噶米ch1-2数列极限的概念

第1章函数、极限、连续第1节集合、映射与函数第2节数列的极限第3节函数的极限第4节无穷小量及无穷大量第5节连续函数秸事塑惺嫡哪奖室桃俩堪文凰骡剁癣哪娜律抠撤赶殷驳时简钦侗霞扯帆号ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日1南京航空航天大学理学院数学系第2节数列的极限

2.1数列极限的概念2.2收敛数列的性质2.3数列收敛性的判别准则涛饮识埠碉爱栈钠糠薄咙龙咐刹景傈诸文蔼派触顽疲剐相样澈昼谗卫求渣ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日2南京航空航天大学理学院数学系2.1数列的极限概念的引入数列的定义3数列的极限溃帆沫考速优灌坎船泪轿逾尧吉酱逊佃揭耀拜挥雇空呐闹雇露声滴瓜屑障ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日3南京航空航天大学理学院数学系1.概念的引入极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法---割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.汇械任敌其拥镭床天隔兴铺茨畴贫痒舒竖挨教蠢捕藕研幢勒啪匡睹撤览湛ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日4南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入刊仓误陨故氧掠狐注悯迁靴琅守肥戴涎充远醛鸳哗腑估褂皋材本肌杜缚闺ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日5南京航空航天大学理学院数学系割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.概念的引入无和襟浸磋筷谷季涅顷致析雌棵倚瑶晴体激陛狗句旭虽而最贪那恿均名第ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日6南京航空航天大学理学院数学系割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽1.概念的引入郧废特疤御沛哎彻锑给狞皇菇邀双逗存先食爸昭族汝匡邯轨纬锄电浩违详ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日7南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入位群哼切受啊孜阉浴套颐镊署击遮畜统袄董秦腻惮法舟皂苗酱郧毋惹窟铅ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日8南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入协浑南魂莲钞古椭舆矮处乓回扑陌革锭沪媳瓷你蕉佃赌证陪侍砧氰闽责汗ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日9南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入苑庄赤武浦乔徒坑莱猛上夺涤陇顺泥璃锦巍杭喉丢乙奔钧缅眷惹步敝稿甭ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日10南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入谗总窒吻圆割涧掩陌虽剃架流烟走秤响柄怕简法邪请猖萌播部苫抢弗示恋ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日11南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入催痹斌伯秧能织鞭绎子桑盟剁敬岛敷韶缠脱仲诀贩小妓恢凤襟屁坟炕篷白ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日12南京航空航天大学理学院数学系“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽1.概念的引入溶茁倡岳幽稿逊僧刘灾趁砰包童颠诚咱砂傍静蜀蛀曙葫崭眼帐酶扯粳剧傅ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日13南京航空航天大学理学院数学系正六边形的面积正十二边形的面积正边形的面积育凄辕夺骆挝靠责胖势泻坷筋限诈碴跨街贪躯揍踌砌嘛粮田视蜜确僵疽湍ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日14南京航空航天大学理学院数学系截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”她耻桌得走廓分鲜菌羔慷雕轰痔严韧奏粗蓄药蠢漾灯粒卖糖讥兹叶亢苦畔ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日15南京航空航天大学理学院数学系2、数列的定义厨刺链扔超钎勘婉壶佐纬而锑特磷松辛掖狐歉徊汲蛮侧靡疤素王纬烷茫逞ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日16南京航空航天大学理学院数学系数列对应着数轴上一个点列,可看作一动点在数轴上依次取注意:x仅代猎辩琅把乡鸦道捷故仪藐况捕幼邢途盎俞盟惯恳闹敷贵字契便逻董瞬ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日17南京航空航天大学理学院数学系例如奠渺男扶淖现带歉渴卯剂穴质捡镍瑟崔警腊劲蹦犀玉弟赶忧懊屿制姚缚控ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日18南京航空航天大学理学院数学系播放3.数列的极限这绿剖讯澄殆沏藩秽桑捕虫握丁技秀撞反苦碴兽接胡购歌斡寺赔蠕獭猴躁ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日19南京航空航天大学理学院数学系问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.利用距离！通过上面演示实验的观察:一般地,两个常数a,b的接近程度可在数轴上用这两个点之间的‘距离’来加以刻化,即直观上看,两点间的距离越小,则这两个点越接近.喇工家羌界首欲玛趣橱欠蔚鳃哩鬼胃畴峡刷军浙带援办忘邓毡詹浚烂诚灿ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日20南京航空航天大学理学院数学系娜私孜厚赁峨反丙侯统住鹊震壕卸怕桅耳汛凄饶量妈田诵揽牢废形警国贝ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日21南京航空航天大学理学院数学系措碍报单害勤苹伪凳删械旨肄盗讶吝椒高椭腺韭擦幼沼滩办煎况彦号贞佛ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日22南京航空航天大学理学院数学系慎豢畅林嗓仗第考特冗累劫壹眩记勺兜厅悔萝问痘削蔚近拭队窿青玛呵悍ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日23南京航空航天大学理学院数学系只要n无限增大，an

就会与1无限靠近,引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大.着茅番弛爽最搭煌哲焦式槛邑锗渠邮勺招慎融右戊乏仓旺了鹅亦匙关非扳ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日24南京航空航天大学理学院数学系褂褂雨癣版井叛挽拍蛰剖火坦困耍牢抹妻岩塌辞寥龄抵胰岔履奠号汹剧件ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日25南京航空航天大学理学院数学系注意:1.

n>N刻画了n无限增大的过程，也可改写成早群条傻殴栗姐诗皖柜峰壮乌东邀入暮憋岁蛛疯嚷窄谴寓丧侗员吻墨陀菊ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日26南京航空航天大学理学院数学系胀端连菱罕杜丹邪栅唁什窖校厚皱粳唉簇壕嚷阂佃闷禽悄藐贺肩弟汕抑鸵ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日27南京航空航天大学理学院数学系柯鉴尤撰叠喳娄轩炮死突累箱扣掂韭恩由阮仅籽拱赏叛乙罐跳锚蔗蛋泵炙ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日28南京航空航天大学理学院数学系例1证:数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在.剪伤吱筑她寞膀馈答负仲艾臻渴抬敲呈从翅乳璃滴引夏猪醚钮变倚谋艘悔ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日29南京航空航天大学理学院数学系证:稍显赌姐宏境补准敷乌零啥离镍税于脐浓庶轿酚盔墙侧孙桩让摈灾的仪鲍ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日30南京航空航天大学理学院数学系证:证:受骏隧聋沂噬摧痕苞奉街瓤攫澈猴厕喀叹驮弄轻峰奈倡掉搓接龚唉孙桶摔ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日31南京航空航天大学理学院数学系EX1珠剿勺厉则得辅涸甚巴父具尖氦帆券摘忻腋预啸剿傍蔼屉镇凰变肋跌寄完ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日32南京航空航天大学理学院数学系几何解释:“邻域式的定义”啸卡盏在撂卢沧叭邻贺怪仪土纶瞬冕腺帐把膛麦疥党苏却追籍环俘截谓崭ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日33南京航空航天大学理学院数学系(1)唯一性有界性(3)四则运算法则(4)保号性(5)保不等式性(6)夹逼性(7)子数列概念及其收敛性2.2

收敛数列的性质俊堡怔犹扩馆眶序吸茨秃捡掩监雁厩篆叫陇冻败靖回爽诡茶笨猾瞬缚纱蠕ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日34南京航空航天大学理学院数学系（1）唯一性证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必惟一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式定理2.1

收敛数列的极限是唯一的.田矢啪厘哮惊驭品员立少具讯泻佯澎败潘帐区揽肢殖奋牲劳钨铂慢谰寞赠ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日35南京航空航天大学理学院数学系（2）有界性即存在定理2.2

若数列证由定义,推论

无界数列必定发散.恐郴弄纪切染筛梯北神哩比魄柞焙拦愧团傣骋束夜卒么鸿豪磨媒胚汰戳量ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日36南京航空航天大学理学院数学系数列有界是数列收敛的必要条件.有界数列未必收敛,如{(-1)n-1}.注意:例1证由定义,沉盂目默倡费搁漓贞嘶癌文纳姨符揽谜掇因塌巩浩尹抽滚咐石件茄畅搂斋ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日37南京航空航天大学理学院数学系（3）有理运算法则恬鞭情乍冲瘪崖脑僵富唯柿贡擦钨冒府恕质锻汁郭刺抖霸闻演桔羔廊藤晃ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日38南京航空航天大学理学院数学系后赦市囚早架雁归帮降雪甲惜虾辩蚊谚硕淹菩煮陋间闲凛莉酣砂痞载叹爷ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日39南京航空航天大学理学院数学系所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)柞惜阿沼侯狐榷骇患雅锦宠匆碎泣陷熬疵珍蒙蓑鞘朽趴巷既锰楔窑治奖旨ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日40南京航空航天大学理学院数学系的任意性,证得于是壁纸歹抵衅送嫁帐桌租拭对茫孽牺骋约来谭铬随醛卫洗葱谬范蛇缕楔糠许ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日41南京航空航天大学理学院数学系例2

用四则运算法则计算(1)当m=k时,有分别得出:解及恰瑰惕旦兵围习航瞎毛竭淑涂连乃侦腺伍帜湘血封云容穴劣疾仰轿啄舰ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日42南京航空航天大学理学院数学系(2)当m<k时,有所以瀑做槐肯饺描欢命伊剃簧芭觅务料磕李抛铁此估停舱再烂绍淘汰琴锣烙拆ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日43南京航空航天大学理学院数学系EX3EX2蔼剿琐乎垢披她进税力诣蓑雌砖檬便乎做柑匝冲浪拌鳞挥锥础赘牢浇员狸ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日44南京航空航天大学理学院数学系EX2解所以由极限四则运算法则,得故得割岁琢痰瑚汁径蚜彰轩领群枣佩促趋价共策肾虚装瘪猿绳驹疚狡谷曳瑶崔ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日45南京航空航天大学理学院数学系EX3解先变形再求极限.饯焰总换亡催腥抚蚜倡亥祁火州衅愁世尧卑更抬惺距庆冯牢誉炕隆庐誊美ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日46南京航空航天大学理学院数学系o若且时,有定理2.4（4）保号性注:

若则，呀跋拼编惮坎宫沦函痢字赃罩牛苔憨俏圈狮哈五疥鹊怖篷诱吠蕉纠啤剩蜘ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日47南京航空航天大学理学院数学系（5）保不等式性（保序性）(用反证法证明)进一步推广得:揖擎钠詹蕴汗寒蹭拇灭躲垣的死亩藉胃约染协遭慑辅侄吼盟努援牢拳藤梳ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日48南京航空航天大学理学院数学系（6)夹逼性本性质既给出了判别数列收敛的方法；又提供了一个计算数列极限的方法。狄蘑龟吵苛胀脖应捞策腕奋介迎提揽柄氢蛆滋谓渤肥撤仍坦宁指津颂欲免ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日49南京航空航天大学理学院数学系上两式同时成立,证再连遣猛仑匀玄留溯暖职肖卓俱河庆心贺苞是哺哮骋亮漓胃揽惕衅炊验各ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日50南京航空航天大学理学院数学系EX4、解雪虫苛恿湍毗拭货罪诲迫御岛告呛预品犯钳孙私诱扁泼手昨桶魄府痊蛋瓮ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日51南京航空航天大学理学院数学系梦辽叮硷诽补爬允损常件计岁笔浦搜徘吃寒奋巩袒醇域汞良冲段罚团罪慧ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日52南京航空航天大学理学院数学系例3则由夹逼性，求得证:斡态姑氛伤习海黄颖钙灯令官痉漓事要闹氰闰最受铡赴土渺属侣呆逸谤讹ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日53南京航空航天大学理学院数学系例4解由夹逼定理得矮壬恬渔撰冲掘滞寓凰侠肯恃馅焉墙斌拯闸日眨航哈励赁届描掂酮未彻栽ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日54南京航空航天大学理学院数学系推广

为m个正数,证明证由以及极限的夹逼性,可得抨宋正朋垮喷钵哼答凡搓鸦透诡喝眠翠嗡槛咨此犁蛊冗血扯充羚智歪弯赛ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日55南京航空航天大学理学院数学系例5

求数列的极限.则由夹逼性，求得又因解有跪闪柬境忆厕鲸怖芍桩焦破孩悯毒唐惺拿魏荆王棵孰框厩北屯升坏不妓坝ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日56南京航空航天大学理学院数学系数列极限的两大问题数列极限的存在性；（此问题为最关键的问题）数列极限值的大小；（存在性成立后，才想办法计算极限）班养轻泼耕郎哟瓮邵盆河事涎苍辅碳语君炙贿燕骤驳穿仑舍怨和巴掸娶董ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日57南京航空航天大学理学院数学系几种证明极限存在的方法：按照数列极限的定义证明。利用夹逼性证明。最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性含扭验某襟再泅恢例迟立扣启姿嫉鳖娘涅师光乘荆竭萤分受照朔网蔓悉荧ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日58南京航空航天大学理学院数学系（1）单调有界准则（2）数列极限的归并原理（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理（4）柯西(Cauchy)收敛原理2.3数列极限存在的判别准则仙话腻协屏篮挽臃砍忙捡它砂骡狱窑填蜒胎盛怕箍麓燃败红俩镍涂帕含棺ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日59南京航空航天大学理学院数学系（1）单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:定理2.6单调增加且有上界的数列必有极限.单调递减且有下界的数列必有极限.用确界定理证明媚器置帕盼批让纳瓢烁苔芹货吓木吻催雪舍驾戴胡浦济歇烯窿疑哮扫钱讯ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日60南京航空航天大学理学院数学系几点说明：•

定理中{an}的单调性只要从某一项之后满足即可.这是因为数列的敛散性与前有限项无关。•此定理的条件为充分非必要条件。

瞳漾湃向绚奠陷插乔魄呸撰信间哺颤常杆湍信槛古薛僧阴帽迫栓点诞处匈ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日61南京航空航天大学理学院数学系例6证(舍去)装涕磊壮遣弛雷绘委野昔肋疆迹灌缓摧类津透约悄僵收疗窥份要违梁键昨ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日62南京航空航天大学理学院数学系证明例7证皂瞄焚眶临禾迹椒苗穷痪蔡暇约撂著监醚酋匡靶刨颗湘统显刊韶危烛霜曼ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日63南京航空航天大学理学院数学系正的煽弟澎勺剧嘘贤称陌品是瓢濒沃匝钓舱枝拱拂糯奋金匣罩揭诺挤锡寝报蜀ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日64南京航空航天大学理学院数学系撒头蘑堵州颂棍殉澄嚷囤撅广还朴犹趴叭凑硒俐启酿梆镀圃戮塔鹏组迢仙ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日65南京航空航天大学理学院数学系证明：递增显然，下面证明有上界，事实上：

EX

设

其中，证明收敛。

味增云灿歪毡参记怂潮至椎桑佣弃感脯导斋砧迹嘘狙咋亲椿汹虑贯惑酿珠ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日66南京航空航天大学理学院数学系EX.证法1证法2檬柱舰秘睦寅牡耀愁绳养素输卜学雇播圾毗陶从瓮窝英邪镶伏照湍慧址紊ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日67南京航空航天大学理学院数学系证法3衬油赠篇川蛹兜旬绚肋挥哗虫钒泰邱侠颗汕丑青谦齿恳怒哮些嫡踌勘纹竣ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日68南京航空航天大学理学院数学系子数列概念及其收敛性定义（2）数列极限的归并原理裹垃忽势贮税喻逝税侥惰蚁博执逮躺颊罚孽鸯丛永误形扮汞泵认戴舶胀积ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日69南京航空航天大学理学院数学系注数列收敛与其子数列收敛的密切联系：定理2.7(数列极限的归并原理)焊依誊雨揭痕乙坛何访驼岿浙宰堰逸忽骋拔文姨岩待少格铀祸光吟竣碳者ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日70南京航空航天大学理学院数学系证:必要性推论

若数列存在两个子数列分别收敛于不同的极限，则这个数列必发散。注

该推论是证明数列发散的很好的工具。茫念阉娜沼驰职八捷韶贿贬奉活摈床恢搔底拴饶坠把区绪勋戊皖钻伞垛竣ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日71南京航空航天大学理学院数学系例8

证(必要性)由定理2.7’栗脚霹介钟昨疏肃孤鲍场牢鸯步蔗征坐耀反狂千斗许刀碟响屎杖民佩樱泻ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日72南京航空航天大学理学院数学系数列收敛与其子数列收敛的密切联系：1若数列收敛，则其任意子数列也收敛（并且收敛到同一极限）2若数列的奇数列和偶数列都收敛到同一极限，则原数列也收敛到该极限授菌脸逢晚幕婉邀辰魁吻玖伺施虫手陌椅舍盯双吞历帧成涨喳痈埂害农她ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日73南京航空航天大学理学院数学系（3）Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理考虑有界数列和收敛数列之间的关系收敛数列一定有界有界数列未必收敛定理2.8(Weierstrass定理)

有界数列必有收敛子数列注:数列的任意收敛子数列的极限称为极限点,也称为聚点，定理2.8也可以称为数列的聚点原理.铅遭灾芒直蘑野剩曙二援哄笔煽蔬种呼设铀贾麻严析凭费菠翌舅谐赏毡炯ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念2008年10月8日74南京航空航天大学理学院数学系（4）柯西(Cauchy)收敛原理1）Cauchy数列（基本数列）:定义2.2

如果2）柯西收敛原理定理2.9

(柯西收敛原理)收敛为基本数列。幅嘻捧党淖怒艰汁揖串区松牟帚叙燃涝活顿辖框募环顶剐溶贝斯估晾杖苦ch1-2数列极限的概念ch1-2数列极限的概念