等价无穷小量替换定理

创作时间：二零二一年六月三十天§2–6无量小与无量大年夜的比力之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十天基础知识导学1、无量小的比力界说1设α、β是某一极限过程中的两个无量小,若limc（c为常数）则（1）当c≠0时,称在此极限过程中β与α是同阶无量小；2）当c=0时,称在此极限过程中β是α的高阶无量小,记作β=o(α)(读作小欧α)；3）当c=1时,称在此极限过程中β与α是等价无量小,记作β～α.2、无量大年夜的比力界说2设Y、Z是同一极限过程中的两个无量大年夜量,（1）假如limZ=c≠0,则称Y与Z是同阶无量大年夜量；Y（2）假如limZ=∞时,则称Z是Y的高阶无量大年夜量；Y（3）假如limZYk=c≠0（k＞0）,则称Z是对于（基本无量大年夜量）Y的k阶无量大年夜量.3、无量小的阶与主部界说3把某极限过程中的无量小α作为基本无量小,假如β与k（k＞0）是同阶的无量小,即limk=c≠0,则称β是创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天对于α的k阶无量小.要点难点打破1．对于无量小的比力要确立两个无量小量是同阶、高阶和等价的关系,其实就是求这两个无量小量比的极限,再依据界说判断两个无量小的关系.注意（1）符号β=O(α)与β～α的含义β=O(α)示意β是α的高阶无量小,即lim0；β～α示意β与α是等价无量小,即lim1（1）同阶纷歧定等价,等价必定同阶.（2）利用等价无量小求极限等价无量小在求极限的过程中能够进行以下替代：若α～αˊ,β～βˊ,且lim存在,则lim=lim无量小量的比力表设在自变量xx0的改动过程中,(x)与(x)均是无量小量无量小的比力定义记号(x)是比(x)高阶的无量小lim(x)0(x)(x)(x)（xx0）xx0(x)与(x)是同阶的无量小lim(x)C(C为不等于零的常数)(x)xx0a(x)与(x)是等阶无量小lim(x)1(x)~(x)a(x)（xx0）xx02．对于无量小的阶当x→0时,由恒等式（ⅰ）o(xn)+o(xm)=o(xn)0＜n＜m（ⅱ）o(xn)o(xm)=o(xm+n)m＞0,n＞03．对于无量小的替代定理创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天设那时xx0,1(x)~2(x),1(x)~2(x),lim2(x)存在,则xx02(x)lim1(x)2(x)．xx01(x)2(x)解题方法指导1．判断无量小的阶有以下几种方法（仅供参照）：例1当x→0时,以下无量小量是x的几阶无量小①x-3x3+x5②sinxtgx解：①由于当x→0时,在x-3x3+x5中3x3与x5都是x的高阶无量小,由恒等式（ⅰ）limx3x3x51x0x因此,当x→0时,x-3x3+x5是x的一阶无量小②由于当x→0时,sinx～x,tgx～x,由恒等式（ⅱ）可得sinxtgx=o(x2),即limsinxtgx1x0x2因此,当x→0时,sinxtgx是x的二阶无量小（2）先将原式变形,再判断阶数例2当x→0时,以下无量小量是x的几阶无量小①1x1x②tgx–sinx解：①经过分子有理化将原式变形1x1x=2xx1x1由此看出,当x→0时,1x1x是x的一阶无量小,事实上②经过三角函数的公式将原式变形创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天由于sinx～x,1-cosx～1x22由此看出,当x→0时,tgx–sinx是x的三阶无量小,事实上本题缺点解法：解：由于

limtgxsinxlimtgxsinx0x0xx0xx因此,当x→0时,tgx–sinx是x的一阶无量小这类解法是缺点的,由于由无量小阶的界说,β与k比的极限不可以为零.2．利用等价无量小代换求极限经常使用等价无量小有：当x0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1,cosx~1x2,2x~sin2x~tan2x．2例5求以下函数的极限1cosxtanxsinx．（1）lim3x2,（2）limx3x0x0解（1）2）lim0

1cosx1x211=lim2（xx2）．lim220,1cosx~x03xx03x62tanxsinx=limsinx(1cosx)33sinxx0xcosx2sin2x=limx22x0=1x0,sin2x~x2（）．222小结利用等价无量小可代换整个分子或分母,也可代换分子或分母中的因式,但当分子或分母为多项式时,一般不可以代换其创作时间：二零二一年六月