2020-2021高中数学第一册学案：3.1.3 第2课时函数奇偶性的应用含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：3.1.3第2课时函数奇偶性的应用含解析第2课时函数奇偶性的应用必备知识·探新知基础知识1．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法(1）__定义__法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点的对称区域,再判断f（－x）是否等于±f(x）,或判断f（x）±f（－x）是否等于零，或判断eq\f（fx,f－x)(f（－x)≠0）是否等于±1，等等．(2)__图像__法：奇（偶）函数的充要条件是它的图像关于原点（或y轴)对称．（3)__性质__法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注:利用上述结论要注意各函数的定义域）2．F1(x)＝f（x)＋f（－x)为偶函数，F2(x)＝f(x)－f(－x）为奇函数．(注:F1(x)、F2(x）的定义域是关于原点对称的区间）3．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相__同__;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相__反__。基础自测1．已知偶函数f（x)在区间（－∞，0]上单调递减，则满足f（2x－1)<f(eq\f(1，3））的x的取值范围是（A)A．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,3）,\f(2,3））） B．eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3），\f(2，3）))C．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2），\f(2,3)）) D．eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2），\f(2,3))）解析:由题意得|2x－1｜<eq\f（1,3）,∴－eq\f(1，3）<2x－1<eq\f（1，3），∴eq\f(1,3）<x<eq\f(2，3），故选A．2．若函数f（x)＝x3,则函数g（x)＝f(－2x)在其定义域上是（D）A．单调递增的偶函数 B．单调递增的奇函数C．单调递减的偶函数 D．单调递减的奇函数解析:∵f（x)＝x3，∴g（x)＝f(－2x）＝－8x3。又g(－x)＝8x3＝－g(x），∴g（x)为奇函数．又∵f（x)＝x3为增函数，∴g(x)＝－8x3为减函数．3．已知函数f(x)是奇函数，x〉0时,f（x)＝1,则f（－2）＝（C）A．0 B．1C．－1 D．±1解析:设x〈0，则－x〉0，f(－x）＝1。∵f（x)是奇函数，∴f（－x)＝－f（x)．∴－f(x）＝1，f（x)＝－1（x<0）．∴f(－2）＝－1。4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞）上的图像如图,则函数f（x）的增区间为__［－1,0］和[1,＋∞)__.解析:由图像可知当x＞0时，f(x）在［0,1］上单调递减,在［1，＋∞）上单调递增,又∵f（x）为偶函数，∴f（x）的图像关于y轴对称．∴f(x）在[－1,0]上单调递增，在(－∞，－1］上单调递减．故f(x）的增区间为［－1,0]和［1，＋∞)．5．若函数f（x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．解析：∵函数f(x)＝x2－｜x＋a｜为偶函数，∴f（－x)＝f(x），即（－x)2－｜－x＋a|＝x2－｜x＋a|，∴|－x＋a|＝｜x＋a｜，即|x－a｜＝｜x＋a|，∴a＝0。关键能力·攻重难类型利用奇偶性求函数值┃┃典例剖析__■典例1（1）已知函数f（x)＝ax3＋bx－6，且f（－2）＝8，则f(2）＝__－20__。（2)已知f（x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x）＝af(x)＋bg（x）＋2在区间(0,＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞,0）上的最小值为__－4__。思路探究：（1)可构造g(x)＝ax3＋bx，利用g（x)的奇偶性求解．（2)因为f(x）和g（x）的具体表达式并没有给出,因此应充分利用“f（x)，g（x）均为R上的奇函数”这一条件,构造一个新函数来间接求解．解析：(1)方法一令g(x)＝ax3＋bx，易知g（x）是奇函数，从而g（－2)＝－g(2）．由f(x)＝g（x）－6，得f（－2）＝g（－2）－6＝8，∴g(－2）＝14,∴g(2)＝－g(－2）＝－14，∴f(2）＝g（2）－6＝－14－6＝－20。方法二由已知条件，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－2＝a×－23＋b×－2－6①,，f2＝a×23＋b×2－6②，））①＋②得f(2)＋f（－2）＝－12。又f(－2）＝8,∴f(2)＝－20。(2）由f（x），g（x)均为R上的奇函数，知af（x）＋bg（x)为R上的奇函数．由F（x）＝af（x)＋bg(x）＋2在（0，＋∞)上的最大值为8，得F(x)－2＝af（x）＋bg（x)在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F（x)－2＝af(x)＋bg(x)在(－∞，0）上的最小值为－6，故F(x）＝af(x)＋bg（x）＋2在（－∞，0）上的最小值为－6＋2＝－4。归纳提升：利用函数奇偶性求函数值的解题思路已知f（a)求f（－a)的思路：判断f（x）的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f(a）与f（－a)的关系，若还有其他条件，可再利用其转化,进而求出f(－a）．┃┃对点训练__■1．已知f（x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2,f（1)＋g（－1)＝4，则g（1）＝__3__。解析：由题意知f(－1）＋g（1）＝－f（1）＋g（1）＝2，f(1)＋g(－1）＝f（1）＋g（1）＝4，两式相加，解得g(1)＝3.类型含有参数的函数的奇偶性的判断┃┃典例剖析__■典例2设a为实数，讨论函数f(x)＝x2＋｜x－a｜＋1的奇偶性．思路探究：以a是否为0进行分类讨论．解析：当a＝0时,f（x）＝x2＋｜x｜＋1，∴f（－x）＝（－x)2＋|－x｜＋1＝x2＋|x｜＋1＝f（x)，∴当a＝0时，函数f(x)为偶函数．当a≠0时，f（1）＝2＋｜1－a|，f（－1)＝2＋｜1＋a|，假设f（1)＝f（－1），则｜1－a｜＝｜1＋a｜，（1－a）2＝(1＋a)2，∴a＝0，这与a≠0矛盾，假设f（－1）＝－f(1)，则2＋|1＋a｜＝－2－|1－a｜这显然不可能成立（∵2＋|1＋a｜>0，－2－|1－a|〈0)，∴f(－1）≠f（1），f(－1)≠－f（1），∴当a≠0时，函数f(x)是非奇非偶函数．归纳提升:判断含参数的函数的奇偶性时，应注意对参数进行分类讨论，若函数为非奇非偶函数时，可用特值法进行判断．┃┃对点训练__■2．已知函数f（x)＝x2＋eq\f（a，x），常数a∈R,讨论函数f(x）的奇偶性,并说明理由．解析：当a＝0时，f（x)是偶函数；当a≠0时，f(x）是非奇非偶函数．函数f(x）的定义域为(－∞，0）∪(0，＋∞），定义域关于原点对称．当a＝0时，f（－x）＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1）＝1－a,∴f（－1）≠f(1),∴f(x）不是偶函数．f（－1)＋f（1)＝2≠0，∴f（－1)≠－f(1），∴f（x)不是奇函数．∴f(x）既不是奇函数，也不是偶函数．类型函数奇偶性与图像的对称性的综合应用┃┃典例剖析__■典例3（1）定义在R上的函数f（x）在(－∞，2)上是增函数，且f（x＋2)为偶函数，则（A)A．f（－1)＜f（3） B．f(0）＞f(3）C．f(－1）＝f(3) D．f（0)＝f（3）(2)设f(x）是定义在R上的奇函数,且f(x）的图像关于直线x＝eq\f(1,2)对称，则f（1）＋f(2）＋f(3）＋f（4)＋f(5）＝__0__.解析:（1)因为f（x＋2)为偶函数，所以其图像关于y轴对称，由于f(x＋2)的图像可由f（x)的图像向左平移2个单位长度得到,故f（x）的图像关于直线x＝2对称．因为函数f（x）在(－∞，2）上是增函数，所以f(x）在(2，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(5）＜f(4)＝f（0)＜f(3)．（2)由f(x)是R上的奇函数，得f(0）＝0。∵f(x）的图像关于直线x＝eq\f（1,2）对称，于是f(x）＝f（1－x)，∴f（1）＝f（0)＝0，f(2）＝f(－1）＝－f(1）＝0，f(3)＝f(－2）＝－f(2)＝0，f(4)＝f（－3)＝－f(3)＝0，f（5)＝f(－4)＝－f(4)＝0,从而f(1）＋f（2)＋f（3)＋f（4)＋f（5）＝0。归纳提升：（1）解决函数奇偶性与图像的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图像的对称轴或对称中心,也可利用图像变化关系得出函数图像的对称性．总之,要充分利用已知条件进行适当转化．（2）关于函数的对称性函数f(x）若对于任意x∈R,a是常数，①关于直线x＝a对称：⇔f(a＋x）＝f(a－x)(f(2a－x）＝f（x)）②关于点（a，b)对称：⇔f(a＋x）＋f(a－x)＝2b(f(2a－x）＋f（x）＝2b）特别地：关于点（a,0）对称,则f（a＋h）＝－f(a－h）．┃┃对点训练__■3．求证：函数f（x）＝eq\f(x－1，x＋1）的图像关于(－1,1)对称．[证明］任取h∈R,因为f（－1＋h）＝eq\f(－1＋h－1，－1＋h＋1）＝eq\f(－2＋h,h)，f（－1－h）＝eq\f(－1－h－1,－1－h＋1)＝eq\f（－2－h,－h）＝eq\f(2＋h,h),所以f（－1＋h）＋f（－1－h)＝eq\f(－2＋h，h)＋eq\f（2＋h，h）＝2.所以函数f（x）＝eq\f(x－1,x＋1）的图像关于(－1，1）对称．易混易错警示忽略题目中的隐含条件致错┃┃典例剖析__■典例4已知函数f(x）＝x2－2ax＋b是定义在区间［－2b，3b－1]上的偶函数，则函数f（x)的值域为__［1，5]__.错因探究：此处易忽略函数的定义域关于坐标原点对称这一隐含条件．解析：∵f（x)为偶函数，∴f(－x)＝f（x），即a＝0.又f(x）的定义域为[－2b,3b－1］,∴－2b＋3b－1＝0，∴b＝1。∴f(x)＝x2＋1，x∈［－2，2]，∴函数f（x）的值域为[1,5］．误区警示：f(x）是奇（偶）函数，包含两个条件：①定义域关于坐标原点对称；②f（－x)＝－f(x)(f（－x)＝f(x）)．切记不能漏掉①。学科核心素养奇偶性与单调性的综合应用1．比较大小问题，一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的自变量的函数值有关，然后利用单调性比较大小．2．抽象不等式问题的解题步骤如下：（1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；(2)利用单调性脱去符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需要转化为含有符号“f”的形式,如0＝f（1)，f（x－1)＜0，则f（x－1）＜f(1）；偶函数中f(x）＝f(｜x｜）的灵活应用．┃┃典例剖析__■典例5已知函数f（x）是定义在（－2，2）上的奇函数且是减函数，若f（m－1)＋f（1－2m）≥0,求实数m的取值范围．思路探究：利用函数的单调性、奇偶性，化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－2<m－1<2，－2<1－2m〈2)），得－eq\f(1,2）<m〈eq\f（3，2）。由函数f(x)是定义在(－2,2）上的奇函数及f（m－1）＋f（1－2m)≥0，得f（m－1)≥f（2m∵函数f（x）在(－2，2）上是减函数,∴m－1≤2m－1，得m∴实数m的取值范围是[0，eq\f(3，2))．课堂检测·固双基1．设f(x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在［0，＋∞)上是增函数，则f(－2）、f(－π）、f(3)的大小关系是（A）A．f(－π)>f(3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2）〉f(3)C．f（－π）〈f(3)<f（－2）D．f(－π）<f（－2)〈f（3)解析：∵f(x）是定义在R上的偶函数，且f(x）在[0，＋∞）上是增函数，∴f（－2）＝f（2)，f(－π）＝f（π)，∴f(2)<f（3）〈f（π），即f（－π)>f(3）〉f(－2）．2．设f(x)是R上的偶函数,且在（0,＋∞)上是减函数，若x1〈0且x1＋x2〉0，则(A）A．f(－x1)〉f（－x2)B．f(－x1)＝f（－x2）C．f(－x1）<f(－x2）D．f(－x1)与f（－x2)的大小不确定解析：∵x2〉－x1>0，f（x）是R上的偶函数，∴f(－x2）＝f（x2）．又f(x）在(0，＋∞）上是减函数，∴f（－x2）＝f(x2)〈f(－x1)．3．偶函数f（x）在［0，＋∞）上是减函数,则f（－4)__≥__f