拉格朗日插值

拉格朗日插值主要知识点插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次Lagrange插值公式）；插值余项；插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。插值问题描述设已知某个函数关系在某些离散点上的函数值：插值问题：根据这些已知数据来构造函数的一种简单的近似表达式,以便于计算点的函数值，或计算函数的一阶、二阶导数值。3多项式插值定义

在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数个互不相同的点处的函数值，为求的近似式，自然应当选次多项式使

满足条件插值的几何意义插值多项式的几何意义插值唯一性定理定理：(唯一性)满足的n

阶插值多项式是唯一存在的。存在唯一性定理证明设所要构造的插值多项式为：由插值条件得到如下线性代数方程组：存在唯一性定理证明(续)此方程组的系数行列式为范得蒙行列式！当

时，

D

0，因此，Pn(x)由a0,a1,…,an唯一确定。插值方法一、解方程组法：类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数为，将个节点的函数值代入多项式里，便得到个等式，得到一个关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到所要求的插值多项式。二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机求解的方法，下面将具体介绍。拉格朗日插值公式拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是，把pn(x)的构造问题转化为n+1个插值基函数li(x)(i=0,1,…,n)的构造。线性插值函数x0x1(x0，y0)(x1，y1)P1(x)f(x)可见是过和两点的直线。抛物插值函数x0x1x2p2(x)f(x)f(x)因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。N次插值函数要求：无重合节点，即设连续函数

在[a,b]上对给定n+1个不同结点：分别取函数值其中试构造一个次数不超过n的插值多项式使之满足条件

i=0,1,2,…,n一次Lagrange插值多项式(1)

已知函数在点上的值为，要求多项式，使，。其几何意义，就是通过两点的一条直线，如图所示。一次Lagrange插值多项式(2)一次插值多项式

一次Lagrange插值多项式(3)由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为

它也可变形为

显然有：一次Lagrange插值多项式(4)记可以看出的线性组合得到，其系数分别为，称为节点,的线性插值基函数一次Lagrange插值多项式(5)线性插值基函数满足下述条件1001并且他们都是一次函数。注意他们的特点对下面的推广很重要一次Lagrange插值多项式(6)我们称

为点

的一次插值基函数，

为点

的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数

是这两个插值基函数的线性组合，其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日（Lagrange）插值。二次Lagrange插值多项式1

线性插值只利用两对值及求得的近似值，误差较大。

p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。二次Lagrange插值多项式2以过节点的二次函数为插值函数。用基函数的方法获得其中设被插函数在插值节点处的函数值为N次插值函数1我们看到，两个插值点可求出一次插值多项式，而三个插值点可求出二次插值多项式。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式，如下所示：N次插值多项式问题2已知n+1个节点处的函数值求一个n次插值函数满足N次插值多项式3构造各个插值节点上的基函数满足如下条件100001000001N次插值多项式4求n次多项式，

k=0,1,…,n则

i=0,1,2,…,n即

满足插值条件根据

的表达式，以外所有的结点都是

的根，N次插值多项式5又由

，得：

因此令N次插值多项式6从而得n阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：N次插值多项式7在[a,b]内存在,考察截断误差设节点，且f

满足条件,

存在使得。且推广：若使得使得罗尔定理:若在［］连续，在充分光滑，N次插值多项式8注：

通常不能确定x

,而是估计,x(a,b)

将作为误差估计上限。

当

f(x)为任一个次数n

的多项式时，,可知，即插值多项式对于次数n的多项式是精确的。例题分析1例：已知特殊角处的正弦函数值分