控制系统仿真技术-连续系统模型描述

控制系统仿真技术-连续系统模型描述系统的数学模型系统数学模型的重要性系统仿真分析必须已知数学模型系统设计必须已知数学模型本课程数学模型是基础系统数学模型的获取建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型系统数学模型的分类系统模型非线性线性连续离散混合单变量多变量定常时变1.1连续系统模型描述

连续系统----系统状态变化在时间上是连续的，可以用方程式（常微分方程、偏微分方程、差分方程）描述系统模型。

一个系统可以定义成如下集合结构：T：时间基，描述系统变化的时间坐标T为整数则称为离散时间系统，T为实数则称为连续时间系统X：输入集，代表外部环境对系统的作用。X被定义为，其中，X即代表n个实值的输入变量。Ω：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X,T)的子集。Q：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。δ：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。它是映射：λ：输出函数，它是映射：输出函数给出了一个输出段集。Y：输出段集，系统通过它作用于环境。连续系统数学模型典型形式

常微分方程

传递函数

状态空间描述

权函数（脉冲过渡函数）1.1.1常微分方程--输入/输出模型

……..（1）其中n为系统的阶次，为系统的结构参数，为输入函数的结构参数，它们均为实常数

1.1.2传递函数----输入/输出模型

若系统的初始条件为零，对（1）式两边取拉氏变换后稍加整理：

……..(2)

(2)式称为系统的传递函数。

1.1.3状态空间描述----状态结构水平

系统内部模型――状态空间模型。状态空间描述的一般形式为：

状态方程

:(3)

输出方程

:(4)1.1.4离散时间模型

(1)差分方程

转成递推方程(2)脉冲传递函数系统初始条件为0，即1.1.4离散时间模型

(3)脉冲响应序列(4)离散状态空间模型系统受到一个理想脉冲序列的作用，其响应为系统的权序列对下面的控制系统描述，需要放在计算机上求解常微分方程

传递函数状态空间描述

方法一：ODE23,ODE45可解一阶微分方程组，状态空间描述是一阶微分方程组常微分方程，传递函数状态空间表达式方法二：离散时间模型易程序化，在计算机上求解

连续时间模型离散时间模型连续时间模型常微分方程

传递函数状态空间描述

离散时间模型差分方程

脉冲传递函数离散状态空间描述

1.2连续模型结构变换

连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上实现出来，首先要把系统的各种描述形式转换成内部模型--状态空间模型，我们将其称为模型结构变换。

常微分方程

传递函数状态空间描述

1.2模型结构变换

状态空间描述

1.2.1输入/输出水平模型到内部模型的变换

假设一连续系统，它的数学模型如(5)式所示

（a0=1）(5)

今引进n个状态变量：则有输入/输出水平模型到内部模型的变换（续）将上述n个一阶微分方程写成矩阵形式可得（6）输入/输出水平模型到内部模型的变换（续）取a0=11能控标准I形能控标准I形举例，3阶系统+ye+++++x2x1x3c1-a1c0c2-a2c0b3-a3c0-a3-a2-a1c0取a0=12能观标准II形能观标准II形举例x2x1x3u+++++y+123-a3-a2-a1+0+输入/输出水平模型到内部模型的变换（续）

外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最小实现的充要条件是(A、B、C)为完全能控且完全能观测。

1.2.2系统状态初始值变换

如果系统是非零初始条件，那么从外部模型变换到内部内部模型还必须考虑如何将给定的初始条件转变为相应的状态变量的初始值。若系统是由如下一般形式的n阶微分方程来描述：系统初始条件为：

伴随方程法

一阶微分方程组的状态变量记为，如果它们满足如下关系：

（8）（9）（10）（11）该状态方程与原方程等价。

伴随方程法（续）

伴随方程法显式地表示了状态变量与原输入/输出变量及其高阶导数之间的关系，因而易于进行初始值的转换。这样得到状态方程及输出方程：（15）其中

伴随方程法（续）设a0=1,初值转换方程：伴随方程有多种形式，因而得到的状态方程也不唯一。那么，实现这种初值转换的条件是什么呢？(肖天元，P29）

1.2.3典型环节的传递函数：结构图

控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。

1.比例环节

环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为

式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。

2.惯性环节(非周期环节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程

其传递函数为

式中T——惯性环节的时间常数

K——惯性环节的增益或放大系数

2.积分环节

输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程

其传递函数

式中Ti为积分时间常数。

4.微分环节

理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程

其传递函数

式中Td称微分时间常数

它的单位阶跃响应曲线

5.二阶振荡环节(二阶惯性环节)二阶环节的动态方程为其传递函数式中为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比。

6.延迟环节(时滞环节)

延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间τ后才重现输入信号，其动态方程为其传递函数是一个超越函数

式中τ称延迟时间

1.2.4分解结构水平转换--面向结构图的模型变换

对于任何一个典型环节，可以抽象成：

进一步，写成一阶微分方程的形式N个典型环节时，例如：

1.2.4分解结构水平转换--面向结构图的模型变换

n个典型环节时，写成矩阵形式

1.2.4分解结构水平转换--面向结构图的模型变换

n个典型环节时，写成矩阵形式

上面各环节中，将各个环节联起来后，一个环节的输出和其他环节的输入发生了联系，怎么来描述这些联系呢？用连接矩阵来描述。控制系统的连接矩阵123+45-控制系统的连接矩阵=+11111-11123+45-面向结构图系统方程描述

面向结构图系统方程描述（续） (21)

W称为系统的连接矩阵，它描述了系统内部各环节连接情况，每个元素

表示第j个环节的输出到第i个环节的输入之间的联接系数．称为外部输入的连接矩阵，它描述了外部输入对系统的作用情况。对单输入系统，是一个列矢量，表示外部输入信号Y0作用在第j个环节上的作用系数。在上图中，Y0只作用在第一个环节上，故。若为多输入系统则也是一个矩阵，它的列数等于输入量的个数。

系统方程转换

将(21)式代入(20)式，则可得：（22）（23）其中：Q=B－DW，P=CW－A，V1=CW0

，V2=DW0

如果Q阵的逆存在，那么对(23)式两边左乘Q－1，则得：（24）这是一个标准的一阶常微分方程组。

系统方程转换（续）说明：（1）矩阵方程的右端有两项与外加作用信号有关，一项是，另一项。若外加作用函数是单位阶跃阵，此时

，为了便于计算，就要求V2是零向量。如果外加作用信号是阶跃信号，那么必须限制外加作用信号所用的那个环节Di=0。（2）只有当Q阵能求逆时，才能获得(24)式。当系统中各环节不存在纯微分环节和/或纯比例环节时就能保证Q阵可以求逆。（3）关于Q的逆阵不存在时的结构变换.

1.3在MATLAB中数学模型的表示

线性系统理论中常用的数学模型有:

微分方程、传递函数、状态空间表达式等这些模型之间又有着某些内在的等效关系。MATLAB主要使用传递函数和状态空间表达式来描述线性时不变系统(LinearTimeInvariant简记为LTI)。

1.3.1传递函数

单输入单输出线性连续系统的传递函数为

其中m≤n。G(s)的分子多项式的根称为系统的零点,分母多项式的根称为系统的极点。令分母多项式等于零,得系统的特征方程:D(s)=a0sn+a1sn－1+……+an－1s+an=0系统的传递函数在MATLAB下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为

sys=tf(num,den)其中num（numerator)为分子多项式，

den（denominator)为分母多项式

num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；传递函数在MATLAB中的表示对于其它复杂的表达式,如可由下列语句来输入

>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)

Transferfunction:系统的传递函数中可能存在延迟环节，如

如上:传递函数有延迟环节时>>num=conv(［1,1］,conv(［1,2,6］,［1,2,6］));>>den=conv(［1,0,0］,conv(［1,3］,［1,2,3,4］));>>G=tf(num,den)

>>G.ioDelay=3;或者：>>set(G,’ioDelay’,3);传递函数矩阵：MIMO系统1.3.2传递函数的特征根及零极点图

传递函数G(s)输入之后,分别对分子和分母多项式作因式分解,则可求出系统的零极点,MATLAB提供了多项式求根函数roots(),其调用格式为

roots(p)其中p为多项式。

例如,多项式p(s)=s3+3s2+4

>>p=［1,3,0,4］;%p(s)=s3+3s2+4>>r=roots(p)%p(s)=0的根

r=-3.3533

0.1777+1.0773i0.1777-1.0773i反过来,若已知特征多项式的特征根,可调用MATLAB中的poly()函数,来求得多项式降幂排列时各项的系数,如上例

>>poly(r)p=1.00003.00000.00004.0000

而polyval函数用来求取给定变量值时多项式的值,其调用格式为

polyval(p,a)其中p为多项式;a为给定变量值

例如,求n(s)=(3s2+2s+1)(s+4)在s=－5时值：>>n=conv(［3,2,1］,［1,4］);>>value=polyval(n,-5)

value=－66［p,z］=pzmap(num,den)其中,p─传递函数G(s)=numden的极点

z─传递函数G(s)=numden的零点例如,传递函数

传递函数在复平面上的零极点图采用pzmap()函数来完成,零极点图上,零点用“。”表示,极点用“×”表示。其调用格式为

用MATLAB求出G(s)的零极点,H(s)的多项式形式,及G(s)H(s)的零极点图

>>numg=［6,0,1］;deng=［1,3,3,1］;>>z=roots(numg)

z=0+0.4082i

0－0.4082i

%G(s)的零点>>p=roots(deng)p=－1.0000+0.0000i

－1.0000+0.0000i%G(s)的极点－1.0000+0.0000i

>>n1=［1,1］;n2=［1,2］;d1=［1,2*i］;d2=［1,-2*i］;d3=［1,3］;>>numh=conv(n1,n2);denh=conv(d1,conv(d2,d3));>>printsys(numh,denh)numh/denh=%H(s)表达式>>num=conv(numg,numh),den=conv(denh,deng)>>pzmap(num,den)%零极点图>>title(‘pole-zeroMap’)G(s)H(s)的零极点图

零极点图如图所示：1.3.3控制系统的方框图模型

若已知控制系统的方框图,使用MATLAB函数可实现方框图转换。

1.串联

如图所示G1(s)和G2(s)相串联,在MATLAB中可用串联函数series()来求G1(s)G2(s),其调用格式为

［num,den］=series(num1,den1,num2,den2)其中：2.并联

如图所示G1(s)和G2(s)相并联,可由MATLAB的并联函数parallel()来实现,其调用格式为

［num,den］=parallel(num1,den1,num2,den2)其中：3.反馈

反馈连接如图所示。使用MATLAB中的feedback()函数来实现反馈连接,其调用格式为

［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中：sign为反馈极性,若为正反馈其为1,若为负反馈其为－1或缺省。例如

G(s)=,H(s)=,负反馈连接。

>>numg=［1,1］;deng=［1,2］;>>numh=［1］;denh=［1,0］;>>［num,den］=feedback(numg,deng,numh,denh,－1);>>printsys(num,den)num/den=

MATLAB中的函数series,parallel和feedback可用来简化多回路方框图。另外,对于单位反馈系统,MATLAB可调用cloop()函数求闭环传递函数,其调用格式为

［num,den］=cloop(num1,den1,sign)

零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。在MATLAB中零极点增益模型用[Z,P,K]矢量组表示。即：Z=[z1,z2,…,zm]P=[p1,p2,...,pn]K=[k]G=zpk(Z,P,K)1.3.4控制系统的零极点模型

1.3.4控制系统的零极点模型与时间常数模型转换MATLAB控制系统工具箱提供了零极点模型与时间常数模型之间的转换函数,其调用格式分别为

［z,p,k］=tf2zp(num,den)［num,den］=zp2tf(z,p,k)其中第一个函数可将传递函数模型转换成零极点表示形式,而第二个函数可将零极点表示方式转换成传递函数模型。

例如

G(s)=用MATLAB语句表示：>>num=［12241220］;den=［24622］;>>［z,p,k］=tf2zp(num,den)z=－1.9294

－0.0353＋0.9287i

－0.0353－0.9287i

p=－0.9567＋1.2272i－0.9567－1.2272i－0.0433＋0.6412i－0.0433－0.6412i

k=6即变换后的零极点模型为G(s)=

可以验证MATLAB的转换函数,调用zp2tf()函数将得到原传递函数模型。

>>［num,den］=zp2tf(z,p,k)num=06.000012.00006.000010.0000den=1.00002.00003.00001.00001.0000即

部分分式形式

在MATLAB中部分分式模型用[R,P,H]矢量组表示。即：R=[r1,r2,…,rn]P=[p1,p2,...,pn]H=[h0,h1,…,h

][num,den]=residue(R,P,H)[R,P,H]=residue(num,den)1.3.5状态空间表达式

状态空间表达式是描述系统特性的又一种数学模型,它由状态方程和输出方程构成,即

x(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du