不定积分的定义

不定积分的定义第一页，共三十七页，2022年，8月28日课题八、不定积分的计算基本积分公式由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表

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课题八、不定积分的计算(直接积分法)直接积分法利用基本积分表和积分运算法则,最多对被积函数作适当变形就可以积分的方法,称为直接积分法利用积分表和运算法则例1.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6)上页下页第三页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（基本公式和法则）(1)(2)

(4)(5)(6)上页下页第四页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用代数变形例2.求下列不定积分

(2)(3)(4)(5)(6)上页下页第五页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（代数变形）(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页下页第六页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)利用三角变形例3.求下列不定积分(1)(2)(4)(5)(6)上页下页第七页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)解答如下（三角变形）(1)(2)

(4)(5)(6)上页下页第八页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？

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课题八、不定积分的计算(直接积分法)课堂练习答案一.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)二.已知物体的速度，当t=1时，物体经过的路程为3，求物体运动规律？解:,由s(1)=3得所以运动规律

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课题八、不定积分的计算(凑微分法)

前言利用基本积分表和运算法则可以积分的函数非常有限.下面介绍换元积分法---将要计算的积分通过变量替换化成基本积分表中已有的形式,算出原函数后,再换回原来的变量.换元积分法包括:第一类换元积分(凑微分)和第二类换元积分提出问题如何求积分:解决方法像复合函数求导一样,我们引入中间变量u,将被积函数变成基本积分表中的函数,积分后再回代变量.上页下页第十一页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

例1.求积分:解：令u=2x,du=2dx,则例2.求积分:解:令u=2x+1,du=2dx,则例3.求积分:解:令u=x+1,du=dx,则上页下页第十二页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

其实,在上面的例子中可以这样求解.例4.求积分:(1)(2)

(注:回忆前面所讲的微分式子)解(1)因为,所以

(2)因为,所以上面这种求积分的方法称为“凑微分法”.上页下页第十三页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

复习微分式:例5.求下列不定积分(1)(2)(3)(4)上页下页第十四页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

解:(1)(2)(3)(4)上页下页第十五页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

例6.求下列积分(1)(2)(3)(4)解(1)(2)(3)(4)上页下页第十六页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

小结(第一类换元积分,即凑微分)使用环境如果被积函数可以整理为如下形式,则可使用凑微分.注意事项(1)熟悉基本积分公式;(2)熟悉常用凑微分式;(3)明确将哪部分放进微分里(即凑微分).上页下页第十七页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

课堂练习求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)-上页下页第十八页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(凑微分法)

课堂练习解答求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)--完--上页下页第十九页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

如何求如下积分呢?

通过观察,上面积分很显然不能使用“凑微分法”,所以必须另寻新的积分方法—第二类换元积分(即先作变量替换,积分后再回代变量)

第二类换元积分通常包括:根式换元和三角换元根式换元例7.求积分:解:上页下页第二十页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

例8.求积分:解:

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课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

例9.求积分:解:

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课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

三角换元例10.求积分:解:上页下页1第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

例11.求积分:解:上页下页1第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

例12.求积分:解:上页下页2第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

小结(第二类换元积分法)使用环境当求积分较困难,但作变量替换后,而新的积分容易积分时使用.若的反函数存在时,有换元方式(1)根式换元(2)三角换元上页下页第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

课堂练习求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)上页下页第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(第二类换元法)

课堂练习答案求下列不定积分:(1)(2)(3)(4)(5)(6)--完--上页下页第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

分部积分公式(由乘积的微分公式得到)说明:(1)当积分不易计算,而积分容易积分时,考虑使用本公式;(2)使用的关键是正确选择u和dv.

下面,我们通过例子来分析和总结公式的使用技巧.例13.求积分:分析:对照公式我们要将xexdx变形为udv的形式,即形成公式的左边,就必须将被积函数中的某一项“拿进”微分里去,形成某一函数的微分,即dv.

那么,将哪项“拿进”微分里去呢?上页下页第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

事实上,哪项都可以拿进微分里“凑微分”.下面我们就来分别试一试!方法一.将x拿进微分里“凑微分”观察:后项积分比前项积分(所求)更复杂,更难于积分.方法二.将ex拿进微分里“凑微分”

说明方法二的选择是正确的.上页下页容易积分第三十页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

练一练:如何求积分:例14.求积分：分析:现在我们换个角度来分析,由公式知在第二个积分中要对u求微分(即导数),幂函数求导后次数会降低;而余弦函数求导后仅变成正弦,对积分的难度没有影响.由此可见,应把幂函数x作为u,而将cosx拿进微分里“凑微分”.解：上页下页凑微分第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

同理可求积分:

总结规律:(1)若被积函数为幂函数与指数函数或正(余)弦函数相乘时,可使用分部积分法,此时选择幂函数作为u.例4.求积分:分析:由于对数函数求导后,会将“对数符号”去掉,所以应选择对数函数作为u.解：上页下页第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

例15.求积分：分析：选择反正切函数作为u.解：上页下页拆项第三十三页，共三十七页，2022年，8月28日

课题八、不定积分的计算(分部积分法)

总结规律:(2)若被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数相乘