三次样条插值

三次样条插值第一页，共四十八页，2022年，8月28日2.3三次样条插值学习目标：

知道三次样条插值函数的概念，会求三次样条插值函数，进行误差分析。第二页，共四十八页，2022年，8月28日高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）三次样条插值（先由函数值确定导数值，再由分段Hermite插值解决问题）举例：1汽车、船的外形设计，流体力学等要求流线型（光滑）；2木样条的来源。2.3.1三次样条插值函数的概念

一、背景第三页，共四十八页，2022年，8月28日数学里的样条(Spline)一词来源于它的直观几何背景：绘图员或板金工人常用弹性木条或金属条加压铁(构成样条!)固定在样点上，在其它地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.

样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点击样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。第四页，共四十八页，2022年，8月28日相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrange第五页，共四十八页，2022年，8月28日

定义2.8

（三次样条函数）在每一个小区间上是次数多项式。若(1)中三次样条函数还满足插值条件：关于剖分称为的三次样条插值函数。

，即具有连续的一阶，二阶导数。满足下述条件：如果函数(1)设有对[a,b]的剖分的一个3次样条函数。为关于剖分则称

函数表（2）设给定二、样条函数的定义第六页，共四十八页，2022年，8月28日提出问题：3次样条插值函数是否存在？是否唯一？如何计算？误差估计？问题的提法：给定数据表构造3次样条函数,满足插值条件

第七页，共四十八页，2022年，8月28日构造方法：

S(x)应具有如下形式并且满足条件(2.42)和(2.43)第八页，共四十八页，2022年，8月28日分析：

因上是分段3次多项式，即为4n个待定系数:从而S(x)共须4n个独立条件确定.①内部条件：

S和S′,S’’在n-1个内结点连续,即满足条件(2.43),因而(2.43)给出了3(n-1)

个条件；(2.43)第九页，共四十八页，2022年，8月28日

②已有条件：共有个条件,要唯一确定,还必须附加2个条件(2.42)提供了n+1个独立条件;(边界条件)。③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:(a)

（简支边界，导致三弯矩关系式,M关系式）,

特别地,(自然边界,三次自然样条);(b)

(固支边界,导致三转角关系式,m关系式).(2.44)(2.45)第十页，共四十八页，2022年，8月28日第3种边界条件（周期边界条件）：为周期函数，此时称为周期样条函数。亦是周期函数，周期为，即取要求

注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。

注意：上述①给出的个条件是问题本身隐含的，②和③共个独立条件须提供，故节点三次样插值问题只有个自由度.(请与分段三次Hermite插值比较!)第十一页，共四十八页，2022年，8月28日

这样，由以上给定的任一种边界条件加上插值条件和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间xi,xi+1上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找到一种简单的构造方法。且(1)如果是定义在上函数且已知函数表

定理2.8（3次样条插值函数存在唯一）唯一3次样条插值函数,且满足(2)给定边界条件，则于存在第十二页，共四十八页，2022年，8月28日

推导方法：1、先确定插值函数在节点处的一阶导数，记为该方法即为3次样条插值函数的一阶导数表示。2、先确定插值函数在节点处的二阶导数，记为该方法即为3次样条插值函数的二阶导数表示。第十三页，共四十八页，2022年，8月28日------三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示的算法为三弯矩算法。2.3.2三弯矩算法第十四页，共四十八页，2022年，8月28日由两点拉格朗日插值可表示为参数对上式积分,得再积分,得第十五页，共四十八页，2022年，8月28日

由条件，确定积分常数第十六页，共四十八页，2022年，8月28日

将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式由上讨论可知,只要确定Mj(j=0,1,…n)这n+1个值,就可定出三样条插值函数S(x)。为了确定Mj(j=0,1,…n),对S(x)求导得第十七页，共四十八页，2022年，8月28日第十八页，共四十八页，2022年，8月28日第十九页，共四十八页，2022年，8月28日（2.55）

上式两边同乘以,即得方程

若记（2.56）第二十页，共四十八页，2022年，8月28日所得方程可简写成（2.58）

即（2.57）

——三弯矩方程第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日

这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,…,n)的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间a,b的两个端点处的边界条件来补充。第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，则令j=0，令j=n，第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1个方程第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日(3)对第三类边界条件：两边同除以(j=n)(j=n)(j=0)第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日令得又由,三弯矩方程可写为第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日说明：

（1）方程组(2.59)~(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩阵，因此方程组(2.59)~(2.61有唯一解

（2）Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(2.59)~(2.61)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。

实际上,方程组(2.59)~(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。

第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日例2.14

设在节点上，函数的值为，。试求三次样条插值函数，满足条件

解（1）利用方程组（2.56）进行求解，可知第三十页，共四十八页，2022年，8月28日对第一类边界条件代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日（２）仍用方程组进行求解，不过要注意的不同。由于和已知，故可以化简得第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日由此解得。

将代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日例2.15

已知的函数值如下：

x1245

f(x)1342在区间1,5上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定的方程组形如（2.60）所示，由已知边界条件,有则得求解的方程组为第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日根据给定数据和边界条件算出与

第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日则得方程组解得

又

即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（2.51）知,S(x)在上的表达式为代入式(2.50)将代入上式化简后得

第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日同理S(x)在上的表达式为

S(x)在上的表达式为第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日故所求的三次样条插值函数S(x)在区间上的表达式为

第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日

下面构造一阶导数值表示的三次样条插值函数。在力学上解释为细梁在截面处的转角，并且得到的转角与相邻两个转角有关，故称用表示的算法为三转角算法。2.3.3三转角算法第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日

根据Hermite插值函数的唯一性和表达式可设S(x)在区间[xi,xi+1](i=0,1,…n-1)的表达式为第四十页，共四十八页，2022年，8月28日对S(x)求二次导数得于是有同理，考虑S(x)在[xi-1,xi]上的表达式，可以得到第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日利用条件，得（2.62）其中，由（2.56）所示，而（2.63）

方程组(2.63)是关于的方程组,有个未知数,但只有个方程.可由(2.44)—(2.46)的任一种边界条件补充两个方程。

第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日由此可解得m1,m2,…,mn-1

，从而得S(x)的表达式.（2.64）①对于边界条件(2.45),两个方程则m1,m2,…,mn-1满足方程组

第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日①对于边界条件(2.44),可导出两个方程:(2.65)第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日若令则（2.62）和（2.65）可合并成矩阵形式（2.66）可解出从而得S(x)的表达式.第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日由(2.6