二元函数泰勒展开

二元函数泰勒展开第一页，共六十八页，2022年，8月28日一、高阶偏导数

如果它们关于x与y的偏导数也导数有如下四种形式:存在,说明具有二阶偏导数．二元函数的二阶偏第二页，共六十八页，2022年，8月28日类似地可以定义更高阶的偏导数,例如的三阶偏导数共有八种情形:第三页，共六十八页，2022年，8月28日解由于例1

第四页，共六十八页，2022年，8月28日因此有第五页，共六十八页，2022年，8月28日数为例2

第六页，共六十八页，2022年，8月28日注意在上面两个例子中都有第七页，共六十八页，2022年，8月28日数为混合偏导数).但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数它的一阶偏导数为数相等(称这种既有关于x,又有关于y的高阶偏导第八页，共六十八页，2022年，8月28日的混合偏导数:第九页，共六十八页，2022年，8月28日由此看到,这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢?为此式.由于第十页，共六十八页，2022年，8月28日因此有第十一页，共六十八页，2022年，8月28日类似地有这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件．连续，则第十二页，共六十八页，2022年，8月28日证令于是有(4)(3)第十三页，共六十八页，2022年，8月28日由(4)则有(5)如果令第十四页，共六十八页，2022年，8月28日则有用前面相同的方法,又可得到(6)第十五页，共六十八页，2022年，8月28日在且相等，这就得到所要证明的(3)式．合偏导数都与求导顺序无关．注2

这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例

由定理假设都在点连续,故当时,(7)式两边极限都存如三元函数的如下六个三阶混合偏导数第十六页，共六十八页，2022年，8月28日若在某一点都连续，则它们在这一点都相等．今后在牵涉求导顺序问题时,除特别指出外,一般都假设相应阶数的混合偏导数连续．复合函数的高阶偏导数设数同样存在二阶连续第十七页，共六十八页，2022年，8月28日偏导数.具体计算如下:第十八页，共六十八页，2022年，8月28日第十九页，共六十八页，2022年，8月28日同理可得第二十页，共六十八页，2022年，8月28日例3

改写成如下形式:第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日由复合函数求导公式，有自变量的复合函数．所以第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日二、中值定理和泰勒公式

二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉

也有相同的公式，只是形式上更复杂一些．先介绍凸区域若区域D上任意两点的连线都含于

D,则称D为凸区域(图10.3-6).这就是说,若D为一切恒有第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日上连续,在D的所有内点都可微,则对D内任意两定理8

(

中值定理)

设在凸区域图10.3-6凸

非凸

第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日的一元连续函数,且在(0,1)内可微.根据一元函数其中中值定理，，使得(10)第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日(9),(10)两式即得所要证明的(8)式．注若

D为严格凸区域，即，都有第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日式成立(为什么?)．公式(8)也称为二元函数(在凸域上)的中值公式.它与定理17.3的中值公式(12)相比较,差别在于这请读者作为练习自行证明此推论．第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日分析将上式改写成例4对应用微分中值定理，证明存在某个第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日之间应用微分中值定理．计算偏导数:证首先,当,有再第三十页，共六十八页，2022年，8月28日定理9(泰勒定理)若在点内任一点内有直到阶的连续偏导数,则对第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日其中第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日证类似于定理8的证明，先引入辅助函数(11)式称为的n阶泰勒公式,并称其中而首项也可看作的情形.第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日件，于是有由假设，上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则,可求得的各阶导数如下:

(12)第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日公式(11)．将(13),(14)两式代入(12)式,就得到所求之泰勒时的特殊情形.第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日此时的n阶泰勒公式可写作则仅需内存在n阶的连续偏导数即可,第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日将它们代入泰勒公式(15)，即有第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日与1、例7的结果(1.32)相比较，这是更接近于真微分近似相当于现在的一阶泰勒公式．第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日三、极值问题

多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用,这里仍以二元函数为例进行讨论.有定义.若极大值点、极小值点统称极值点．的极大

(或极小)

值点.极大值、极小值统称极值;极第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日注意这里讨论的极值点只限于定义域的内点．点,是g的极大值点,但不是h的极值点．这是因第四十页，共六十八页，2022年，8月28日同极值;

也取相同极值.于是

得到二元函数取极值的必要条件如下:定理10(极值的必要条件)

若函数在点

值(注由定义可见,若在点取极值,则当固存在偏导数,且在取得极值,则必有第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日的稳定点.上述定理指出:偏导数存在时,极值点必是稳定点.

但要注意:稳定点并不都是极值点．在例6

中之所以只讨论原点,就是因为原点是那三个函数的惟一稳定点；而对于函数h,原点虽为其稳定点,但却不是它的极值点.与一元函数的情形相同,多元函数在偏导数不存在原点没有偏导数,但第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日(17)定点,则有如下结论:第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日于是有证由在的二阶泰勒公式，并注意到条件第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日二次型连续函数(仍为一正定二次型)首先证明:当正定时，在点取得极小值．这是因为，此时对任何恒使第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日极大值．由于因此在此有界闭域上存在最小值，于是有即在点取得极小值．第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日亦取

则沿着过的任何直线最后证明:当为不定矩阵时,在点不第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日极小值,则将导致必须是正半定的.也就是

的或负半定的，这与假设相矛盾．这表明必须是负半定的.同理,倘若取系，定理11又可写成如下比较实用的形式——根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关若如定理11所设，则有如下结论:第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日是否取得极值．解由方程组例7取得极小值;取得极大值;第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日例8

讨论是否存在极值．第五十页，共六十八页，2022年，8月28日得极值?因，故原点不是的

极值点.又因处处可微，所以没有极值点.

解容易验证原点是的稳定点,且故由定理11无法判断在原点是否取得极值．但因为在原点的任意小邻域内,当时

第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日由极值定义知道,极值只是函数的一个局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳定点、无偏导数点处的函数值,还有在区域边界上的这类特殊值；然后比较这些值,其中最大(小)者即为问题所求的最大(小)值．以f(0,0)=0

不是极值(参见图10.3-7)．第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日例10

证明:圆的所有外切三角形中,以正三角形的

面积为最小．证如图10.3-8所示,设圆的半径为a,任一外切三角图10.3-8图10.3-7第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日式为其中.为求得稳定点,令形为ABC,三切点处的半径相夹的中心角分别为第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日在定义域内,上述方程组仅有惟一解:的二阶偏导数:第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日此稳定点处取得极小值．因为,面积函数S在定义域中处处存在偏正三角形的面积为最小．解(i)

求稳定点：解方程组导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日因此得稳定点(ii)

求极值：由于的黑赛矩阵为(iii)

求在上的特殊值:当第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日当，当，第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日算出单调增,算出两端值第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日图形,上面的讨论都能在图中清晰地反映出来．一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！注本例中的上虽然只有惟一极值,且为极小值，但它并不因此成为上的最小值．这第六十页，共六十八页，2022年，8月28日图