2013高考数学文真题解析分类汇编-数列

2013年高考数学（文）解析分类汇编5：数列一、选择题1．（年高考大纲卷（文））已知数列1．（年高考大纲卷（文））已知数列｛a｝满足=0,an则｛a｝的前230项和等于（A-A--6G-3-10)C3G-3-10)D．【答案】【解析】由3an+1以a-【解析】由3an+1以a-n+1

an所以a—aa—aq21所以14a=a•—=--x(-3)=41 2q3所以S104[1-(-1)10] 13——3(1-310)1+13，故选C.年高考安徽（文））设年高考安徽（文））设s为等差数列｛a｝的前n项和37A--6A--6B．-4C.-2D．【答案】【解析】S—4a【答案】【解析】S—4a838(a+a)n—1 8—=4ana+a—aa=02 3 3636，选A.d—-2,a—a+2d—-697年高考课标I卷（文））设首项为1公比为2的等比数列｛a｝的前n项和为s则（A．B．A．B．CS=4-3annD-S=3-2ann【答案】【解析】在等比数列中=ai【解析】在等比数列中=aiqn-1=(2)n-1a-qa-1 n1-q1-2a32n=3-2a1-3，选D.年高考辽宁卷（文））下面是关于公差d〉0的等差数列（a）的四个命题【答案】【答案】15p:数列p:数列｛a｝是递增数列;p：数列n｝是递增数列；p3：数列mi是递增数列;p:数列｛a+3nd｝是递增数列；其中的真命题为AA．AA．p,p12【答案】BB．p,p34CC．p,p23D．p1,p4【解析】设a=a+(n—1)d=dn+m

n1所以P正确；如果aa1=3n—12则满足已知，但na=3n【解析】设a=a+(n—1)d=dn+m

n1所以P正确；如果aa1=3n—12则满足已知，但na=3n2—12n并非递增所以P错；如果若a=n+「则满足已知，但an 2 n -1=1+1'n是递减数列，所以P错；a+3nd=4dn+m，所以是递增数列，P正确4二、填空题．（年高考重庆卷（文））若、a、b、c、成等差数列则c—a二【答案】7【解析】本题考查等差数列的基本运算与性质。因为2,a,b,c,9成等差数列，所以9=2+4d，即公差7d=-4，所以77。c—a=2d=2x—=—42年3高考北京卷（文））若等比数列｛a｝满足a+a=20,a+a=40则公比35【答案】【解析】_n项_n2n+1—2a+a :a+a

2q(a 2+a) 4-代回得a=21，根据等比数列求和公式a+a4 24a(1—qn) 2(1—2n)1—2=2n+1—2公比为公比为—2的等比数列,则．（年高考广东卷（文））设数列U｛a｝是首项为1

．（a+1aI+a+1a1=1234【解析】因为a=aqn」=(_2)〃」，所以a+1a|+a+1a|=1+2+4+8=15。n1 1234(201年3高考江西卷(文12))某住宅小区计划植树不少于10棵0,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的倍则需要的最少天数n(n£N*)等于【答案】6【解析】本题考查等比数列的求和以及在实际生活中的应用。由题意可知，植树棵树，构成一个等比数列，其中a=2q22，所以2dn2) ，由1 - S=- =2n+1—2n1—2S=2n+1—2<10得，S=2n+1<102，因为26=64,27=124，所以n+1>7，即nnn>6，所以最少6天。.(年高考辽宁卷(文))已知等比数列｛a｝是递增数列S是｛a｝的前n项和n nn若a,a是方程x2-5x+4=0的两个根则S=13 6【答案】63【解析】a+a=5,aa=4由递增，a=1,a=4，所以a，q=2代入1 3 13 1 3 q2=—=4a1等比求和公式得S=63610.(201年3高考陕西卷(文13))观察下列等式:(1+1)=2x1(2+1)(2+2)=22x1x3(3+1)(3+2)(3+3)=23x1x3x5照此规律第n个等式可为【答案】(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n13-5.…(2n-1)【解析】考察规律的观察、概况能力，注意项数，开始值和结束值。第n个等式可为：(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n」•3-5…・(2n-1).( 年上海高考数学试题(文科))在等差数列〃｝中若a+a+a+a=30则n 1234a+a= .23【答案】【解析】a+a+a+a=2(a+a)=30na+a=15TOC\o"1-5"\h\z1234 23 23三、解答题.（年高考福建卷（文））已知等差数列｛a｝的公差d=1前n项和为Snn（若］aa成等比数列求a,a,a a13 1（若S>aa求〃的取值范围/aaa5 19 1【答案】解（因为数列｛a｝的公差d=1且La,a成等比数列n 13所以a2=1x（a+2）11即a2-a一2=0解得a=一1或a=211 1 1（因为数列｛a｝的公差d=1且S>aan 5 19所以5a+10>a2+8a1 11即a2+3a-10<0解得一5<a<211 1.（年高考大纲卷（文））等差数列〃｝中a=4,a=2a,n 7 19 9（求｛a｝的通项公式n（设1 ,、b=上,求数列｛b｝的前n项和S.nna n nn【答案】（I）设等差数列｛a｝的公差为则a=a+5一1）dn n1因为（a=4所以「a+6d=4〈7c 1Ia=2a a+18d=2（a+8d）19 9 1 1解得, 1.a=1,d=—1 2所以｛a｝的通项公式为 n+1In a=—^(II) ]b=(II) ]b= nnan2 22 =—― n(n+1)nn+12222所以22 22S=所以22 22S=(—--)+(—--)+

n12 23+(2-

n)=( 年高考湖北卷(文))已知S是等比数列｛a｝的前n项和SSS成等差数列n n 423且a+a+a=-18234(I)求数列｛a｝的通项公式；n(II)是否存在正整数n使得S>2013若存在求出符合条件的所有n的集合;若不存n在,说明理由.【答案】(I)设数列｛a｝的公比为q则a丰0q丰0由题意得

n1S-S=S-S,即1-aq2-aq3=aq2,2 4 3 2 < 1 1 1a2+a3+a4=-18, [aq(1+q+q2)=-18,解得fa=3,1ql-2.故数列｛a｝的通项公式为a=3(-2)n-1nn(I)由(I)有(I)由(I)有Sn3•[1-(-2)n]1-(-2)=1-(-2)n若存在n使得S>2013则1-(-2)n>2013即(-2)n<-2012.n当n为偶数时(-2)n〉0上式不成立；当n为奇数时(-2)n=-2n<-2012即2n>2012则n>11综上存在符合条件的正整数n且所有这样的的集合为｛nn=2k+1,keN,k>5｝．(2013年高考湖南(文))设S为数列｛a｝的前项和,已知nna丰0a-a=S•Sne*TOC\o"1-5"\h\z1 n1 1n(I)求aa并求数列a的通项公式；(I)求数列na的前n项和12 n n【答案】解:(I)・.・S=a.当n=1时,2a-a=S•Sna丰0,a=1.1 1 1 1 11 1 1当n>1时，a=s当n>1时，a=s—snnn—1__n 1———n—i 1=2a—2ana=2aTOC\o"1-5"\h\zS S n n—1 n n—111n{a}时首项为a=1公比为q=2的等比数列，a=2n—i,ngN*.n 1 n(II)设T=1•a+2•a+3•aH Fn•anqT=1•qa+2•qa+3•qaH Fn•qan 12 3 n n 12 3 nnqT=1•a+2•a+3•aH Fn•an 2 3 4 n+1上式左右错位相减(1—q)T(1—q)Tn=a+a+a+•…+a—na=a - na12 3 n n+1 11—q n+1nT=（n—1）.2n+1,ngN*n年高考重庆卷（文））（本小题满分分，（1）小问分，（II）小问分）设数列3｝满足a=1，a=3a，ngNn 1 n+1 n +（I）求｛a｝的通项公式及前n项和snn（11）已知｛b｝是等差数列，t为前n项和，且b=a，b=a+a+a，求Tn n 1 2 3 1 2 3 20【答案】［解析】口）由题设知也J是首项为、公比为3的等比数列.所以q二3『二\-3n1-3(2)%=%=3,白=1+3+9=13,白-%=[0=2d.所以公差4=5.20x19故居】=20x3+——x5=IOJO.年高考天津卷（文））已知首项为3的等比数列｛a｝的前项和为S（ngn*）,且- n n2—2SS4S成等差数列2 3 4（I）求数列｛a｝的通项公式n

(II)证明1S+一<一(neN*)nS6n【答案】北;普蹩鬟查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前〃项和公式，歌篙版濯”考查分类讨论的思想’考查运算能力、分析问题和解决问触用I肥刀.满分14分.（I）解：设等比数列｛4｝的公比为夕，因为-2s2，邑，4S4成等差数列，所以S3+ZSl4s「S、,即SfnS2/,可得2%=f，于是令=幺=」.又％工% 2 12所以等比数列Sj的通项公式为4=(II)证明：Sn=l-1H =(II)证明：Sn=l-1H =1—S.1一1-2+——5—2〃(2、1)2+—?—，〃为奇数,当"为奇数时，S.+L随〃的增大而减小,当〃为偶数时，S,+5随〃的增大而减小,

fl\2)所以S,+’w'+~Ls.y所以Sw+JwSz+J* »2272"-1)13: .625= •12，〃为偶数.1 17故对于〃eN1 17故对于〃eN・，有乞+上〈上.S„6年3高考北京卷（文））本小题共分)给定数列a,a,,a对i=12n—1

a，a，，a,,,n12 n该数列前i项的最大值记为a该数列前i项的最大值记为ai后n—i项a,i+1a…，i+2的最小・值记为TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"Bd=A—B …iiii（I）设数列｛a｝为 写出1dd的值n 123（I）设aaa（n>4）是公比大于的等比数列且a>0证明a，a，，a a12 n 1ddd是等比数列1 2 n—1(III)设ddd是公差大于的等差数列且d>0证明aaa是等差数1 2 n—1 1 12 n—1列【答案】解(d=2,d=3,d=6123(因为a>0公比q>1所以a,a,,a是递增数列1 12 n因此对i=1,2,,n—1A=aB=a…iii i+1于是对，=1,2, ,n-1d二a一b二a一〃=a(1_q)qi-iTOC\o"1-5"\h\ziiii i+1 1因此d中0且d.(i=1,2,,n-2)即ddd是等比数列i —d+1=q 1 2 n-1i ・・・(设)d为dd d的公差1 2 n-1对1<i<n-2 因为B<B d>0 所以i i+1A= + >Bd+d+d>B+dAi+1 i+1 ii+i iii又因为a=max｛A,a｝所以a=A>A>ai+1 ii+1 i+1 i+1 ii从而a,a,,a是递增数列因此A =a(i =1,2,,n-2)1 2 n-1 i i又因为B=a•-d=a-d<a 所以B <a < a<..之a1 1 1 1 1 1 1 1 2 n-1因此a=B所以B=B= =B=a・♦.n1 1 2 n-1 n所以a=AB+d=a+d…,iiiini因此对i=1,2,,n-2都有a-a=d-d=d即aaa是等差数列i+1i i+1 i 1 2 n-1年高考山东卷(文)设等差数列｝的前n项和为s且S二4Sa=2a+1n n 4 2 2n n(I)求数列｝的通项公式n(II)设数列b｝满足bb b 1 ,b｝的前n项和tn -i-+-2-+ +-n-=1-,nEN* n n\o"CurrentDocument"aa a 2n12 n【答案】

.（ 年高考浙江卷（文））在公差为的等差数列 中已知且 成等比数列（I）求；（II）若求【答案】解：(1)由已知得到：(2a+2)2=5aan4(a+d+1)2=50(a+2d)n(11+d)2=25(5+d)2 13 1 1

nl21+22d+Q2=125+25dnQ2—3/4=00d—4 d二一1nl21+22d+Q2=125+25dnQ2—3/4=00或〈(11)由(知当d<0时a=ll-n

na>0/.Ia\+\a\+\aI++1a1=a+a^+a+n 1 2 3皿〃1 2 3+an(lQ+11-n)n(21-n)(11)由(知当d<0时a=ll-n

na>0/.Ia\+\a\+\aI++1a1=a+a^+a+n 1 2 3皿〃1 2 3+an(lQ+11-n)n(21-n)2 - 2②当时a<0/.Ia\+\a1+1。I+n 1 2 3I■+1a\—clci+ci++。—(a+a++a)

正〃 1 2 3皿n'12 13皿/=2(]+(2+Cl++4)—(4+4+Cl++4)=2X1 2 3皿1/I1 2 3皿/11(21-ll)_n(21-n)_n2-2bl+2202 - 2 2所以综上所述n(21-n)——_——,(1<72<11)Ici1+1。1+1。I++1ciI—<1 2 3E" 〃2_21〃+220/c、 ,伽212)< 乙.（ 年高考四川卷（文））在等比数列｛〃｝中n项求数列｛〃｝的首项、公比及前几项和n【答案】解设｛〃｝的公比为由已知可得na-a=2且2〃为3。和〃的等差中2 1 2 1 3aq-a=24aq=3a+aq?ii rii”所以〃](q—l)=2qi-4^+3=0解得q=3或q=l由于Q(q_l)=2因此q=l不合题意应舍去所以数列的前〃项和3.-1S=-~~-〃 2年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列｛〃｝的前几项和为s满足nTOC\o"1-5"\h\z4s=Q2一4〃一1,〃£N*,且〃构成等比数列nn+1 2 5 14证明a=J4q+5求数列｛〃｝的通项公式证明对一切正整数〃有1 1 11 + ++ <—

aaaaaa2【答案】12 23 nn+1【答案】a>0:.an 2当〃=1时4a=〃2一5,〃2=4a+5a>0:.an 2当时45 =ai 4a=4S-45 =a2-a2-4n-ln nnn-1 n+1n。2=。2+4]+4=(。+2> >0:.a-a+2n+1n n n n "+1n・二当"22时｛〃｝是公差d=2而等差数列a,a,a构成等比数列a,a,a构成等比数列“a,a2 5 14 5 2 14••也可知4a=a2-5=4,/.a=11 2 1(Q+8)2=a.Q+24)斛得。=3

2 2 2 2TOC\o"1-5"\h\za-a=3-1=2,｛〃｝是首项〃=1公差d=2的等差数列2 1 n 1::数列｛〃｝的通项公式为〃=2〃-1

n n11111+ - + + + +-f \aa1-33-55-7 ⑵-113+1)nn+1」+工-工11

7)2n+lJJ—,1- <一2L2〃+1」2年高考安徽（文））年高考安徽（文））设数列｛〃｝满足q二n 12〃 =8且对任意函数满足满足兀f,(-)=0

乙于(X)=(a-a+a)x+a-cosx-a-sinxnn+1rz+2 n+1 n+2(I)求数列｛a｝的通项公式n(II)若 (II)若 1b=2(a+——)nn 2a求数列｛b｝的前n项和Snna+a=824【答案】解:由=a+a=8241f(x)=(an一a+a )x+a •cosxf(x)=(anTOC\o"1-5"\h\zn+1 n+2 n+1 n+2f'(x)=a-a+a-a•sinx-a•cosxn n+1 n+2 n+1 n+2小、 八f(—)=a-a+a-a=02n n+1 n+2 n+1所以2a=a+an+1 n n+2,{a}是等差数列n而a=2a=4d=113.\a=2+(n-1)-1=n+1n)b=()b=(2a+nn1——)=2(n+1+2an12n+11)=2(n+1)+-2n(22+(22+n+1)n2+l(1-2T)1-2=n(n+3)+1—-2n.—1=n2+3n+1—-2n,a( 年高考课标I卷(文)已知等差数歹u｛a｝的公差不为零，a=25，且,an 1 11131成等比数列。(I)求｛a｝的通项公式；n(I)求a+a+a+ +a;147 3n一2

【答案】（r）设应｝的公差力或由题意.域二/%1即 @+1财*♦珥g+12J）.于是 dQ鼻+2n｝二0.义所片石.所以4京0，色走3d^-2r故 at--Zh+27.cn〉5a,=鼻+%+用+▼*■1+口.由fI）如为T=f71*散网一｝是首项为雷.公里工一＞前工节裁包.从而**=：依+61）=久+56）=-3ns+28jt.年高考江西卷（文））正项数列 满足a2.（2n_1）a—2n=0nn（求数列 的通项公式nn（令1求数列的前项和b= n（n+1）anTOC\o"1-5"\h\z【答案】解:（）由—Qn-1）—2n=0得（ ）（1(2)由(1)知由于是正项数列则(2)由(1)知=2n故7 1 1 1/11、b= = =—(—— )n(n+1)a (n+1)(2n)2n (n+1)n1 111...T=一(11 111...T=一(1一+———+2 223...+—— ) (1- ) nn+1 2n+1 2n+2年3高考陕西卷（文））设表示数列｛a｝的前项和n（I）若｛a｝为等差数列推导的计算公式n（II）若〃-1^0且对所有正整数 有1〃判断是否为等比数列a—1,q于0 1—qn ｛a｝1 S— nn1—q【答案】解：（I）设公差为则a—a+（n—1）dn1S=a+a+…+a+aTOC\o"1-5"\h\z<n 1 2 n-1 n n2S =(a +a)+(a+a)H \-(a +a)+(a +a)S=a+a+…+a+an1n2 n-1 n-1 1n1n n n-1 2 1n2S=n(a+a)nS=n(a1+°n)=n(a+二d)n 1n n 2 12I】a=1,q丰0,由题知q牛11-qn 1-qnH1 1-qnqn-qnH1VneN*,S= na=S—S= - = =qnn1-q nH1 nH1 n1-q1-q1-q1n=1a=， na=qn-1,neN*nIqn-1n>2n所以数歹U｛a｝是首项a