2020-2021高中数学人教版第二册学案：8.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台含解析第八章立体几何初步8．1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台［目标］1。记住棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征；2。理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系；3.能用棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征解答一些简单的有关问题．［重点］棱柱、棱锥、棱台的定义及结构特征．[难点］棱柱、棱锥、棱台之间关系的理解．要点整合夯基础知识点一空间几何体[填一填]1．空间几何体的定义空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．空间几何体的分类(1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．(2)旋转体：一条平面曲线（包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．［答一答］1．多面体与旋转体的主要区别是什么?提示：多面体是由多个多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．2．多面体最少有几个面，几个顶点,几条棱？提示：多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱．知识点二棱柱的结构特征［填一填］1．有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面,它们都是平行四边形;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．2．一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体．[答一答]3．棱柱的各侧棱是什么关系?各侧面是什么样的多边形？两个底面的关系是怎样的?提示：根据棱柱的定义，棱柱的各侧棱互相平行，侧面是平行四边形，两个底面是全等的多边形．4．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？提示：不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示．知识点三棱锥的结构特征［填一填]有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥．［答一答]5．棱锥的侧面是什么样的多边形?有什么特征？提示：根据棱锥的定义，棱锥的侧面一定是三角形，且各个三角形有公共顶点．6．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥吗？提示：不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图所示．知识点四棱台的结构特征[填一填]用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台．在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面．［答一答]7．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示:棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．8．观察下面的几何体,思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示:题图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点．不一定,题图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台。典例讲练破题型类型一棱柱的结构特征［例1]下列关于棱柱的说法:(1)所有的面都是平行四边形；（2）每一个面都不会是三角形；（3)两底面平行,并且各侧棱也平行；（4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是________．［分析]根据棱柱的结构特征进行判断．[解析](1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形;(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；（3)正确，由棱柱的定义易知；（4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是（3)(4）．［答案]（3)(4）棱柱的结构特征：1有两个面互相平行；2其余各面是四边形；3相邻两个四边形的公共边都互相平行。求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征。[变式训练1］如图，已知长方体ABCD。A1B1C1D1（1）这个长方体是棱柱吗?如果是，是几棱柱？为什么?(2）用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱?如果不是，请说明理由．解：(1)是棱柱,并且是四棱柱．因为以长方体相对的两个面作为底面，则底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形,并且几何体的四条侧棱互相平行．（2)截面BCFE上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEB1­CFC1,其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1.DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．类型二棱锥、棱台的结构特征［例2](1)下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②棱锥的侧面只能是三角形；③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．(2)如图，在三棱台A′B′C′。ABC中，截去三棱锥A′。ABC,则剩余部分是()A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台［分析］根据棱锥、棱台的结构特征进行判断．［解析］(1）①正确，棱台的侧面都是梯形．②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形．③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥．④错误，如图所示,四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．(2）由题图知，在三棱台A′B′C′。ABC中，截去三棱锥A′.ABC，剩下的部分如图所示，故剩余部分是四棱锥A′.BB′C′C。故选B。[答案］(1)①②③(2）B判断棱锥、棱台形状的两个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2）直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点［变式训练2］下列特征不是棱台必须具有的是（C)A．两底面平行B．侧面都是梯形C．侧棱长都相等D．侧棱延长后相交于一点解析：用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台，A,B，D正确，选C.课堂达标练经典1．有两个面平行的多面体不可能是(B)A．棱柱 B．棱锥C．棱台 D．长方体解析:棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥．2．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是(B)A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．3．下列几何体中,①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台(仅填相应序号）．解析：结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥，⑤是棱台．4．一个棱台至少有5个面,面数最少的棱台有6个顶点，有9条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．5．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成,有几个面、几个顶点、几条棱？解:这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．——本课须掌握的四大问题1．对于多面体概念的理解,注意以下两个方面：（1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．（2)多面体是一个“封闭"的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面：（1)有两个面互相平行,各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．（2）有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3）从运动的观点看,棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点,否则不是棱台．学科素养培优精品微课堂柱、锥、台结构特征判断中的误区开讲啦（1)解答过程中易忽视侧棱的延长线不能交于一点，直观感觉是棱台,而不注意逻辑推理．（2)解答空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．［典例］如图所示，几何体的正确说法的序号为________．（1)这是一个六面体；(2)这是一个四棱台；（3）这是一个四棱柱；(4）此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱得到；（5）此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．［解析](1）正确，因为有六个面，属于六面体的范围；(2）错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；(3）正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱;（4)(5)都正确，如图①②所示．[答案］