两数和乘以这两数的差

两数和乘以这两数的差第一页，共二十八页，2022年，8月28日回顾与思考回顾&

思考☞(m+a)(n+b)=如果m=n，且都用x表示，那么上式就成为:多项式乘法法则是:用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项再把所得的积相加。mn+mb+an+ab

=(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab

这是上一节学习的一种特殊多项式的乘法——

两个相同字母的二项式的乘积.如果(x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系，又将得到什么特殊结果呢?这就是从本课起要学习的内容．

第二页，共二十八页，2022年，8月28日平方差公式计算下列各题:做一做(1)(x+3)(x−3)；(2)(1+2a)(1−2a)；(3)(x+4y)(x−4y)(4)(y+5z)(y−5z)；=x2−9;=1−4a2;=x2−16y2;=y2−25z2;观察

&

发现

观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？用自己的语言叙述你的发现。=x2−32;=12−(2a)2;=x2−(4y)2;=y2−(5z)2.(a+b)(a−b)=a2−b2.两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差.用式子表示，即：第三页，共二十八页，2022年，8月28日3.观察这个公式，说说它左右两边的特征.(a+b)(a-b)=a2-b2特征:两个数的和这两个数的差这两数的平方差第四页，共二十八页，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:两个二项式相乘第五页，共二十八页，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相同第六页，共二十八页，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:相反数第七页，共二十八页，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:平方差第八页，共二十八页，2022年，8月28日(a+b)(a-b)=a2-b2特征:(相同项)2-(相反项)2第九页，共二十八页，2022年，8月28日初识平方差公式(a+b)(a−b)=x2−b2

(1)

公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)];(2)公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方

减去第二项的平方.(3)

公式中的a和b可以代表数，也可以是代数式．

特征结构｛第十页，共二十八页，2022年，8月28日=-

=

-

.4.请你用图形说明它的正确性.第十一页，共二十八页，2022年，8月28日1、两数和乘以它们的差公式：(a＋b)(a－b)=a²－b²两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差。条件：⑴二项式×二项式；⑵两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数的项。结论：⑴两项的平方差；⑵

(完全相同项)2－(互为相反项)2

简记：＝＋－（）（）－２２表示一个单项式或者多项式“”〖

〗注意：

5.请用语言叙述这个公式.（也叫平方差公式）第十二页，共二十八页，2022年，8月28日首先请你仔细观察下图，你能用下面的图解释两数和乘以它们的差公式吗？ABCD第十三页，共二十八页，2022年，8月28日例题解析例题学一学例1

利用平方差公式计算：(1)(5+6x)(5−6x)；(2)(x+2y)(x−2y);(3)(−m+n)(−m−n).解:

(1)(5+6x)(5−6x)=55第一数a52平方−6x6x第二数b平方要用括号把这个数整个括起来，

注意当“第一(二)数”是一分数或是数与字母的乘积时,再平方;

()26x=25−

最后的结果又要去掉括号。36x2;(2)(x+2y)(x−2y)=xxx2−()22y2y2y=x2

−4y2;(3)(−m+n)(−m−n)=−m−m−m()2−nnn2=m²

−n2.第十四页，共二十八页，2022年，8月28日【例1】计算：

（1）

（2）

（3）

（4）要分清是哪两个数的和乘以这哪两数的差哦！知识应用第十五页，共二十八页，2022年，8月28日拓展练习本题是公式的变式训练，以加深对公式本质特征的理解．

运用平方差公式计算：(4a1)(4a1)．

(用两种方法)

运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．法一利用加法交换律，变成公式标准形式。

(4a−1)(4a−1)==(1)2−(4a)2=1−16a2。法二提取两“−”号中的“−”号，

变成公式标准形式。

(4a−1)(4a−1)=

(4a+1)

(4a−1)(4a−1)=(4a)2−1−

计算时千万别忘了你提出的“”号、添括号；

注意[]=1−16a2。(4a−1)(4a−1)−1−4a−1+4a第十六页，共二十八页，2022年，8月28日下面两题能用两数和乘以它们的差公式?如果能，答案应该是多少？⑴(2m＋n)(n－2m)⑵(-a-b)(-a＋b)=n²-(2m)²=n²-4m²

=(-a)²-b²=a²-b²能力提升：

=

(n＋2m)(n－2m)（注意：交换两项的位置，满足公式的特征）第十七页，共二十八页，2022年，8月28日开放题：观察：(－2x＋y)()，在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘以它们的差公式进行计算？

解：⑴(－2x＋y)(－2x－y)⑵(－2x＋y)(2x＋y)=(－2x)²－(y)²=(y)²－(－2x)²=y²－4x²=4x²－y²第十八页，共二十八页，2022年，8月28日练习:1、请你判断以下的计算是否正确，并说明理由；⑴、(m＋3n)(m－3n)=m²－3n²()⑵、(－m＋3n)(m－3n)=m²－9n²()⑶、(－m－3n)(－m＋3n)=m²－9n²()⑷、(m－3n)²=m²－9n²()××√×第十九页，共二十八页，2022年，8月28日=(2x)²－()²

=4x²－=(－x)²－2²

=x²－42、计算：⑴、(2x＋)(2x－)⑵、(－

x＋2)(－x－2)⑶、(－2x＋y)(2x＋y)⑷、(y－x)(－x－y)=y²－(2x)²=y²－4x²=(－x)²－y²=x²－y²解:第二十页，共二十八页，2022年，8月28日1998×2002=(2000－2)×(2000＋2)=(2000)²－

2²=4000000

－

4

=3999996比一比，看谁算得又简便又快：

计算：1998×2002知识应用方法一：直接计算；1998×2002=3999996方法二：构造公式计算；写成两数和乘以这两数的差的形式可以使运算简便！第二十一页，共二十八页，2022年，8月28日街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长2米，而东西方向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？知识应用2：(a＋2)(a－2)=a²－4解：答：改造后的长方形草坪的面积是(a²－4)平方米。（规划前）（规划后）第二十二页，共二十八页，2022年，8月28日1.下列多项式相乘，哪些可用平方差公式？怎样用公式计算？

1)(a+b)(-b+a)2)(ab+1)(-ab+1)3)(a+b)(b-c)4)(-2xy+z)(-2xy-z)5)(a+b)(-a-b)6)(a2-3bc)(3bc+a2)2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计算？怎样应用公式计算？第二十三页，共二十八页，2022年，8月28日2.(a+b+c)(a+b-c),是否可用平方差公式计算？怎样应用公式计算？解：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=(a+b)(a+b)–c2=(a2+ab+ab+b2)–c2

=(a2+2ab+b2)–c2

=a2+2ab+b2–c2第二十四页，共二十八页，2022年，8月28日3.将下列各式变形为可利用平方差公式计算的形式：1)(a+2b+3)(a+2b-3)2)(a+2b-3)(a-2b+3)3)(a-2b+3)(a-2b-3)4)(a-2b-3)(a+2b-3)5)(3a-5b-2c)(-3a-5b+2c)6)(x+y+m+n)(x+y-m-n)[(a+2b)+3][(a+2b)-3][a+(2b-3)][a-(2b-3)][(a-2b)+3][(a-2b)-3][(a-3)-2b][(a-3)+2b][(-5b)+(3a-2c)][(-5b)-(3a-2c)][(x+y)+(m+n)][(x+y)-(m+n)]第二十五页，共二十八页，2022年，8月28日4.下列各式哪些能用平方差公式计算？怎样用？1)(a-b+c)(a-b-c)2)(a+2b-3)(a-2b