《微积分课后习题答案》四章习题

第四章教材习题选解或提示

(A)

2.不用求出函数/(x)=Mx-l)(x—2)(x—3)的导数，说明，⑴有几个根

及所在区间.

解：/(x)=x(x-l)(x—2)(x—3)的导数为三次多项式，则/'(x)=0最多

有三个解，因为/(0)=/⑴=/>⑵=/■⑶，根据罗尔定理，可知存在

4G(0,1)使得［格)=0；存在&e(l,2)使得［($)=0；存在

《€(2,3)使得/修3)=0.

3.证明方程%5+/+%+5=()有且仅有一个实根.

证：设函数/(%)=/+Y+%+5,则/(x)在R上连续.

由于/(一2)=-37,/(0)=5,所以存在一点当e(-2,0),使得

/(xJ=0.

假设/+/+尢+5=0除%］外还有一根修。0.不妨假设

玉<*2,则/(不)=/(々).

/(x)在闭区间房,马］上连续，在开区间(内,光2)内可导.因此，有

/'(1)=0，欠(x,,x2)

而f\x)=5/+3X2+1>1,矛盾,得证.

4.设a>/?>0,〃>1,证明：nb"~'(a-b)<a"-b"<nan-l(a-b).

证：设函数/(关)=x",在区间以㈤I二应用拉格朗日定理，得

口;€(。力)

b-a

因为所以na"T<n^"~'<nb"~',

所以〃qiJ"一优<泌"，得〃b"T(a-b)<a"-b"<na"T(a-b).

b-a

6.设函数f(x)在［0,同上连续,在(O,a)内可导,且/⑷=0,证明：至

少存在一点

兵(O,a),使得/C)+/位)=0.

证：设函数尸(X)=J^(X),因为F(0)=4(a)=0,可知F(x)在区间［0,a］

满足罗尔定理,则有尸解)=01e(O,a),即/(?)+/C)=o

Je(0,a).

7.若方程a()x"+a,xn~l+…+。“_/=0有一个正根x=/，证明：

2

方程a()〃x"T+at(〃-l)x"~+…+a“_|=0必有一个小于的正根.

证：设函数尸=+产(0)=0,则可知尸(x)在

区间［O,x(J满足罗尔定理，可知尸G)在区间［0,须J满足罗尔定理，则有

尸'6)=0欠(0,%),即为〃夕T+4(〃—1纥""+...+/I=0,

Je(0,*0),方程aonx"~'+q(〃-l)x"-2+…+a“_］=0必有一^M、于

x0的正根.

8.设函数/(X)在［a,H上连续，在(。力)内可导，并且有/(a)=/(/?)=0.

试证：至少存在一点刈e（a,力）,使得/纭）-/⑹=0.

证：设函数函（6=。珠-*,F（a）=F（b）=0,可知设（x）在区间[a,b]

满足罗尔定理,则有尸'G）=0*（a,b）,即LrG）-/Ob'。,

可得，至少存在一点Je（aS）,使得/'仔）一/仁）=0.

9.求下列极限:

ln(l4-x)⑵i£z£

⑴hm-----------im

%T°Xz°sinx

1.COSX-Jl+X

lim-------------------------(4)lim-----—(〃,ft>0)；

⑶a。/

ln|1+-

⑸lim（6）limx?/；

iparccotxXTO

x1

⑺lim⑻lim(tanx)s，nA；

siIx-1Inx

i.x-sinxp-p

lim---------------(10)lim----------

⑼“T8x+sinx­/+/

(11)limjl+父；/I\tanx

(⑵则1•

X

1

解：（）如皿

1lim二lim且工=1；

一。xXTO1

e*-e~xe+e~

(2)lim----------lim-----------=2；

s°sinxXT°COSX

.1

-sinx----...——

「COSX-V1+x________

6)lim-------------=lim

XTOJTx->03x2

1加71=1加卜-n防,

（4）=In—；

A->0%XT。Ib

infill也T

⑸]im」~£=lim—J-----=1；

ifarccotx1

~l+x2

i

1*I;

2v?

（6）limxe二lim—；—=lim=oo-

x-»0

xlnx-x+1Inx

⑺-7------T----=lim----------

(x-l)lnx—i.1

\7lnx+1--

x

1

=lim.x■=00；

x->l11

IntanxIntanx

hm——-——hm——：——

,、z、•,/vdnxHmsinxIntanx*~*°+----t-*o+—

(8)lim(tanx)s，nx=limen(tanx)=ex^o+=esinx-e

.10+XTO，

1■>

----sec-x

Isinx

(9)limV-SmY=lim——^=1；

i0°x+sinxz00j+sinx

x

-2x

lim

zo+__L

-e=e0=1.

10.确定下列函数单调区间：

(1)y=x3-3x2-9x+2；

(4)y-x-ex.

解：(1)y=d—3%2-9%+2,令了=3尤2-6X-9=0,得

X1=-l,x2=3,列表讨论

区I'HJ(-1,3)3,+8)

广(x)+-+

/(X)TT

(―8,-1］和［3,+8)为函数/(x)的单调增加区间，［—1,3］

为函数/(x)的单调减少区间;

(4)y=x-ex,令y'=]-e*=0,得x=0,

当x<0时，/>0；当x>0时，y<o,因此

(-8,0]为单调增加区间，[o,+8)单调减少区间.

11.证明下列不等式：

(1)当x>o时，

2

______11

解：设函数/(x)=l+±r—jm,f(x)=-一一当x>0时，

222jl+x

函数单调增加，有/(x)>/(o)=o,aiu+|>Vf+T.

13.求下列函数的最值：

(1)y=2x3-3x2,xe[-1,4]

解：令y'=61-6x=0,得玉=0,%2=1，

/(-1)=一5"(。)=0,川)=一1,〃4)=80,函数的最大值为/⑷=80,

函数最小值为/(-1)=-5.

18.设某厂生产某种产品x个单位时，其销售收入R(x)=3j7,成本函数

为C(x)=；/+1.求使总利润达到最大的产量工.

解：总利润为L(x)=3五一4/_1,1⑴=3,得驻点龙=血，

42Vx2

当工=莎时，总利润最大.

20.当。、〃为何值时，点(1,3)为曲线y=ax'+〃/的拐点？

解：/(1)=3,即Q+〃=3,/〃(1)=6Q+2Z?=0,得

2.已知函数/(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0"⑴=1,

/(x)是x的非线性函数.试证:在(0,1)内至少存在一点&，使得/图〉1.

证：/(x)是x的非线性函数，则至少有一点与€(0,1),使得了(*0)。/，

不妨设/(%)>/，则在(°，/)满足拉格朗11中值定理，即

其中Je(O,x°)u(O,l).

/一°

5.设函数/(x)在闭区间［0,A］上连续，且/(0)=0.如果/'(X)存在且为

增函数(xe(0,A)).试证：函数/x)=，/(x)也是增函数.

证：当尤>0,/(x)在区间(0,x)满足拉格

XX

朗日中值定理，则有=(0,九)，

F,(x)=-/(x)-if'G)>0,函数尸(尤)=，/(x)是增函数.

XXX

9.设/(x)在x=0处二阶可导，且二阶导数连续，已知

lim1+x+x/，求/(0),广(0)/(0)及

lim1+

解：lim1+x+JC

x->0X2I。2xXT。2

则/(O)=O"'(O)=OJ"(O)=l，

川劄入

（四）模拟试题

一、填空题（本题共5小题，每题6分，共30分）

1.函数/（x）=sinx在区间（0,万）满足罗尔定理的点为

c附1-C0SX„

2.极限hm-7——为____________・

XT0X2

3.函数/（x）=21-x的单调减少区间为.

4.曲线）=/-2》+2的拐