不等式知识点及题型总结

不等式一、知识点：1.实数的性质：；；．2.不等式的性质：性质内容对称性，．传递性且．加法性质；且．乘法性质；，且．乘方、开方性质；．倒数性质．3.常用基本不等式：条件结论，，基本不等式：常见变式：；4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a，b都是正数，若ab是实值P，则当a=b=时，和a＋b有最小值2.命题2：已知a，b都是正数，若a＋b是实值S，则当a=b=时，积ab有最大值.注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可.5.一元二次不等式的解法：设a>0,x1x2是方程ax2+bx+c=0的两个实根，且x1≤x2，则有△△>0△=0△<0图象ax2+bx+c=0的解x=x1或x=x2x=x1=x2=-b/2a无实数解ax2+bx+c>0解集{x︱x<x1或x>x2}{x︱x≠x1}Rax2+bx+c<0解集{x︱x1<x<x2}ΦΦ结论：ax2+bx+c>0；ax2+bx+c<06.绝对值不等式（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。（2）7.不等式证明方法：基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法辅助方法：换元法（三角换元、均值换元等）、放缩法、构造法、判别式法特别提醒：不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，最常用的思路是用分析法探求证明途径，再用综合法加以叙述。我们在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。例：解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)．解：(1)方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．(2)不等式两边同乘以，原不等式可化为．方程的解为．根据的图象，可得原不等式的解集是．①②用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．不等式左右两边都是含有的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解．例：解不等式：（1）；（2）．解：（1）原不等式可化为把方程的三个根顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为（2）原不等式等价于∴原不等式解集为解下列分式不等式：例：（1）；（2）（1）解：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为。（2）解法一：原不等式等价于∴原不等式解集为。解法二：原不等式等价于用“穿根法”∴原不等式解集为例2：绝对值不等式，解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义二是根据绝对值的性质：或，因此本题有如下两种解法．例：解不等式解：原不等式等价于即∴．例3：已知f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且f(1)=1，若m、n∈［－1，1］，m+n≠0时＞0(1)用定义证明f(x)在［－1，1］上是增函数；(2)解不等式f(x+)＜f()；(3)若f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，求实数t的取值范围技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔(1)证明任取x1＜x2，且x1，x2∈［－1，1］，则f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=·(x1－x2)∵－1≤x1＜x2≤1，∴x1+(－x2)≠0，由已知＞0，又x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x)在［－1，1］上为增函数(2)解∵f(x)在［－1，1］上为增函数，∴解得{x|－≤x＜－1，x∈R}(3)解由(1)可知f(x)在［－1，1］上为增函数，且f(1)=1，故对x∈［－1，1］，恒有f(x)≤1，所以要f(x)≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，故t2－2at≥0，记g(a)=t2－2at，对a∈［－1，1］，g(a)≥0，只需g(a)在［－1，1］上的最小值大于等于0，g(－1)≥0，g(1)≥0，解得，t≤－2或t=0或t≥2∴t的取值范围是{t|t≤－2或t=0或t≥2}例5：解关于x的不等式＞1(a≠1)解原不等式可化为＞0，①当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解由于∴原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞)②当a＜1时，原不等式与(x－)(x－2)＜0同解由于,若a＜0，,解集为(，2)；若a=0时，，解集为；若0＜a＜1，,解集为(2，)综上所述当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a＜0时，解集为(，2）例6设，解关于的不等式．分析：进行分类讨论求解．解：当时，因一定成立，故原不等式的解集为．当时，原不等式化为；当时，解得；当时，解得．∴当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．说明：解不等式时，由于，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解．因为当时，原不等式化为，此时不等式的解集为，所以解题时应分与两种情况来讨论．的解是．例8解关于的不等式．分析：不等式中含有字母，故需分类讨论．但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母，故需比较两根的大小，从而引出讨论．解：原不等式可化为．(1)当（即或）时，不等式的解集为：；(2)当（即）时，不等式的解集为：；(3)当（即或1）时，不等式的解集为：．说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论．比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根，，因此不等式的解就是小于小根或大于大根．但与两根的大小不能确定，因此需要讨论，，三种情况．例9不等式的解集为，求与的值．分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．解法一：设的两根为，，由韦达定理得：由题意：∴，，此时满足，．解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故需满足：∴，．例10解关于的不等式．分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想．解：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，∴(2)当时，原不等式变为：①①当时，①式变为，∴不等式的解为或．②当时，①式变为．②∵，∴当时，，此时②的解为．当时，，此时②的解为．说明：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．例11解不等式．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．解：原不等式等价于下面两个不等式组：①②由①得，∴由②得∴，所以原不等式的解集为，即为．说明：本题也可以转化为型的不等式求解，注意：例12.已知关于的不等式的解集是，求实数之值．解：不等式的解集是是的两个实数根，由韦达定理知：．练习．已知不等式的解集为求不等式的解集．解：由题意，即．代入不等式得：．即，所求不等式的解集为．1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值范围是______（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_____（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_____（答：（,））；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_____（答：）；（5）若