二面角的求法

二面角的求法第一页，共二十四页，2022年，8月28日二面角大小的求法雨峰工作室ENTER二面角的求法第二页，共二十四页，2022年，8月28日两直线所成角的取值范围：AB1O

平面的斜线和平面所成的角的取值范围：直线和平面所成角的取值范围：复习回顾[0o,90o][0o,90o](0o,90o)第三页，共二十四页，2022年，8月28日1.在平面几何中"角"是怎样定义的？从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。或:一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。第四页，共二十四页，2022年，8月28日2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？

3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？

第五页，共二十四页，2022年，8月28日问题:异面直线所成的角、直线和平面所成的角有什么共同的特征？结论:它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。

拦洪坝水平面二面角第六页，共二十四页，2022年，8月28日1半平面定义平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面。半平面:αlαl第七页，共二十四页，2022年，8月28日2．二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．

棱为l，两个面分别为、的二面角记为-l-

．l第八页，共二十四页，2022年，8月28日lAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5二面角的认识你从图中看出了二面角的几种写法?第九页，共二十四页，2022年，8月28日⑴平卧式：⑵直立式：ABABllABl3．画二面角第十页，共二十四页，2022年，8月28日

怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？4．二面角的大小l第十一页，共二十四页，2022年，8月28日

在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则∠AOB叫做二面角-l-的平面角OBAl4．二面角的大小第十二页，共二十四页，2022年，8月28日

在二面角-l-的棱l上任取一点O，如图，在半平面和内，从点O分别作垂直于棱l的射线OA、OB，射线OA、OB组成∠AOB．则∠AOB叫做二面角-l-的平面角

怎样度量二面角的大小？能否转化为两相交直线所成的角？OO1BAB1lA14．二面角的大小第十三页，共二十四页，2022年，8月28日

二面角的大小可以用它的平面角来度量．即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．二面角的范围：[0o,180o]．①二面角的两个面重合：0o；②二面角的两个面合成一个平面：180o；4．二面角的大小③平面角是直角的二面角叫直二面角．OAB第十四页，共二十四页，2022年，8月28日二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB二面角的平面角哪个对?怎么画才对?第十五页，共二十四页，2022年，8月28日当堂小测1、二面角指的是（）A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。C、两个平面相交时，两个平面所夹的锐角。D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。2、二面角的平面角的顶点在二面角的＿＿上，角的两边分别在二面角的＿＿内，且两边都与棱＿＿＿＿，它的度数与它的平面角的度数＿＿＿。1.课堂诊断第十六页，共二十四页，2022年，8月28日2、二面角的类型及基本方法二面角的平面角的常规几何作法ooABoAB定义法

垂面法

三垂线法

A1B1C1ABC射影面积法

二面角大小的求法第十七页，共二十四页，2022年，8月28日例1.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º

∠BPM=∠BPN=45º

，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，

DO=a，

PCa，PDa又∵∠MPN=60º

∴CD=PCa∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90ºaOPC二面角返回主页定义法第十八页，共二十四页，2022年，8月28日O90°试一试第十九页，共二十四页，2022年，8月28日垂面法点P在二面角内ABO二面角pβαι返回主页讲解例题常见的图形第二十页，共二十四页，2022年，8月28日例2．如图P为二面角α–ι–β内一点，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

过PA、PB的平面PAB与棱ι

交于O点∵PA⊥α∴PA⊥ι

∵PB⊥β∴PB⊥ι

∴ι⊥平面PAB∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得∴∠P=60º∴∠AOB=120º

∴这二面角的度数为120º解：βαABPιO二面角返回主页第二十一页，共二十四页，2022年，8月28日第二十二页，共二十四页，2022年，8月28日αβABCD

A为二面角α–CD–β的棱CD上一点，AB在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平面β成30º，求二面角α–CD–β的大小。作业二面角二面角二面角第二十三页，共二十四页，2022年，8月28日

PABCD则∠BDE就是此二面角的平面角。连结BD，过E作ED⊥PC于D，过B作BE