中级质量专业理论与实务 第五讲常用分布

第五讲

常用分布一、考试要求

1.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算。

2.了解超几何分布。

3.掌握正态分布的定义及其均值、方差和标准差，标准正态分布的分位数。

4.熟悉标准正态表的用法二、内容讲解四、常用分布(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1．二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:(1)重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。(2)n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。(3)每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。(4)每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1-p。在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0，1，…，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:这个分布称为二项分布，记为，其中是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：二项分布的均值、方差与标准差分别为：特例：n=1的二项分布称为二点分布。它的概率函数为：或列表如下：X01P1-pp它的均值、方差与标准差分别为[例1.2-10]在—个制造过程中，不合格品率为O.1，如今从成品中随机取出6个，记X为6个成品中的不合格品数，则X服从二项分布，简记为。现研究如下几个问题：(1)恰有1个不合格品的概率是多少?这里规定抽到不合格品为“成功”，则事件X=1的概率为：这表明，6个成品中恰有一个不合格品的概率为0.3543。类似可计算X=0，X=1，…，X=6的概率，计算结果可列出一张分布列，具体如下：X0123456P0.53140.35430.09840.01460.00120.00010.0000这里0.0000表示X=6的概率取前4位小数的有效数字为零，实际上，它的概率为P(X=6)=0.000001，并不严格为零。还可以画出一张线条图(图1.2—7(a))来表示这个分布(共有7个取值)。图上的横坐标为X的取值，纵轴为其相应概率。从此图上可以看出分布的形态，哪些上的概率大，哪些上的概率小。假如改变成功概率p，其线条图亦会改变。比如，连抛六次硬币，其中正面出现次数。通过计算可画出其线条图(见图1．2—7(b))，此图是对称的，如P(X=2)=P(X=4)=0.2343。(2)不超过1个不合格品的概率为：P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.5314+0.3543=O.8857这表明，6个成品中不超过1个不合格品的概率为0.8857。在实际中经常需要求形如“”的概率，在概率论中把事件“”的概率称为X的分布函数，也称为累积分布函数，记为F(X)，即：对二项分布的分布函数已编制了数表，详见附表1—1，此表可帮助我们计算二项概率，例如从附表1-1中可查得：P(X≤1)=0.8857，P(X≤4)=0.9999于是可算得：P(1<X≤4)=P(X≤4)-P(X≤1)=0.9999-0.8857=0.1142(3)二项分布的均值、方差与标准差分别为：2．泊松分布泊松分布可用来描述许多随机变量的概率分布。例如:(1)在一定时间内，电话总站接错电话的次数；(2)在一定时间内，某操作系统发生的故障数；(3)一个铸件上的缺陷数；(4)一平方米玻璃上的气泡个数；(5)一件产品因擦伤留下的痕迹个数；(6)一页书上的错字个数。从这些例子可以看出，泊松分布总与计点过程相关联，并且计点是在一定时间内、或一定区域内、或一特定单位内的前提下进行的，若表示某特定单位内的平均点数(>0)，又令X表示某特定单位内出现的点数，则X取值的概率为：这个分布就称为泊松分布，记为P()，其中e为自然对数的底，即2.71828…泊松分布的均值与方差(在数量上)是相等的，均为，即：E(X)=，Var(X)=，(1.2-6)[例1.2—11]某大公司一个月内发生的重大事故数X是服从泊松分布的随机变量，根据过去事故的记录，该大公司在一个月内平均发生1.2起重大事故，这表明：X服从=1.2的泊松分布，现考察如下事件的概率：(1)在一个月内发生1起重大事故的概率为：类似地也可计算X取其他值的概率，现罗列于如下分布列中：此例中，X理论上也可以取8，9，…等值。由于取这些值的概率的前三位小数皆为零，甚至更小，已无多大实际意义，故可不列出，当作不可能事件处理。也可把此8个概率画一张线条图，如图1.2—8。(2)在一个月内发生重大事故超过2起的概率为：这表明，该公司在一个月内发生重大事故超过2起的概率为O.121。(3)泊松分布P(1.2)的均值、方差与标准差分别为：3．超几何分布从一个有限总体中进行不放回抽样常会遇到超几何分布。设有N个产品组成的总体，其中含有M个不合格品。若从中随机不放回地抽取n个产品，则其中不合格品的个数X是一个离散随机变量，假如n≤M，则X可能取0，1，…，n；若n>M，则X可能取0，l，…，M，由古典方法(参见例1．1—4)可以求得的概率是：其中r=min(n,M)，这个分布称为超几何分布，记为h(n，N,M)。超几何分布h(n，N,M)的均值与方差分别为：[例1.2-12]，略，参见教材36页。

(二)正态分布正态分布是在质量管理中最重要也最常使用的分布，它能描述很多质量特性X随机取值的统计规律性。1．正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数有如下形式：它的图形是对称的钟形曲线，称为正态曲线。见图1.2—10。正态分布含有两个参数与，常记为。其中为正态分布的均值，它是正态分布的中心，质量特性X在附近取值的机会最大，关于对称。是正态分布的方差，是正态分布的标准差，愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中；p()在处有拐点(2阶导数为零)。同定标准差时，不同的均值，比如，对应的正态曲线的形状完全相同，仅位置不同，见图1.2-1l(a)。固定均值时，不同的标准差，如。，对应的正态曲线的位置相同，但形状(高低与胖瘦)不同，见图1.2—1l(b)。2．标准正态分布且=l的正态分布称为标准正态分布，记为N(0，1)。它是特殊的正态分布，服从标准正态分布的随机变量记为U，它的概率密度函数记为，它的图形见图1.2-12。实际中很少有一个质量特性(随机变量)的均值恰好为0，方差与标准差恰好为1。但一些质量特性的不合格品率均要通过标准正态分布才能算得。这里将先介绍标准正态分布表及其应用，分以下几点叙述。图1.2-12标准正态分布的概率密度函数的图形(1)标准正态分布函数表，用来计算形如“”的随机事件发生的概率，即标准正态分布函数。根据u的值可在标准正态分布函数表(附表1—2)上查得，例如事件“U≤1.52“的概率可从附表1—2上查得P(U≤1.52)=(1.52)=0.9357它表示标准正态随机变量U取值不超过1.52的概率，在数量上它恰好为1.52左侧的一块阴影面积(见图1.2-13)。由于直线是没有面积的，即直线的面积为零，故：P(U≤1.52)=P(U<1.52)=(1.52)=0.9357综合上述，可得如下计算公式：P(U≤a)=P(U<a)=(a)类似的计算公式还有一些，现罗列如下，图形可帮助我们理解它。(2)P(U>a)=l-(a)，(见图1.2—14)。(3)(-a)=l-(a)(见图1.2-15)。(4)P(a≤U≤b)=(b)-(a)(见图1.2—16)。(5)(见图1．2—17)。3．标准正态分布N(O，1)的分位数分位数是一个基本概念，这里结合标准正态分布N(0，1)来叙述分位数概念。对概率等式P(U≤1.282)=0.9，有两种不同说法：(1)0.9是随机变量U不超过1.282的概率。(2)1.282是标准正态分布N(0，1)的0.9分位数，也称为9%分位数或90百分位数，记为。后一种说法有新意，O.9分位数。，把标准正态分布密度函数下的面积分为左右两块，左侧一块面积恰好为O.9，右侧一块面积恰好为O.1，见图1.2-18。一般说来，对介于0与1之间的任意实数，标准正态分布N(O，1)的分位数是这样一个数，它的左侧面积恰好为，它的右侧面积恰好为l—(详见图1.2-19)。用概率的语言表示，U(或它的分布)的分位数是满足下面等式的实数：P(U≤)=分位数亦可用标准正态分布表从里向外查得，尾数可用内插法得到，比如0.95的分位数可先查得：由于概率0.95恰好介于0.9495与0.9505中问，故。0.5分位数，即50％分位数，也称为中位数，在标准正态分布N(O，1)场合，。当<O．5时，比如=0.25，由对称性可知，对它加上负号即得，类似地有(见图1.2—20)。标准正态分布的分位数亦可从附表1—3直接查得。4．有关正态分布的计算现在转入正态分布的计算。正态分布计算基于下面的重要性质。性质1：设X～N()，则。此性质表明，任一个正态随机变量X(服从正态分布的随机变量)经过标准化变换(X-)／后都归一到标准正态变量U。这里标准化变换是指正态变量减去其均值后再除以相应的标准差。比如：若x～N(10，)，通过标准化变换～N(0，1)；若Y～N(2，)，通过标准化变换～N(0，1)；两个正态变量及其标准化变换后的分布的示意图见图1.2—21。性质2：设，则对任意实数有：（1）（2）（3）其中为标准正态(累积)分布函数，其函数值可从附表1—2中查得。[例1.2-13]设X～N(10，)和Y～N(2，)，概率P(8<X<14)和P(1.7<Y<2.6)各为多少?首先对每个正态变量经过各自的标准化变换得到标准正态变量，这个过程见图1.2—22。根据性质2中(3)，让区间端点随着标准化变换而变化，最后可得：从这个例子可以看到标准化变换在正态分布计算中的作用，各种正态分布的计算都可通过一张标准正态分布表来实现，关键在于标准化变换。[例1.2-14]和[例1.2-15]略。

附录资料：不需要的可以自行删除目的为了确定与设计和过程相关的潜在失效模式，评价潜在失效对顾客产生的后果，编制一个潜在失效模式的分级表，以便建立一个考虑预防/纠正措施的优选体系。范围适用于XX电子客户要求的所有过程潜在失效模式及后果分析。定义3.1FMEA：潜在失效模式及后果分析（PotentialFailureModeandEffectsAnalysis.）在产品的设计策划阶段对产品的各部份逐一进行分析，找出失效模式，分析可能产生的后果，鉴定失效的原因，评估其风险程度（RPN）从而采取相应的措施，减少失效的危害，提高产品/过程质量，确保顾客满意的一种系统化的管理方法。包括设计FMEA（DFMEA）和过程FMEA（PFMEA）。3.2潜在失效模式：是指过程有可能不能满足过程功能/要求栏中所描述的过程和/或设计意图。3.3失效的潜在后果：是指失效模式对产品功能的影响，就如顾客的感受一样。3.4严重度（S）：严重度是指失效模式发生时对产品的功能/产品的生产过程或顾客影响后果的严重程度的评价指标。3.5失效的潜在起因：是指失效是怎样发生的，并应依据可以纠正或可以控制的原则予以描述。3.6频度（O）：指某一特定的起因/机理发生的可能性。3.7探测度（D）：是指产品在投产之前，利用现行控制方法来探测失效的潜在起因/机理的能力评价指标。职责DFMEA小组：负责组织编制设计FMEA。PFMEA小组：负责组织编制过程FMEA。过程FMEA的编制5.1编制过程FMEA的时机5.1.1在可行性阶段或之前进行；5.1.2在生产用工装到位之前；5.1.3建立或修改PMP（质量管理计划）之前应进行。5.2编制过程FMEA的基本要求5.2.1负责的工程师要有一定的FMEA和团队工作推进经验。5.2.2过程FMEA假定所设计的产品能够满足设计要求。5.2.3过程FMEA不依靠改变产品设计来克服过程中的薄弱环节，但是它要考虑与计划的制造或装配过程有关的产品设计特性，以最大限度的保证产品能够满足顾客的要求和期望。5.2.4应考虑从单件部件到总成的所有的制造工序。5.3编制过程FMEA5.3.1根据产品要求或工序做出产品流程图，这件流程图应明确与每一工序相关的产品/过程特性。5.3.2FMEA编号：填入FMEA文件的编号，以便查询。5.3.3项目：注明正在进行过程分析的产品或部件的名称和编号。5.3.4过程责任：填入部门和小组。5.3.5编制者：填入负责编制FMEA的工程师的姓名。5.3.6产品/项目：填入所分析的设计/过程将要应用和/或影响的产品/项目（如已知）。5.3.7关键日期：填入初次FMEA应完成的时间，该日期不应超过计划的投入生产日期；对于组织，初始的FMEA日期不应超过顾客要求的生产件批准过程（PPAP）的提交日期。5.3.8FMEA日期：填入编制FMEA原始稿的日期及最新修订的日期。5.3.9核心小组：列出有权确定和/或执行任务的责任部门的名称和件人的姓名。5.3.10过程功能/要求根据产品流程图确定每件工序的要求或功能，并填入被分析过程或工序简要说明。5.3.11潜在失效模式:按照产品、部件、工序或过程特性，列出特定工序的每一件潜在的失效模式，前提是这种失效可能发生，但不一定发生的；且应以规范化或技术术语来描述。5.3.12潜在失效后果:要根据顾客可能发生或经历的情况来描述失效后果，顾客既可能是内部的顾客也可能是最终用户。如果失效模式可能影响安全性或对法规的符合性，要清楚地予以说明。对于最终使用者来说，失效的后果应一律采用产品或系统的性能来描述。如果顾客是下一道工序或后续序/工位，失效的后果应用过程/工序性能来描述。5.3.13严重度(S)是单一的FMEA范围内的相对定级结果。严重度数值的降低只有通过设计更改或重新设计才能实现。相同的失效后果，严重度分值是相同的。推荐的过程FMEA严重度评价准则见附件。5.3.14级别：可用于对那些可能需要附加的过程控制的部件、子系统或系统的特殊产品或过程特性的分级；也可用于突出高优先度的失效模式以进行工程评定。如果过程FMEA中确定了分级，应通告负责设计的工程师，因为这可能影响涉及控制项目辨别的工程文件。5.3.15失效的潜在起因/机理：尽可能地列出可归结到每一失效模式的每一件潜在起因。起因列出的方式应有利于有针对性对起因采取补救的努力。5.3.16频度：描述出现的可能性的级别数具有相对意义，而不是绝对的。通过设计更改或过程更改来预防或控制失效模式的起因/机理是可能导致发生频度数降低的唯一的途径。为保证连续性，应采用一致的发生频度定级方法。推荐的评价准则见附件。5.3.17现行过程控制：是对尽可能地防止失效模式或其起因/机理的发生或者探测将发生的失效模式或其起因/机理的控制的说明。有两类过程控制可以考虑：预防：防止失效的起因/机理或失效模式出现，或者降低其出现的几率。探测：探测出失效的起因/机理或者失效模式，导致采用纠正措施5.3.18探测度是一个在某一FMEA范围内的相对级别。为了获得一个较低的定级，通常计划的过程控制必须予以改进。5.3.19风险顺序数：风险顺序数（RPN）是严重度（S），频度（O）和探测度（D）的乘积，也就是（S）X（O）X（D）=RPN，（1≤RPN≤1000）。根据实际需要，现规定当RPN>120时，或S>8时，就一定有采取纠正/预防措施。5.3.20建议的措施针对高严重度，高RPN值和小组指定的其它项目进行预防/纠正措施的工程评价如果工程评价认为无需建议措施，则应在本栏内注明“无”。5.3.21建议措施的责任填入每一项建议措施的责任者以及预计完成的目标日期。5.3.22采取的措施在实施了措施之后，填入实际措施的简要说明以及生效日期5.3.23措施结果在确定了预防/纠正措施以后，估算并记录严重度、频度和探测度值的结果。计算并记录RPN的结果。如果没有采取任何措施，将相关栏空白即可。5.4跟踪措施5.4.1负责过程的工程师应负责保证所有的建议措施已被实施或已妥善落实。6.0编制设计FMEA6.1编制过程FMEA的时机6.1.1在产品的设计阶段或之前进行；6.2编制过程FMEA的基本要求6.2.1负责的工程师要有一定的FMEA和团队工作推进经验。6.3编制过程6.3.1根据产品要求的设计输入要求编写DFMEA6.3.2FMEA编号：填入DFMEA文件的编号，以便查询。6.3.3项目：注明正在进行设计分析的产品或部件的名称和编号。6.3.4过程责任：填入部门和小组。6.3.5编制者：填入负责编制DFMEA的工程师的姓名、电话和所在公司的名称。6.3.6产品/项目：填入所分析的设计（如已知）。6.3.7关键日期：填入初次DFMEA应完成的时间。6.3.8FMEA日期：填入编制DFMEA原始稿的日期及最新修订的日期。6.3.9核心小组：列出有权确定和/或执行任务的责任部门的名称和负责人的姓名。6.3.10设计功能/要求根据设计输入的要求确定每一参数的要求或功能，并填入被分析的产品部件简要说明。6.3.11潜在失效模式:按照部件的设计参数列出特定参数的每一件潜在的失效模式，前提是这种失效可能发生，但不一定发生的；且应以规范化或技术术语来描述。6.3.12潜在失效后果:要根据顾客可能发生或经历的情况来描述失效后果，顾客既可能是内部的顾客也可能是最终用户。如果失效模式可能影响安全性或对法规的符合性，要清楚地予以说明。对于最终使用者来说，失效的后果应一律采用产品或系统的性能来描述。6.3.13严重度(S)是单一的DFMEA范围内的相对定级结果。严重度数值的降低只有通过设计更改或重新设计才能实现。相同的失效后果，严重度分值是相同的。推荐的设计FMEA严重度评价准则见附件。6.3.14级别：可用于对那些可能需要附加的过程控制的部件、子系统或系统的特殊产品或设计特性的分级；也可用于突出高优先度的失效模式以进行工程评定。6.3.15失效的潜在起因/机理：尽可能地列出可归结到每一失效模式的每一件潜在起因。起因列出的方式应有利于有针对性对起因采取补救的努力。6.3.16频度：描述出现的可能性的级别数具有相对意义，而不是绝对的。通过设计更改或过程更改来预防或控制失效模式的起因/机理是可能导致发生频度数降低的唯一的途径。为保证连续性，应采用一致的发生频度定级方法。推荐的评价准则见附件。6.3.17现行过程控制：是对尽可能地防止失效模式或其起因/机理的发生或者探测将发生的失效模式或其起因/机理的控制的说明。有两类设计控制可以考虑：预防：防止失效的起因/机理或失效模式出现，或者降低其出现的几率。探测：探测出失效的起因/机理或者失效模式，导致采用纠正措施6.3.18探测度是一个在某一DFMEA范围内的相对级别。为了获得一个较低的定级，通常计划的设计控制必须予以改进。6.3.19风险顺序数：风险顺序数（RPN）是严重度（S），频度（O）和探测度（D）的乘积，也就是（S）X（O）X（D）=RPN，（1≤RPN≤1000）。根据实际需要，现规定当RPN>120时，就一定有采取纠正/预防措施。6.3.20建议的措施针对高严重度，高RPN值和小组指定的其它项目进行预防/纠正措施的工程评价如果工程评价认为无需建议措施，则应在本栏内注明“无”。6.3.21建议措施的责任填入每一项建议措施的责任者以及预计完成的目标日期。6.3.22采取的措施在实施了措施之后，填入实际措施的简要说明以及生效日期6.3.23措施结果在确定了预防/纠正措施以后，估算并记录严重度、频度和探测度值的结果。计算并记录RPN的结果。如果没有采取任何措施，将相关栏空白即可。6.4跟踪措施6.4.1负责设计的工程师应负责保证所有的建议措施已被实施或已妥善落实。7.0相关附件和表格7.1《过程FMEA严重度评价准则》7.2《过程FMEA频度评价准则》7.3《过程FMEA探测度评价准则》7.4《设计FMEA严重度评价准则》7.5《设计FMEA频度评价准则》7.6《设计FMEA探测度评价准则》

过程FMEA严重度评价准则后果评定准则：后果的严重度当潜在失效模式导致最终顾客和/或一件制造/装配厂产生缺陷时便得出相应的定级结果。最终顾客永远是要首先考虑的。如果两种可能存在的，采用两件严重度值中的较高者（顾客的后果）评定准则：后果的严重度当潜在失效模式导致最终顾客和/或一件制造/装配厂产生缺陷时便得出相应的定级结果。最终顾客永远是要首先考虑。如果两种可能都存在的，采用两件严重值中的较高者（制造/装配后果）严重度级别无警告的危害当潜在的失效模式在无警告的情况下影响用户人身安全运行和/或涉及不符合政府法规的情形时，严重度定级非常高或可能在无警告的情况下对设备操作者造成危害10有警告的危害当潜在的失效模式在有警告的情况下影响用户人身安全运行和/或涉及不符合政府法规的情形时，严重度定级非常高或可能在有警告的情况下对设备操作者造成危害9很高产品不能工作（丧失基本功能）或100%的产品可能需要报废8高产品可运行但性能水平下降。顾客非常不满意或产品需进行分检、一部分（大于70%,小于80%）需报废7中等产品可运行但舒适性/便利性项目性能水平有所下降。或一部分（小于70%）产品可能需要报废6低产品可运行但舒适性/便利性项目性能水平有所下降或100%的产品可能需要返工5很低配合和外观不舒服。多数（75%以上）顾客能发觉缺陷或产品可能需要分检，无需报废，但部分产品（大于70%,小于80%）需返工4轻微配合和外观不舒服。50%的顾客能发觉缺陷或部分（大于50%,小于70%）产品可能需要返工，无需报废，在生产线上其它工位返工3很轻微配合和外观不舒服。有辨识力顾客发烧友（25%以下）能发觉缺陷或部分产品（大于30%,小于50%）可能需要返工，无报废，在生产线上原工位返工2无无可辨别的影响或对操作或操作者而言有轻微的不方便或无影响1过程FMEA频度评价准则失效发生可能性可能的失效率*频度很高：持续性失效≥10%10≥5%9高：经常