高等数学2017课件方向导数与梯度

高等数学2017课件方向导数与梯度第一页，共22页。一、方向导数定义:若函数则称为函数在点

P处沿方向l

的方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:机动目录上页下页返回结束记作第二页，共22页。定理:则函数在该点沿任意方向

l

的方向导数存在,证明:由函数且有在点P

可微,得机动目录上页下页返回结束故第三页，共22页。机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别:•当l与x轴同向•当l与x轴反向向角第四页，共22页。例1.求函数

在点

P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解:

向量

l

的方向余弦为第五页，共22页。例2.

求函数在点P(2,3)沿曲线朝x

增大方向的方向导数.解:将已知曲线用参数方程表示为它在点P

的切向量为机动目录上页下页返回结束第六页，共22页。例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束第七页，共22页。二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：机动目录上页下页返回结束第八页，共22页。1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P

处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义第九页，共22页。函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f

的等值线

.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.第十页，共22页。3.梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束第十一页，共22页。例4.证:试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,第十二页，共22页。三、物理意义函数(物理量的分布)数量场(数性函数)场向量场(矢性函数)可微函数梯度场(势)如:温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束第十三页，共22页。例5.已知位于坐标原点的点电荷q

在任意点试证证:利用例4的结果这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束第十四页，共22页。内容小结1.方向导数•三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为•二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束第十五页，共22页。2.梯度•三元函数在点处的梯度为•二元函数在点处的梯度为3.关系方向导数存在偏导数存在••可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l

上的投影.第十六页，共22页。思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向

的夹角

.2.P73题16机动目录上页下页返回结束第十七页，共22页。曲线1.(1)在点解答提示:机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量第十八页，共22页。机动目录上页下页返回结束2.P73题

16第十九页，共22页。P512，3，6，7，8，9，10

作业第八节目录上页下页返回结束第二十页，共22页。备用题