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文档简介
全称量词与存在量词知识点总结、例题讲解和同步练习一、本节知识点(1)全称量词与全称量词命题.(2)存在量词与存在量词命题.(3)全称量词命题与存在量词命题的否定.二、本节题型(1)全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断.(2)全称量词命题与存在量词命题的否定.(3)全称量词命题与存在量词命题的求参问题.三、知识点讲解知识点一全称量词与全称量词命题短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个,成立”可用符号表示为:.读作:对任意属于M,有成立.对全称量词命题的理解:(1)全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题.(2)一个全称量词命题可用包含多个变量:如R,≥0.(3)在某些全称量词命题中,有时全称量词可用省略.例如“长方体是六面体”,它指的是“所有的长方体都是六面体”.全称量词命题真假的判断(1)要判断全称量词命题“”是真命题,需要对集合M中的每个元素,证明成立;(2)要判断全称量词命题“”是假命题,只需举出一个反例.若在集合M中能找到一个元素,使不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.知识点二存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素,成立”可用符号表示为:.读作:存在M中的元素,使成立.对存在量词命题的理解:(1)存在量词命题是陈述集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.(2)一个存在量词命题可用包含多个变量,如R,使.(3)如果一个命题含有存在量词,不管包含的范围有多大,都是存在量词命题.存在量词命题真假的判断(1)要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合M中找到一个元素,使成立即可;(2)要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.知识点三全称量词命题和存在量词命题的否定全称量词命题的否定一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“,不成立”.用“”表示“不成立”.对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:,.也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.存在量词命题的否定一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”“都”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“”,则它的否定为“不存在,使成立”,也就是“不成立”.对含有一个量词的存在量词命题的否定,由下面的结论:存在量词命题:,它的否定:,.也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.重要结论一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.所以,我们判断一个命题的否定是真是假,只需判断原命题的真假即可.四、例题讲解例1.判断下列全称量词命题的真假:(1)每个四边形的内角和都是;(2)任何实数都有算术平方根;(3),是无理数.分析:要判断全称量词命题“”是真命题,需对集合中的每个元素,证明成立;要判断全称量词命题“”是假命题,只需在集合中找到一个元素,使不成立即可.解:(1)根据多边形内角和定理,四边形的内角和为:∴全称量词命题“每个四边形的内角和都是”是真命题;(2)∵只有非负实数才有算术平方根∴全称量词命题“任何实数都有算术平方根”是假命题;(3)是无理数,但是有理数.∴全称量词命题“,是无理数”是假命题.例2.判断下列存在量词命题的真假:(1)存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;(2)至少有一个整数,使得为奇数;(3),是无理数.分析:要判断存在量词命题“”是真命题,只需在集合中找到一个元素,使成立即可;要判断存在量词命题“”是假命题,需要对集合M中任意一个元素,证明都不成立.解:(1)菱形是特殊的四边形,它的两条对角线互相垂直.∴存在量词命题“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是真命题;(2)∵为整数,为偶数∴存在量词命题“至少有一个整数,使得为奇数”是假命题;(3)∵是无理数,也是无理数∴存在量词命题“,是无理数”是真命题.例3.写出下列命题的否定:(1)Z,Q;(2)任意奇数的平方还是奇数;(3)每个平行四边形都是中心对称图形.解:(1)Z,Q;(2)存在一个奇数,它的平方不是奇数;(3)存在一个平行四边形不是中心对称图形.例4.写出下列命题的否定:(1)有些三角形是直角三角形;(2)有些梯形是等腰梯形;(3)存在一个实数,它的绝对值不是正数.解:(1)所有的三角形都不是直角三角形;(2)所有的梯形都不是等腰梯形;(3)任意一个实数,它的绝对值是正数.例5.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)任意两个等边三角形都相似;(2)R,.解:(1)该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.∵任意两个等边三角形的三边对应成比例∴任意两个等边三角形都相似.∴该命题的否定为假命题;(2)该命题的否定:R,.∵对任意R恒成立∴该命题的否定为真命题.例6.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)R,一元二次方程有实数根;(2)每个正方形都是平行四边形;(3)N,N;(4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于.分析:要先判断原命题是全称量词命题还是存在量词命题,任何给出正确的否定.解:(1)R,一元二次方程没有实数根.∵对R恒成立∴一元二次方程总有两个不相等的实数根∴该命题的否定为假命题;(2)存在一个正方形不是平行四边形.是假命题;(3)N,N.∵当时,N∴该命题的否定为假命题;(4)任意一个四边形ABCD的内角和等于.是真命题.(或所有的四边形ABCD的内角和等于)例7.已知命题:,方程有解,则为【】(A),方程无解(B)≤0,方程有解(C),方程无解(D)≤0,方程有解解析:本题考查存在量词命题的否定.存在量词命题:,它的否定:.存在量词命题的否定为全称量词命题.选择答案【A】.例8.已知命题:≥3,使得是假命题,则实数的最大值是_______.解析:本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.重要结论一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.该命题的否定为:≥3,≥.由题意可知,该命题的否定为真命题.∴只需≥即可.∴≤5,即实数的最大值是5.例9.若对≤≤2,有≤0恒成立,则实数的取值范围是__________.解析:本题中的命题为全称量词命题,即,≤0恒成立.由≤0得:≤恒成立,只需≤即可.∵,∴.∴实数的取值范围是.例10.命题“,≥0”的否定是【】(A),(B),≥0(C),(D),≥0解析:把量词“”变成“”,并把结论否定即可.∴选择答案【C】.五、同步练习1.命题“R,”的否定是【】(A)R,(B)R,(C)R,(D)R,2.命题“存在实数,使关于的方程有实数根”的否定是【】(A)存在实数,使关于的方程无实数根(B)不存在实数,使关于的方程有实数根(C)对任意实数,关于的方程都有实数根(D)至多有一个实数,使关于的方程有实数根3.命题“,都有”的否定是【】(A),都有≤0(B),使得≤0(C),使得≤0(D)≤1,使得≤04.已知命题R,,则是【】(A)R,(B)R,(C)R,(D)R,5.判断下列命题的真假,并写出命题的否定.(1)Z,;(2)在实数范围内,有些一元二次方程无解;(3)正数的平方都是正数.6.用符号“”或“”改写下面的命题,并判断真假.(1)实数的平方大于或等于0;(2)存在实数,使成立;(3)直角三角形满足勾股
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