【新教材】2022学年高中数学人教A版必修第二册课时作业7.1.2　复数的几何意义

课时作业16复数的几何意义时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是(ABD)A．z在复平面内对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z在复平面内对应的点在实轴上方D．z一定是实数解析：2m2＋2m－1＝2(m＋eq\f(1,2))2－eq\f(3,2)，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，A，B，D均不正确．2．(多选)在复平面内，复数a－2i对应的点位于第四象限，则实数a的可能取值为(AB)A．2 B．1C．－1 D．无法确定解析：在复平面内，复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，因为复数对应的点位于第四象限，所以a>0.3．下列复数z＝a＋eq\r(3)i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于(A)A．－1＋eq\r(3)i B．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D．－2＋eq\r(3)i解析：因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0.由|z|＝2知，eq\r(a2＋\r(3)2)＝2，解得a＝±1，所以a＝－1，所以z＝－1＋eq\r(3)i.4．已知复数z＝m(3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(B)A．(－∞，1) B．(－∞，eq\f(2,3))C．(eq\f(2,3)，1) D．(－∞，eq\f(2,3))∪(1，＋∞)解析：z＝m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2<0，,m－1<0，))解得m<eq\f(2,3).所以m的取值范围是(－∞，eq\f(2,3))，故选B.5．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，则复数(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在(B)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))，∴cosθ＋sinθ<0，sinθ－cosθ>0.6．已知复数z1＝－2＋3i的对应点为Z1，Z2与Z1关于x轴对称，Z3与Z2关于直线y＝－x对称，则点Z3对应的复数为z3＝(A)A．3＋2i B．3－2iC．2＋3i D．2－3i解析：Z1(－2,3)，Z2(－2，－3)，Z3(3,2)，所以z3＝3＋2i.二、填空题7．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝1＋2i或－1－2i.解析：依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)，得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.8．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i，(m∈R)，在复平面内对应的点为P，则当P在第三象限时，m的取值范围为(－∞，－3)，当P在第四象限时，m的取值范围为(－3,1)．解析：当P点在第三象限时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＜0,m－1＜0))，解得m＜－3；当P点在第四象限时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3＞0,m－1＜0))，解得－3＜m＜1.9．已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为1.解析：由z1，z2互为共轭复数，可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＋3＝2m，,m＝m2＋m－1，))解得m＝1.三、解答题10．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点：(1)位于第四象限．(2)位于第一、三象限．(3)位于直线y＝x上．解：(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3>0，,m2－5m－14<0，))得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限．(2)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3>0，,m2－5m－14>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－3<0，,m2－5m－14<0，))所以m>7或－2<m<3，此时复数z对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3，所以m2－6m－11＝0，所以m＝3±2eq\r(5)，此时，复数z对应的点位于直线y＝x上．11．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.解：若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.——能力提升类——12．当eq\f(2,5)<m<1时，复数z＝(5m－2)＋(m－2)i在复平面内对应的点位于(D)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：复数z在复平面内对应的点为Z(5m－2，m－2)．由eq\f(2,5)<m<1，得5m－2>0，m－2<0.所以点Z位于第四象限．13．已知复数z与eq\x\to(z)是共轭复数，且z·eq\x\to(z)＝9＋a2(其中a是复数z的虚部)，|z|<4，则实数a的取值范围为(A)A．(－eq\r(7)，eq\r(7)) B．(1,7)C．(－3,3) D．(－3,4)解析：由题意，令z＝b＋ai(b∈R)，则eq\x\to(z)＝b－ai，由z·eq\x\to(z)＝9＋a2，可得b＝±3，∴z＝±3＋ai.利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，如图所示，由z＝±3＋ai知，z对应的点在直线x＝±3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由题意可知－eq\r(7)<a<eq\r(7).14．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)在复平面内所对应的点位于第三象限，则k的取值范围是2<k<eq\r(6)或－eq\r(6)<k<－2.解析：因为复数在复平面内所对应的点位于第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2－6<0，,4－k2<0，))所以2<k<eq\r(6)或－eq\r(6)<k<－2.15．在复平面内画出复数z1＝eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z2＝－1，z3＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i对应的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(OZ3,\s\up6(→))，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点一一对应，已知点Z1，Z2，Z3的坐标分别为(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，(－1,0)，(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))，则向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(