平面向量基本定理 教学设计

附件：教学设计方案模版教学设计方案课程平面向量基本定理课程标准课程标准对本节课的要求是：了解平面向量的基本定理及其意义。教学内容分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第二章第三节的内容，主要介绍了平面向量基本定理，本节课既是前面所学的平面向量的加法、减法、数乘、共线向量基本定理的延伸，也为向量的坐标表示奠定了理论基础。因此这节课的内容起到了承前启后的作用。教学目标知识与技能目标：理解平面向量基本定理，能够在具体问题中选择适当的基底来表示平面上的其他向量。过程与方法目标：让学生经历数学定理的产生和形成过程，体会定理所蕴含的数学思想方法。情感态度与价值观目标：让学生感受数学定理功能的强大，从而激发学生热爱数学的情感。学习目标理解平面向量基本定理，能够在具体问题中选择适当的基底来表示平面上的其他向量。学情分析一方面学生在本节课之前刚刚学习了平面向量的加减法、数乘、共线向量基本定理，另一方面在物理课上已经学过力的分解，这就为本节课的学习做好了知识储备。重点、难点重点：理解平面向量基本定理。难点：在具体问题中灵活应用平面向量基本定理。教与学的媒体选择PPT课程实施类型√偏教师课堂讲授类偏自主、合作、探究学习类备注教学活动步骤序号1（一）复习引入课堂开始，先让学生回忆前面所学过的向量的加减法运算及其几何意义、共线向量基本定理。温故知新，激活学生的知识储备，为新课的教学做好铺垫。为了引入新课，我将给出这样的问题让学生思考：“给定平面内任意两个向量，，请你作出向量，。”教学中可以先让学生分析两个向量，可能的位置关系，区分出共线、不共线两种情况，然后再作出两种情况下的图形。在此基础上，让学生进一步思考：“平面内任意向量是否都可以用形如的向量表示呢？”学生通过作图可以验证当，共线时平面上存在着向量不能用，来表示，于是只研究，不共线的情况。这里给学生提供充裕的时间，让学生自己作图探究。2（二）探究新知1.在学生的探究过程中，我将作如下的引导：①设，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究与，之间的关系。学生通过构造平行四边形，不难发现可以分解成与，平行的两个向量。②既然可以分解成与，平行的两个向量，那么是否可以用含有，的式子表示出来？学生可以发现，根据共线向量基本定理，分解之后的两个向量分别可以用，来表示，从而可以用，来表示。③让学生思考：一对实数、是否唯一？这里可以根据学生接受的程度确定是否给出唯一性的证明。2.通过教师的引导和学生之间的讨论，最终让学生尝试概括出平面向量基本定理的内容：如果，是平面上的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。3.为了深化学生对定理的理解，我让学生体会以下三点：①同一平面可以有许多组基底，只要两个向量不共线；②若基底选取不同，则表示同一向量的实数、也不尽相同；③特别地，若，则。4.提醒学生：计算向量夹角时，要把两个向量的起点平移到一起；夹角的范围是；夹角的大小与两个向量的位置状态无关。还可以举例子让学生思考：在正三角形中，与的夹角是多少度？3（三）巩固应用例1：以平行四边形的两条邻边与所对应的向量和为基底，用这对基底来表示对角线与所对应的向量。通过设置这道题是为了让学生熟悉定理的简单应用。变式一：在例1的基础上，取对角线上靠近的四等分点，请用和这对基底来表示。变式二：再取对角线上靠近点的三等分点，请用和这对基底来表示。（让学生体会平面上的任意一个向量都可以用这对基底来唯一线性表示。）变式三：将基底换为对角线与所对应的向量，用这对新基底来表示和。（从中渗透方程的思想。）变式四：用新基底来表示和。通过变式三和变式四让学生体会平面上的任意一对非零且不共线的向量都可以拿来当作基底表示其他向量。例2：梯形的下底是上底的两倍，分别取上底和下底的中点、，请自选基底来表示向量。（本题的解法有很多，教学时可鼓励学生探索多种解法。）4（四）归纳小结让学生自己总结，引导学生从内容和方法两个方面进行总结，培养学生的口头表达能力和概括归纳能力。5（五）布置作业课后三道与本节内容对应的习题。…………教学活动详情教学活动1：探究新知活动目标学习平面向量基本定理的内容解决问题理解平面向量基本定理的几个关键要素技术资源PPT与几何画板常规资源板书活动概述1.在学生的探究过程中，我将作如下的引导：①设，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，我们通过作图研究与，之间的关系。学生通过构造平行四边形，不难发现可以分解成与，平行的两个向量。②既然可以分解成与，平行的两个向量，那么是否可以用含有，的式子表示出来？学生可以发现，根据共线向量基本定理，分解之后的两个向量分别可以用，来表示，从而可以用，来表示。③让学生思考：一对实数、是否唯一？这里可以根据学生接受的程度确定是否给出唯一性的证明。2.通过教师的引导和学生之间的讨论，最终让学生尝试概括出平面向量基本定理的内容：如果，是平面上的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。3.为了深化学生对定理的理解，我让学生体会以下三点：①同一平面可以有许多组基底，只要两个向量不共线；②若基底选取不同，则表示同一向量的实数、也不尽相同；③特别地，若，则。4.提醒学生：计算向量夹角时，要把两个向量的起点平移到一起；夹角的范围是；夹角的大小与两个向量的位置状态无关。还可以举例子让学生思考：在正三角形中，与的夹角是多少度？教与学的策略让学生经历数学定理的产生和形成过程，体会定理所蕴含的数学思想方法。反馈评价这部分的评价偏向过程性评价，重点评价学生的在学习过程中的参与度，以及学生对知识的理解。教学活动2：巩固应用活动目标学会运用平面向量基本定理解决问题会运用平面向量基本定理来解决简单的问题技术资源PPT与几何画板常规资源板书活动概述例1：以平行四边形的两条邻边与所对应的向量和为基底，用这对基底来表示对角线与所对应的向量。通过设置这道题是为了让学生熟悉定理的简单应用。变式一：在例1的基础上，取对角线上靠近的四等分点，请用和这对基底来表示。变式二：再取对角线上靠近点的三等分点，请用和这对基底来表示。（让学生体会平面上的任意一个向量都可以用这对基底来唯一线性表示。）变式三：将基底换为对角线与所对应的向量，用这对新基底来表示和。（从中渗透方程的思想。）变式四：用新基底来表示和。通过变式三和变式四让学生体会平面上的任意一对非零且不共线的向量都可以拿来当作基底表示其他向量。例2：梯形的下底是上底的两倍，分别取上底和下底的中点、，请自选基