复数的乘法和除法课件人教版选修

3．2.2复数的乘法和除法学习导航学习目标重点难点重点：复数乘、除法的运算法则和运算律．难点：有关i的运算及复数的除法运算．新知初探思维启动一、复数的乘法1.定义：(a＋bi)(c＋di)＝__________________.2.运算律(1)对任意z1，z2，z3∈C有交换律z1·z2＝_______结合律(z1·z2)·z3＝____________乘法对加法的分配律z1·(z2＋z3)＝_____________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1·z2＋z1·z3zm·znzmn(z1·z2)n做一做1.已知复数z1＝2＋i，z2＝1－i，则z1·z2＝________．解析：z1·z2＝(2＋i)(1－i)＝2－2i＋i－i2＝3－i.答案：3－i二、共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于_____对称．(2)实数的共轭复数是______，即z＝z⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·z＝____＝|z|2∈R.实轴它本身|z|2做一做2.(2011·高考大纲全国卷)复数z＝1＋i，z为z的共轭复数，则z·

z－z－1＝(

)A．－2i

B．－iC．iD．2i解析：选B.z＝1＋i，z＝1－i，z·z－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i，故选B.典题例证技法归纳题型探究例1【名师点评】

由(3)中的两种方法可以看出,灵活运用运算律可以简化运算过程．变式训练1.计算：(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2；(2)(1＋2i)(3＋4i)(5＋6i)－4i.解：(1)(1＋i)(1－i)－(1＋i)2＝1－i2－2i＝2－2i.(2)(1＋2i)(3＋4i)(5＋6i)－4i＝(3＋4i＋6i＋8i2)(5＋6i)－4i＝(－5＋10i)(5＋6i)－4i＝－25－30i＋50i＋60i2－4i＝－85＋16i.题型二共轭复数性质的应用(本题满分12分)设z1、z2∈C，A＝z1·z2＋z2·z1，B＝z1·z1＋z2·z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？例2【解】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，(2分)则z1＝a－bi，z2＝c－di，

(4分)∴A＝z1·z2＋z2·z1＝(a＋bi)(c－di)＋(c＋di)(a－bi)＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2＝2ac＋2bd∈R，(7分)名师微薄证明A、B为实数，是解题的关键！B＝z1·z1＋z2·z2＝|z1|2＋|z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，

(10分)∴A与B可以比较大小.(12分)名师微薄轭复数性质的应用，很方便哟！【名师点评】

(1)z·z＝|z|2＝|z|2是共轭复数的常用性质．(2)若z≠0且z＋z＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．互动探究2.能否利用共轭复数的性质，证明本题中A∈R?证明：∵A＝z1·z2＋z2·z1＝z1·z2＋z2·z1＝z1·z2＋z2·z1＝z2·z1＋z1·z2＝A，∴A∈R.例3【名师点评】复数的除法运算，只须分子、分母同乘以分母的共轭复数,然后再化简即可.题型四虚数单位i的运算特征求和：1＋i＋i2＋i3＋…＋i2012.例4【名师点评】

法一是把和看作是1，i，i2，…的前n项和，这个数列是1为首项，i为公比的等比数列，故可用前n项和公式求；法二是利用in的周期性．变式训练4.求1＋2i＋3i2＋…＋2011i2010＋2012i2011的值.备选例题2.若关于x的实系数一元二次方程x2＋ax＋b＝0的一个根是2＋i,则a＝________,b＝_______.答案：－4

53.已知复数z＝1＋i,复数z的共轭复数z＝1－i，求实数a、b使az＋2b

z＝(a＋2z)2.解：∵z＝1＋i，z＝1－i，∴az＋2b

z＝(a＋2b)＋(a－2b)i，(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.方法感悟方法技巧1.复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同，即所得结果中必须把i2换成－1，结合到实际运算过程中去，把实部，虚部分别合