二次函数与面积计算问题

二次函数与面积计算问题第一页，共四十一页，2022年，8月28日例1:已知抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，S△AOC=______________

S△BOC=_______

43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第二页，共四十一页，2022年，8月28日S△COP=_______

S△PAB=_______

43212OACPB(0,3)(-1,0)(3,0)(1,4)第三页，共四十一页，2022年，8月28日S△PCB=_______

(3,0)43212OACPB(0,3)(-1,0)(1,4)S△ACP=_______

EFFDE第四页，共四十一页，2022年，8月28日

在平面直角坐标系中，有两点A（-1，0），B（3，0），如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值。（2004绍兴中考题）

M

x

y

A

B

C

O

-1

3

第五页，共四十一页，2022年，8月28日二次函数中面积问题常见解决方法：一、运用二、运用四、运用分割三、运用相似第六页，共四十一页，2022年，8月28日BC铅垂高水平宽ha图2AxCOyABD11图1例1：如图1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B。（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝S△CAB

，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。一、运用第七页，共四十一页，2022年，8月28日xCOyABD11图2P（3）设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h

第八页，共四十一页，2022年，8月28日AxyBO练习1．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．第九页，共四十一页，2022年，8月28日AxyBO解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M．由旋转性质知OB＝OA＝2．∵∠AOB＝120°，∴∠BOM＝60°．M代入坐标易得所求抛物线的解析式为y＝x

2＋x．

C（3）存在．直线AB的解析式为y＝x＋

x＝－1代入直线AB的解析式∴点C的坐标为(－1，)P

当x＝－时，△PAB的面积有最大值，最大值为（2）设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为第十页，共四十一页，2022年，8月28日2.如图，抛物线y＝－x

2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；PQOBACyxP第十一页，共四十一页，2022年，8月28日（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由．QOBACyxP第十二页，共四十一页，2022年，8月28日ABMPONxyx＝my＝x3．如图，已知抛物线y＝ax

2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4。（1）求此抛物线的解析式。（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜＋1）与抛物线交于点M，

（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得△BOM

的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）。抛物线的解析式为y＝x2－2x－4

MN＝MP＋PN＝－m

2＋3m＋4

当m＝1.5时，S有最大值。第十三页，共四十一页，2022年，8月28日如图，二次函数图象与轴x交于A,B两点(A在B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M，为直角三角形,图象的对称轴为直线，P点是抛物线上位于A、C两点之间的一个动点，则的面积的最大值为（）

C（西湖区2011学年第一学期期末测试）第十四页，共四十一页，2022年，8月28日P-3-13Q第十五页，共四十一页，2022年，8月28日PQ第十六页，共四十一页，2022年，8月28日例2.（贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（0，2），O（0，0），B（4，0），把△AOB绕点O逆时针方向旋转90°得到△COD（点A转到点C的位置），抛物线y＝ax

2＋bx＋c(a≠0)经过C、D、B三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P，求△PAB的面积；（3）抛物线上是否存在点M，使△MBC的面积等于△PAB的面积？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．-3BAxyO2-1-112345-21345二.运用第十七页，共四十一页，2022年，8月28日-3BAxyO2-1-112345-21345P(1)∵抛物线经过B（4，0），C（－2，0）．∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)D（0，4）代入上式

（2）S△PAB＝S四边形PEOB－S△AOB－S△PEA＝6

（3）假设存在这样的点M，其坐标为M（x，y）∴y＝±2．EC第十八页，共四十一页，2022年，8月28日

练习1．已知二次函数y＝x

2＋ax＋a－2．（1）求证：不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；（2）设a＜0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为

时，求出此二次函数的解析式；（3）若此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在函数图象上是否存在点P，使得△PAB的面积为？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．（1）∵△＝a

2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0∴不论a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点．（2）设x1、x2是x

2＋ax＋a－2＝0的两个根则x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．∵此函数图象与x轴的两个交点的距离为∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13，整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5．∵a＜0，∴a＝－1．∴此二次函数的解析式为y＝x

2－x－3．（3）设点P的坐标为（x，y）∴|y|＝3，∴y＝±3再得x＝－2或x＝3；x＝0或x＝1

P1（－2，3），P2（3，3），P3（0，－3）或P4（1，－3）第十九页，共四十一页，2022年，8月28日BAOQPxy2．已知：t1，t2是方程t

2＋2t－24＝0的两个实数根，且t1＜t2，抛物线y＝x

2＋bx＋c的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）．（3）在（2）的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ为正方形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当S＝24时,P的坐标为（－3，－4）、（－4，－4）当点P为（－3，－4）时，满足PO＝PA，此时，□OPAQ是菱形．当点P为（－4，－4）时，不满足PO＝PA，此时□OPAQ不是菱形要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OA⊥PQ，OA＝PQ，此时，点的坐标为（－3，－3），而（－3，－3）不在抛物线上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形．

第二十页，共四十一页，2022年，8月28日例3:如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x

2－2x－8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；BAyOPECx（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解方程x2－2x－8＝0，得x1＝－2，x2＝4．∴A（4，0），B（－2，0）．∵抛物线与x轴交于A，B两点，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)（a≠0）又∵抛物线与y轴交于点C（0，4），∴a×2×(－4)＝4，

三、运用相似第二十一页，共四十一页，2022年，8月28日BAyOPECx（2）设点P的坐标为（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，如图．∵A（4，0），B（－2，0），∴AB＝6，BP＝m＋2．∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC．∴S△CPE＝S△CBP－S△BPE∵－2≤m≤4，∴当m＝1时，S△CPE有最大值3．此时点P的坐标为（1，0）G第二十二页，共四十一页，2022年，8月28日练习1．如图，已知抛物线y＝ax

2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x

2－5x＋4＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；yxBDOAECA（－1，0），B（3，0），C（0，－4）．当m＝2时，S有最大值2D点坐标为（1，0）

第二十三页，共四十一页，2022年，8月28日（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．yxBDOAEC第二十四页，共四十一页，2022年，8月28日如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（－4，0）．（1）求该抛物线的解析式；AOBxQCDEy第二十五页，共四十一页，2022年，8月28日（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；AOBxQCDEy第二十六页，共四十一页，2022年，8月28日（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（－2，0）．问是否有这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．AOBxQCDEy第二十七页，共四十一页，2022年，8月28日2．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3

:

4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC的长；（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？

CDABQPBC＝10t=0≤

t

＜时

第二十八页，共四十一页，2022年，8月28日CDABQPEF第二十九页，共四十一页，2022年，8月28日CDABQPE综合①②，得

当t＝3秒时，y有最大值为厘米2

第三十页，共四十一页，2022年，8月28日3.（11·杭州）（本小题满分12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1和h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。（1）求蝶形面积S的最大值；（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2

满足的关系式，并求h2的取值范围。第三十一页，共四十一页，2022年，8月28日解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.，即所以当时，.由⊿ABD∽⊿AEF第三十二页，共四十一页，2022年，8月28日例4．如图，抛物线y＝x

2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k＝

，点A的坐标为

，点B的坐标为

；（2）设抛物线y＝x

2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；．－3

（－1，0）

（3，0）

yxBAOCM（2）M的坐标为（1，－4）．

S四边形ABMC

＝S△AOC＋

S△COM

＋

S△MOB＝9

四、运用分割方法第三十三页，共四十一页，2022年，8月28日（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y＝x

2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形yxBAOCM第三十四页，共四十一页，2022年，8月28日yxBAOCD（3）设D（m，m

2－2m－3），连结OD，如图．则0＜m＜3，m

2－2m－3＜0．S四边形ABDC

＝S△AOC＋

S△COD

＋

S△DOB四边形ABDC的面积最大（4）Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．第三十五页，共四十一页，2022年，8月28日OCABxyM（图①）OCABxy（图②）练习1．如图①，已知抛物线y＝ax

2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．y＝－x

2－2x＋3

S四边形BOCE

最大，且最大值为．

E第三十六页，共四十一页，2022年，8月28日DCMyOABQPx2．如图，已知抛物线y＝a(x－1)2＋(a≠0)经过点A(－2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC＝OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．