量子力学(周世勋)课后答案第一二章

量子力学课后习题详解第一章量子理论基础由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长T成m反比，即 （常量；m并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式 d

8hv3

1 dvv v c

hvekT

， （1）以及 c， （2） dd|， （3）v*有 v

dvdcd|dcd()| () v c2 8hc 1 ,5 hcekT 1这里的的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。本题关注的是λ取何值时，取得极大值，因此，就得要求 对λ的阶导数为零由此可求得相应的λ的值记作m但要注意的是还需要验证对λ的二阶导数在m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具体如下：d

1 hc 15 5

0d

hce

1

kT

1e

hc kT 5 hc kT

11e

0hc 5(1ehc

hc

hc)kT

kT

，则上述方程为

5(1ex)x这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有、hcm Txkm把x以及三个物理常量代入到上式便知mT2.9103mK（如遥远星体温度的高低。0K3eV解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知Ph。所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能Ek

me

c20.51106eV，满足E p2 ，k 2me—因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有hp2mE2mEe2mc2mc2Ee220.511063

hhc1.24106m0.71109m在这里，利用了

0.71nmhc1.24106eVm，mc20.51106eV。e2mEe最后，对 2mEe自然单位制：在粒子物理学中，利用三个普适常数（光速c，约化普朗克常数,玻耳兹曼常数k）来减少独立的基本物理量的个数，从而把独立的量纲少到只有一种（V。例：V，电子质量m=.核子（氢原子）M=938MeV，温度8.6105eV.E意波长。

3kT（k为玻耳兹曼常数K时，氦原子的德布罗2解：根据 K8.6105eV，#知本题的氦原子的动能为E

3 kT kK1.29104eV2 23 显然远远小于

hc2m c2EHec2m c2EHe核 1.24106 m23.71091.291041.3109m1.3nm这里，利用了m c24938106eV3.7109eV。HeTkTh h2mE2mkT长就为 2mE2mkT须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。（1）一维谐振子的能量；解：玻尔—索末菲的量子化条件为：

pdqnh]其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为m，于是有 p E kx22m 22m(E2m(E1kx2)2xp=0，1E kx22 2Ek可解出 x 2Ek这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有xx

x() 2m(E2m(E2m(E1kx2)dx2

kx2)dxnh121 x

2m(E1kx2)dxx

2m(E kx2)dxnh1xx2 21xx ^ xx

2m(E kx2)dxnh21212Ekx2Ek

sin这样，便有 2

2Ek2mEcos2d2Ek

sinnh22 2E 2E

mk2cos22mk2mk2cos21dnh2mk2 22mk 2mk 2mk Emk E

22kmkmkm能量间隔 Ekm最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少—解：关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概Ehvmc2e此外，还有 Epchc于是，有 hc

1.24106 m2.41012m2.4103nmmc2 0.51106e能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波函数和薛定谔方程证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令(r,t)(r)eiEt，得iJ 2mi iEt iEt iEt iEt (r)e （(r)e **(r)e （(r)e ]2mi2m

(r)*(r)*(r)(r)]—可见J与t无关。由下列定态波函数计算几率流密度：1 1(1)1

eikr (2r 2

reikr说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点)传播的球面波。1 2解：在球坐标中e

1e 1 rr

r rsin所以，J和J只有e方向分量。1 2 riJ1

2m 1i 1

*1 1

*1 1

1

1 [

( eikr) eikr

( eikr2m r r r r r[ ik )[ ik ) ik 2m r r2k k e

r r r2 r rmr2 r mr3 J与r同向，表示向外传播的球面波。1J2

i2m

(2

*2

*)22m r[e2m r[eikrr( eikr)

( eikrr r r r[ ik ) ik [ ik ) ik 2m r r2 r r r2 r rmr2e mr2e mrrr3 J与r反向，表示向内(即向原点)传播的球面波。2·一粒子在一维势场，x0U(x)，0xa0，xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。补充：设已知 t=0 时刻波函数为1a1a(x,0)

sina

x sin1aa1a

x, 0xa

，求(x,t)。0, x0,xa解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程2 d22mdx2在各区域的具体形式为

(x)U(x)(x)E(x)Ⅰ：x0 2 d22mdx2

(x)U(x)1

(x)E1

(x) ①Ⅱ：0xa 2 d22mdx2

(x)E2

(x) ②Ⅲ：xa 2 d22mdx2

(x)U(x)3

(x)E3

(x) ③由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须` (x)01 (x)03即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为

d22

(x)2mE

(x)0dx22mE d

2 2(x)令k2 ，得2

2dx2

k22

(x)0其解为 2(x)AsinkxBcoskx ④根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，2(0)1(0) ⑤(a)(a) ⑥2 3⑤B0.⑥Asinka0A0sinka0kan (n∴(x)Asinnx2 a由归一化条件

(x)2dx1得 A2

sina0a

na xdx1由三角函数正交性

a0 axsin xdx a a 2mn 2aA2a(x)2

sinnx2aa2ak

2mE2

22E n2n 2ma2

(n1,2,3,)可见E是量子化的。对应于En

的归一化的定态波函数为(x,t)n

sin2aa2a

ixe, 0xa xa, xa补充：粒子的一般含时波函数为(x,t) cn

(x,t)，在t=0时刻n c

n2a1asinx, 0xa sin2a1a

x sinx, 0xa(x,0) n1a1a

a ax0,xa 0,

ax0,xa0, <所以cc1

1/ 2,cn

0，综上得任意时刻粒子波函数为ii12(x,t)ii12

(x,t)

(x,t) 1221a1221a

sina

xeEt

1sina a

xeEt, 0xa0, x0,xaa.证明（）式中的归一化常数是A 1a证：n

Asinn

(xa), xa） , x

a n1a

2dxA2sin2a1 n

a (xa)dxA2 cos (xa)]dxa2 aA2 a A2 na由归一化，得 x 2 2a

cosa

(xa)dxA2 a n aA2aA2a

2

sin

a (xa)aa∴归一化常数 A 1a求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2 1解：一维谐振子第一激发态的波函数(x) xe22x2， / 。2 1—得几率密度为

(x)1

(x)2

2 x2e2x22 对其微分得

x2e2x23x x ed3x x e1 [2 2 2 3]x2dx由极值条件，令

d(x)1

0，dx可得 x0 x1

x由(x)的表达式可知，x0x1

(x)0。显然不是最大几率的位置。1d2而 1

x() [(22x2)2x(2x2x3)]() dx23 2x24x4)]e2x2 ed(x) 243 e即 1dx2

x1

0x1

m是所求几率密度最大的位置。#在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。~证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为2 d2(x)U(x)(x)E(x) ①2dx2将式中的x以(x)代换，得2 d2(x)U((x)E(x) ②2dx2利用U(x)U(x)，得2 d2(x)U(x)(x)E(x) ③2dx2(x)和(xS-方程，都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。(x)和(x之间只c。方程①、③可相互进行空间反演(xx而得其对方，由xx反演，可得③，(x)c(x) ④由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。>(x)c(x) ⑤④乘⑤，得 (x)(x)c(x)(x)可见，c21，即 c当c当c

(x)(x(x具有偶宇称，(x)(x(x具有奇宇称。如果体系存在简并，对(x)和(x)做线性组合：22(x)(x)(x),(x)(x)(x)22根据叠加原理，(x),(x)也满足S-方程，且满足(x(x(x具有偶宇称，(x(x(x具有奇宇称。^S-方程的定态波函数可以表达为(x)（偶宇称）和(x)（奇宇称）的叠加形式。综上，当势场满足U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#一粒子在一维势阱中运动，U(x)U0, xa 0, xa求束缚态(0EU )的能级所满足的方程。0补充：取电子质量，势阱深20eV，a=，给出基态（和第一激发态）结果并作波出函数和概率密度的图。S-方程为2 d22dx

(x)U(x)(x)E(x)按势能U(x)的形式分区域的具体形式为Ⅰ：2 d2(x)U(x)

(x) xa ①2dx2 1 0 1 1`Ⅱ：2 d22dx

(x)E2

(x) axa ②Ⅲ：2 d22dx整理后，得

(x)U3 0

(x)E3

(x) ax ③Ⅰ：

2(U0

E) 0 ④1 2 1Ⅱ：.2

2E 0 ⑤2 2Ⅲ：

2(U0

E) 0 ⑥3 2 32(U E) 2E令 k2 01 2

k22 2则Ⅰ：k0 ⑦1 1 1Ⅱ：.k0 ⑧2 2 2{Ⅲ：k0 ⑨3 1 1各方程的解为1 AekxBek1 1 Csin2

xDcoskx2 21 EekxFek1 由波函数的有限性，有()有限 A01()有限 E03因此1 Bek111 Fek31由波函数的连续性，有(a)1

(a),BekaCsink121

aDcosk2

a (10)(a)(a),

Beka 1

Ccos

a

Dsin

a (11)1 2 1 2 2 2 21(a)12

(a),Csink2

aDcosk2

aFeka (12)1(a)(a),kCcoskakDsinkak12 3 2 2 2 2

Feka (13)整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得1ekaBsink12

aCcosk2

aD00kekaB k11

cosk2

aCk121

sink2

aD000sink2

aCcosk2

aDekaF00k

coskaCksinkaDkekaF012 2 2 2 11解此（四元一次）B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式。注必须系数矩阵的行列式为零eka1

sink2

a coska 02keka11

kcosk2

a k2

sink2

0 00 sink2

cosk2

eka10 kcosk2 2

ksink2

a kBeka11kcosk2 2

a k2

sink2

0 sink2

coska 020eka

sin

a cosk

ekakeka sinka

cosk

eka1 1 1 12 2 1 2 2kcoska2 2

ksink2

a keka k11 1

cos

a k2

sin

a keka12 111eka[kk112

ekacos2k121

ak2ekasink12 1

acoska2kk12

ekasin2k121

ak2ekasink12 1

acosk2

keka[kekasinkacoskakekacos2ka1 1 11 1 2 2 2 21kekasink11

acosk2

ak2

ekasin2ka]1211e2ka[2kkcos2kak2sin2kak2sin2ka]112 2 2 2 1 21e2ka[(k2k2)sin2ka2kkcos2ka]12 1 2 12 2∵e2a0∴(k2k2)sin2ka2kk cos2k2 1 2 12

a0即(k2k2)tg2ka2kk2 1 2 1

0 为所求束缚态能级(E)所满足的方程。注意k,k 都依赖于做出函数f(E)(k2k2)tg2ka2kk

的图，其中束缚态1 2 2 1 2 12要求0<E<U0，其零点即给出本征能量E的解。能级的特点：U0较小（<1/a）且无论多小时，存在且只存在1个束缚态，随U0的增大，束缚态数增加。B（分）化为（消元法）e