+HH2=18V3-30+[673-（12我-12）]=12旧-18.

故答案分别为12«-12,12仃-18.

【点评】本题考查轨迹、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题

的关键是正确寻找点H的运动轨迹，属于中考常考题型.

30.（3分）（2017•金华）如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm

的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）

A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm

【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定

理得出答案.

【解答】解：如图，过。作OD_LAB于C,交。。于D,

VCD=8,OD=13,

，OC=5,

XV0B=13,

ARtABCOBC=^QB2_0C2=12,

/.AB=2BC=24.

故选：C.

Q^A3cm

【点评】此题主要考查了垂直定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键.

31.（3分）（2017•金华）如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情

况，现已在A、B两处各安装了一个监控探头（走廊内所用探头的观测区域为圆

心角最大可取到180。的扇形），图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域.要

使整个艺术走廊都能被监控到，还需要安装一个监控探头，则安装的位置是

（）

B------------------C

A.E处B.F处C.G处D.H处

【分析】根据各选项安装位置判断能否覆盖所有空白部分即可.

【解答】解:如图,

A、若安装在E处，仍有区域：四边形MGNS和4PFI监控不到，此选项错误;

B、若安装在F处，仍有区域：4ERW监控不到，此选项错误;

C、若安装在G处，仍有区域：四边形QEWP监控不到，此选项错误;

D、若安装在H处，所有空白区域均能监控，此选项正确;

故选：D.

【点评】本题主要考查视点和盲区，掌握视点和盲区的基本定义是解题的关键.

32.（4分）（2017•宁波）如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边

AB上，BE=4,过点E作EF〃BC,分别交BD,CD于G,F两点.若M,N分

别是DG,CE的中点，则MN的长为（）

【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明△EMFgACMD,则EM=CM,利

用勾股定理得：BD=J^/6&,EC=^42+62=2713＞可得4EBG是等腰直

角三角形，分别求EM=CM的长，利用勾股定理的逆定理可得aEMC是等腰直

角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长.

【解答】解：连接FM、EM、CM,

•.•四边形ABCD为正方形，

:.ZABC=ZBCD=ZADC=90°,BC=CD,

•.•EF〃BC,

，NGFD=NBCD=90。，EF=BC,

，EF=BC=DC,

VZBDC=^ZADC=45°,

2

...△GFD是等腰直角三角形，

•.•M是DG的中点，

；.FM=DM=MG,FM_LDG,

，ZGFM=ZCDM=45°,

AAEMF^ACMD,

，EM=CM,

过M作MH，CD于H,

由勾股定理得：BD=^62+62=6V2»

EC={42+62=277^,

VZEBG=45°,

/.△EBG是等腰直角三角形，

，EG=BE=4,

，BG=4加，

.\DM=V2

/.MH=DH=1,

.*.CH=6-1=5,

•"CM=EM={]2+5右426,

VCE2=EM2+CM2,

/.ZEMC=90°,

•••N是EC的中点，

.•.MN=1EC=V13；

2

故选C.

【点评】本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形

的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，

本题的关键是证明aEMC是直角三角形.

33.（3分）（2017•衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是。O

的直径，CD、EF是。O的弦，且AB〃CD〃EF,AB=10,CD=6,EF=8.则图

中阴影部分的面积是（）

A.至JtB.10KC.24+4KD.24+5兀

2

【分析】作直径CG,连接OD、OE、OF、DG,则根据圆周角定理求得DG的

长，证明DG=EF,则S阚形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明SAOCD=S

△ACD，SZ\0EF=SAAEF，贝US阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S芈回，即可求解.

【解答】解：作直径CG,连接OD、OE、OF、DG.

•.•CG是圆的直径，

.♦.NCDG=90°，则DG=YCG2V产出三洛8,

又•；EF=8,

，DG=EF,

••S南形ODG=S扇形OEF，

•.•AB〃CD〃EF,

SAOCD=SAACD>SAOEF=SAAEF>

2

AS网影=S南形OCD+S扇彩OEF=S阚形OCD+S阚形ODG=SWi=AjrX5=-^7t.

22

故选A.

【点评】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理.本题中找出两个阴影部分面积

之间的联系是解题的关键.

34.（4分）（2017•绍兴）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利

用了如图.该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上

一点，ZACF=ZAFC,ZFAE=ZFEA.若NACB=21。，则NECD的度数是（）

E

A.7°B.21°C.23°D.24°

【分析】由矩形的性质得出ND=90。，AB〃CD,AD〃BC,证出NFEA=NECD,

ZDAC=ZACB=21°,由三角形的外角性质得出NACF=2NFEA,设/ECD=x,

则NACF=2x,NACD=3x,在Rt^ACD中，由