人教b版数学必修第一册课件211等式的性质与方程的解集

2.1.1等式的性质与方程的解集第二章2021内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.了解等式的性质并会应用.(数学抽象)2.会用十字相乘法进行因式分解.(数学运算)3.会求一元一次方程及一元二次方程的解集.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】对于方程5x-2=2x-2,甲同学的解题步骤是首先等式两边同时加上2,得5x-2+2=2x-2+2,即5x=2x,然后等式两边同时除以x,得5=2.甲同学的解题过程正确吗?【知识点拨】

知识点一、等式的性质与恒等式1.等式的性质

文字语言符号语言性质1等式的两边同时加上同一个数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意c,都有a+c=b+c.性质2等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式,等式仍成立.如果a=b,则对任意不为零的c,都有ac=bc.要点笔记

等式性质的延伸:①对称性:等式左右两边互换,所得结果仍是等式,即如果a=b,那么b=a;②传递性:如果a=b,b=c,那么a=c(也叫等量代换).2.恒等式一般地,含有字母的等式,如果其中的字母取任意实数时等式都成立,则称其为恒等式,也称等式两边恒等.恒等式是进行代数变形的依据之一.(1)平方差公式、两数和(差)的平方公式.a2-b2=(a+b)(a-b)(平方差公式)(a+b)2=a2+2ab+b2(两数和的平方公式)(a-b)2=a2-2ab+b2(两数差的平方公式)(2)“十字相乘法”对任意的x,a,b,都有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解.给定式子x2+Cx+D,如果能找到a和b,使得D=ab且C=a+b,则x2+Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆,已知C和D,寻找满足条件的a和b的过程,通常用右图表示,其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C,也正因为如此,这种因式分解的方法被称为“十字相乘法”.要点笔记

运用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解时需满足的条件:①分解因式的多项式是二次三项式;②二次项系数是1,常数项可以分解为两个数的积,且一次项系数是这两个数的和.微思考

(1)下列各式是否正确?③若x+a=y-a,则x=y;④若x=y,则ax=by.(2)什么是立方差与立方和公式?提示

(1)①正确;②③④错误.(2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).微练习分解因式:x2+2xy+y2-4=

.

答案

(x+y-2)(x+y+2)解析

x2+2xy+y2-4=(x+y)2-4=(x+y-2)(x+y+2).知识点二、方程的解集(1)方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值.(2)一般地,把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.微练习求方程x2-3x+2=0的解集.解

∵x2-3x+2=0,∴(x-1)(x-2)=0,∴x=1或x=2,∴方程的解集为{1,2}.课堂篇探究学习探究一公式法分解因式例1分解因式:(1)x2-25;(2)a2-6a+9;(3)4m(x-y)-8n(y-x);(4)(a2+4)2-16a2.分析掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.解

(1)x2-25=(x+5)(x-5);(2)a2-6a+9=(a-3)2;(3)4m(x-y)-8n(y-x)=4(x-y)(m+2n);(4)(a2+4)2-16a2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2.要点笔记

分解因式的常用方法(1)平方差公式法;(2)完全平方公式法;(3)提取公因式法;变式训练

1分解因式:(1)8a3b2-12ab3c;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解

(1)8a3b2-12ab3c=4ab2(2a2-3bc);(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×6(a+b)+36=(a+b-6)2.探究二十字相乘法分解因式例2把下列各式因式分解.(1)x2+3x+2;(2)6x2-7x-5;(3)5x2+6xy-8y2.解

(1)x2+3x+2=(x+1)(x+2).(2)6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5).(3)5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).要点笔记

十字相乘法分解因式易错点用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误:一是没有验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数;二是由十字相乘写出的因式漏写字母.变式训练

2(1)x2+10x+16分解因式为(

)A.(x+2)(x+8) B.(x-2)(x+8)C.(x+2)(x-8) D.(x-2)(x-8)(2)x2-13xy-30y2分解因式为(

)A.(x-3y)(x-10y) B.(x+15y)(x-2y)C.(x+10y)(x+3y) D.(x-15y)(x+2y)(3)6x2-29x+35分解因式为(

)A.(2x-7)(3x-5) B.(3x-7)(2x-5)C.(3x-7)(2x+5) D.(2x-7)(3x+5)答案

(1)A

(2)D

(3)B解析

(1)x2+10x+16=(x+2)(x+8).(2)x2-13xy-30y2=(x-15y)(x+2y).(3)6x2-29x+35=(3x-7)(2x-5).探究三求方程的解集例3求方程x(x-2)+x-2=0的解集.分析将方程左边整理化成两个一次因式乘积的形式,进而求解.解

把方程左边因式分解,得(x-2)(x+1)=0,从而,得x-2=0或x+1=0,所以x1=2,x2=-1.所以方程的解集为{-1,2}.反思感悟

因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程右边的各项移到方程左边,使方程右边为0;②将方程左边分解为两个一次因式的乘积的形式;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.延伸探究请用求根公式求解本例方程的解集.解

原方程可化为x2-x-2=0,∴x1=2,x2=-1,∴方程的解集为{-1,2}.

素养形成数形结合思想的应用典例

二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3).(1)求出m的值并画出此二次函数的图像.(2)求此二次函数的图像与x轴的交点及函数图像顶点的坐标.(3)x取什么值时,函数图像在x轴上方.解

(1)由二次函数y=-x2+(m-1)x+m的图像与y轴交于点(0,3),得m=3.∴二次函数为y=-x2+2x+3.图像如图所示.(2)由-x2+2x+3=0,得x1=-1,x2=3.∴二次函数图像与x轴的交点为(-1,0),(3,0).∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4.∴函数图像的顶点坐标为(1,4).(3)由图像可知:当-1<x<3时,函数图像在x轴上方.方法点睛

本题是二次函数图像和性质的简单应用,要注意把握二次函数图像的特征,尤其是顶点、对称轴和开口方向.

当堂检测1.下列由等式的性质进行的变形,错误的是(

)答案

D解析

如果a=3,那么

,正确,故选项A不符合题意;如果a=3,那么a2=9,正确,故选项B不符合题意;如果a=3,那么a2=3a,正确,故选项C不符合题意;如果a=0时,两边都除以a,无意义,故选项D符合题意.2.下列分解因式错误的是(

)A.a2-5a+6=(a-2)(a-3)B.1-4m2+4m=(1-2m)2C.-4x2+y2=-(2x+y)(2x-y)答案

B解析

A选项,根据十字相乘分解因式可知,A正确;B选项中1+4m2-4m=(1-2m)2,左右两边不相等,所以