物理上册思考题第1章附加

第二章绪论中曾，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，§2-1在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA，作用在该面积上的压力为ΔP，则当ΔA无限缩小到一点时，平均压强PA便趋近于某pp

P

(2-A0 N

，量纲为的作用力就是液体之间的相互作用力。现取下半部分为体，如图2-1所示。Mp的方向不是内法线方向而是任意方向，p可以分解为切应力τpn。Mxyz2-2所意方向的倾斜面积为dAnn的方向余弦为cosnxcosnycosn则

222P1p P1p P1p P1p 1dxdydz

dxdydz X、Y、ZFF1 F1 F1 x方向为例：

PxPncosn,xFx12

dydz1

dydz1dxdydzX6dx、dy、dzM点时，上式中左边最后一项质pxy

pnzpspnpxpyps

(2-1-ppx,y,

(2-1-§2-2dx、dy、dz2-3设其中心点O'xyz的密度为ρpX、Y、Z。xOx轴的直线与六面体左右两端面分别交于点Mx1dxyzNx1dxyz2 2 MN的静水压强，可按泰勒级数展开并略去二阶以上微量后， p1p 2 p1p 2 p1pdx 2 p1 2xdxxX·dxdydz。x方向上有(p-2

pdx)dydz-(p+

pdx)dydz+Xy,z

X-Z-

ppp 上式为液体平衡微分方程是由学者欧拉(Euler)于1775年首先导出的，(X，Y，Z)和表面力分量(

p,

p,

p)

pdx+pdy+pdz= (2-2- 因p=p(x,y,z)，故上式左端为p的全微分 于是上式成 (2-2-pd dW=Wdx+Wdy+Wdz，而dx,dy和dz为任意变量，故

,Y=

,Z=

(2-2-可知，坐标函数W正是力的势函数，而质量力则是有。由此可见，液体只

dppW

(2-2-CW0p0，则由上式可得pp0WW0

(2-2-力的势函数W在式(2-2-6)WW0p0的也必然随着增减Δp、这就是著名的压强传递帕斯卡(B.Pascal)定律。水压机、水力起重机传动装、在相连通的液体中，由压强相等的各点所组成的面叫做等压面(Isobaric等势面(IsopotentialSurface)。XdxYdyZdz (2-2-X、Y、Z为已Mds，则作用在这一质点上的质量力所作的功应为(2-4)：W=(fdmcosf为作用于该质点的单位质量力，dm为该质点的质量，θds之(fdmcos)ds=dm(XdxYdyZdzdp=XdxYdyZdz即 fdscos常见的等压面有液体的自由表面(因其上作用的压强一般是相等的大气压§2-3g。代入(2-2-2)，得 dz+dpz+p (2-3-(z+p)值相等。式中z代表某点到基准面的位置高度，称为位置水头Head)p代表该点到自由液面间单位面积的液柱重量，称为压强水头Head)；zp称为测压管水头(PiezomericHead)12

z1+p1=z2+

(2-3- 在自由表面上，z=z0，p=p0C=z0p0。代入式(2-3-1)即可得出重力作用下静

强p0它遵从帕斯卡定律等值地传递到液体内部各点另一部分是液重压强γh，34Pressure)p′表示。pa

p=

-

(2-3-如自由液面上的压强为当地大气压强，则式(2-3-3) (2-3-真空及真空压强(VacuumPressure)：绝对压强值总是正的，而相对压强值称为负压，或者说该处存在着真空。真空压强pv用绝对压强比当地大气压强小

pa-

(2-3-如果容器中液体的表面压强降低到该液体的汽化压强(饱和蒸汽压强(SaturationVapourPressure))pvp时，液体就会迅速蒸发、汽化，因此，只要液面压强降低到2-12-1温度05pvp/γ(m水柱温度Pa,kPa。h= (2-3-h=pat98000=10m(水柱 h=pat z+p=C式(2-3-1)zp两部分组成，zp +z表示的是单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能(简称位能)Gz基准面不同，z

p表示的是单位重量液体从压强为大气压算起所具有的压强势能(p就是原来液体具有的压强势能。所以对原来单位重量液体来说，压能即G /G=p静止液体中的机械能只有位能和压能，合称为势能。(z+p)等均系利用金属受压变形的大小来量测压强的)及非电量电测仪表(这是利用传［(b)p=γh(γ为液体重度)。lh放大了一些，便于测读。但压强应为：phlsin

(2-3-0.74等等)ph。还可采用上述二者，量测较大的压强，则可采用装入较重液体(银可取为13.6)的U形2-10hhA点的压强为：，pH比压计(DifferentialManometer)(差压计

(2-3-。或小于大气压强pa。当水管内液体不流动时，比压计两管内的液面齐平流zBA、B两点的压差和测管水头差。。忽略空气柱重量所产生的压强(20

所 由图2- 从 (2-3-(zA+pA)-(zB+pB)= 强)2-12A、B两处的液体重度为γ，水银重度为γH0-0zA、zB和Δh1-1点压强计算写如下等式左 右 故 (2-3-A、B(zA+pA)-(zB+pB)=B (zA+pA)-(zB+pB)=(') (zA、zB0-0均为负值。0-0的测管水头。解h1-1p0=-44.5kN/m2，应是相对pM41.56=-0.424patpat表示工程大气压

pM=41.56=-4.24m(水柱 pM′=56.44=56.44=0.576patpat

56.44=5.76m(水柱真空压强 M

pMzM+p

=41.56=4.24m(水柱§2-4设盛有液体的直立圆筒容器绕其中心轴以等角速度ω2-15所示。的相对平衡。现将坐标系置于旋转圆筒上，z轴向上并与中心轴重合，坐标原点

C=p0x2+y2=r2,ρg=γ，得pp0

- (2-4-p为任一常数，则由式(2-4-1)可得等压面族(包括液面)方程为 (2-4-zs

(2-4-式 zs为液面上某点的竖直坐标，将其代入式(2-4-1)， h=zs-z各点的静水压强随淹没深度的变化仍是线性关系。但需，在旋转平衡液体中n为多大时，水开始溢出?2-16所示。在自由液面r=D时，zs=H，将其代入上式(2-4-3)得2

89.81.2=13.86

n303013.8=132.4r/min(转/分 §2-5相对压强值。图2-17为一直立矩形平板，一面受水压力作用，其在水下的部分为ABB1A1，深度为H，宽度为b。图2-18(a)便是作用在该上的压强分布图为一空间压强分布图图2-18(b)为垂直于的剖面图为一平面压强分2-18难看出：作用于整个平面上的静水总压力PΩbP=Ω·b=1(γh1+γh2)l·b=1 (2-5- l为矩形平面的长度：hc=(h1+h2)/2，为矩形平面的形心在水下的深度；A2-18(a)a/22-18(b)和1/32-18(d)e12h1h2 h12-20所示，EF为一任意形状的平面，倾斜放置于水中任意位置，与水面相交成D可按以下的方法来确定。EF平面上的静水总压力为上式中∫AhdAEFOxAyc的乘积，即∫AγhdA=ycApcC 下面分析静水总压力的作用点——压力中心的位置：yDxD。这一位置可Ox式中∫Ay2dAEFOxJxcCJcxEFCOx轴平行的轴的惯性矩，则根据惯性矩的平行移轴定理可得：Jx=Jcx+y2A。因此有cC

sin(J

y2

JC yCyAC ysinC yCyACAycJcx2-2。 yCCx轴JCx121bh32231bh1bh2ha2b3ab h3a24abb236 a r424 9264 r8OyxDxD

yC

JcxyEFCOx、Oy轴平行的轴的惯性积。因为惯性Jcxy可正可负，xDxcCDxD。例2-3设有一铅直放置的水平底边矩形，如图2-21所示。已知高度H=2m，宽度b=3m，上缘到自由表面的距离h1=1m。试用绘制压强分布图的方法和解析法求解作用于的静水总压力。(1)

ABEF2-21所示。根据式(2-5-1)P=Ωb=12=12静水总压力P的方向垂直于平面，并指向。压力中心D距底部的位置为H2h1h1H 2211e3hhH

P=γhcA=γ(h1+H)(H+b)=9.8×103×(1+2 静水总压力P的方向垂直指向平面。由式(2-5-4)得压力中心D距自由表面的位为

J

H2yA 2yA 12

3 2 22 2 §2-6在实际工程中常常会遇到受液体压力作用的曲面例如拱坝坝面弧形、U形液槽、泵的球形阀、圆柱形油箱等。这就要求确定作用于曲面上的静水总压2-22所示。P分解成水平分力和铅直分种情况下，Py=0PxPz的大小及其作用线的位置。h处取一微元柱面ef，dA。由于该柱面极小，故可将其近似为一平面，则作用在此微元柱面上dPxdPz两部分：dAzPx为∫AhdAxEFyOzOy

(2-6-EFPPx等于作用于该小和作用点)PxPPz为2-23可以看出：γhdAzefefe″f″柱状体压力体(PressureVolume)V表示。

从曲面的边界向自由液面(或自由液面的延展面)Pz的方向，则应根据曲面与压力体的关系而定：当液体与压力体PxPzPP2P2P2

(2-6-P的作用线与水平线的夹角αarctanPPxPzDDPPz也等于压力体内的液体重。三维曲面上PPx、Py、Pz合成，即P2PP2P2P2 例2-4图2-25为一坝顶圆弧形的示意图。门宽b=6m，弧形门半径R=4m，此门可绕O轴旋转。试求当坝顶水头H=2m、水面与门轴同高、关闭时所受的静水总压力。Px

2

9.8222

ABCABCAOB的面积减去三角BOCbBC=2m，OB=4m，故∠AOB=30°。AOB的面积

30πR2=1 BOC面积=2

BCOC124cos3002ABC的体积=(4.19-作用在上的静水总压力P为P2P2 P与水平线的夹角为αtan

117.62117.62O点，所以总压PO点。§2-7G＞PzG=Pz(Submerged量才保持平衡，这称为浮体(FloatingBodies)。船是其中最显著的例子。CD在同一铅垂线上。这样，物体潜没在液体中中处于任意方位都是平衡的，称为随遇平衡(NeutralEquilibrium)。平衡称为稳定平衡(Stableequilibrium)。DC之下时(2-26c)PzG组成的力(如潜艇)潜体的平衡及稳定性要求重力G与浮力PzCD之下。对于浮体，Pz与G相等是自动满足的，这是物体漂浮的必然结果。但是浮DC的相对位置对于浮体的稳定性，并不像潜体那样，一定(RestoringCouple)图2-27D和重心C的连线称为浮轴(FloatingAxle)，DD′。此时，通过D′的浮力Pz′的作用线与浮轴相交于M点，称为定倾中心(Metacenter)MD的距离称为定倾半径(MetacentricRadius)，以ρCDe表示。当浮体倾斜角α不太大(α＜10°＝M点在浮轴上的位置是不浮力Pz′产生扶正力矩，使浮体恢复到原来的平衡位置，这种情况称为稳定平MC，即定倾半径ρe。lD′。从图中知

(2-7-式中，l的大小可以通过对浮体倾斜前后所受浮力的分析求得。浮体倾斜后所受PzPzAOA的体积相等，故浮体倾斜后失去的与增加的浮力亦相等，均以ΔP表示，则有Pz′=Pz+ΔP-ΔPD取矩，得 lPSP

Pzp Pzp式中，S为图中两三棱体形心之间的水平距离；VP为浮体所排开的液体体积(即L为浮体纵向长度；dA=L·dy为原浮面(即浮体与液面相交的平面上)上的O取矩，得 J=∫Ay2dAAO-O(即浮体倾斜时绕其转动的 VPsinJ

(2-7-由此可见，浮体定倾半径ρO-OJ及浮体VP有关。求出定倾半径ρe比较，便可2-5L=8mb=4mG=