培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案培优专题7菱形、矩形、正方形和梯形菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一.梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容.例1如果将长方形纸片ABCD,沿EF折叠，如图，延长C'E交AD于H,连结GH,那么EF与GH互相垂直平分吗？分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可.解:VFH'^GE,FG//EH,・•.四边形FGEH为平行四边形，由题意知：1/13培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案△GEF^AHFE.「.FG=FH,EG=EH.・•.四边形GEHF为菱形..•.EF、GH互相垂直平分.练习1.如图1,菱形人30口中，E、F分别是BC、CD上的点,⑶.如图2,四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O,四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为6,则菱形的面积为..如图3,ABCD是正方形,E为BF上一点，四边形AFEC恰是一个菱形，贝l」NEAB=.2/13

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案例2矩形一边长为5,另一边长小于4,将矩形折起来，使两对角顶点重合，如图，若折痕EF长为有，求另一边长.分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上.此问题转化为就矩形ABCD中，已知AD=5,过对角线AC的中点O作AC的垂线EF,分别交AD于F,BC于E,若EF=、6,求AB的长的问题.解：设AB=x,BE=y，连结AE'贝I」AE=CE=5-y.bec在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,即X2+y2=(5-y)2.彳导y=25-%2,AE=5-y=25+-2.TOC\o"1-5"\h\z10 10又在区14人0£中,AO=1AC=J25+%2,EO=1EF=旦.2 2 2 2代入AE2=AO2+OE2得，(25+%2)2=(&5+%2)2+(且)2.10 2 2即X4+25x2-150=0.解之得，X2=5,X2=-30(舍去)•..X=J5.练习23/13

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案.如图4,矩形纸片人30口中，AB=3cm,BC=4cm,现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，试确定重叠部分的4AEF的面积是■部分的4AEF的面积是■⑷⑸.如图5所示，把一张长方形的纸条ABCD沿对角线BD将ABCD折成△BDF,DF交AB于E,若已知AE=2cm,NBDC=30°,求纸条的长和宽各是.如图，折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG,使AD=2,求AG.4/13

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案例3如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM1EF,垂足为M,AM=AB,贝I」有EF=BE+DF,为什么?分析要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM即可，而连结AE、AF.只要能说明△ABE/aAME,aADF/4AMF即可.理由：连结AE、AF.由AB=AM,AB1BC,AM1EF,AE公用,/.△ABE^^AME..•.BE=ME.同理可得，△ADF/aAMF./.DF=MF./.EF=ME+MF=BE+DF.练习3.如图6,点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，其边长分别为3cm和5cm,贝IQCDE的面积为cm2.5/13

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案(6)培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案(6)⑺.你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形.如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1,且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为..如图，P为正方形ABCD内一点，PA=PB=10,并且P点到CD边的距离也等于10,求正方形ABCD的面积？例4如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,BD平分/ABC,/C=30°求ABC,/C=30°求AD：BC的值.6/13培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案分析添加辅助线，使等腰梯形ABCD的问题转化为平行四边形和等腰三角形的问题.解：过D作DF//AB交BC于F,过D作DE1BC于E,则四边形ABFD为平行四边形.设AD=a，则ljAD=BF=a.AjP・・・BD平分/ABC, .../可,••、BFEC.•.AD=AB=DF=DC=a.在RtaDEC中，/C=30°,•・・DE=a,EC=亘a.2 2XvEC=DF=&a,2「.BC=BF+EF+EC=a+亘a+亘a=(1+3)a.2 2 ".•.AD：BC=a：(1+\3)a=(£-1)：2练习4.用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于.7/13培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案.用一块面积为900cm2的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么梯形对角线至少需cm.3.如图，一块直角梯形的钢板,两底长分别是4cm、10cm且有一个内角为60°,问是否能将铁板任意翻转，使从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过？AD例5如图，在矩形ABCD中，已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点，PE1BD,PE1AC,E、F分别是垂足，求PE+PF的长.分析连结PO,贝I」PE、PF可分别看作是OD、OA边上的高，而OA=OD,故只需求出△AOP,aDOP的面积即可.解：连结OP.培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案.・.AC=BD=2OA=2OB=13.・•,OA=OD=6・5.而5矩形=12X5=60.「.S=1X60=15.△AOD4?，SAAOP+SADOP=15,即1XOAXPF+1XODXPE=15.2 2・..1X6.5X（PE+PF）=15.2.・.PE+PF=60.13练习5.如图8,等腰梯形ABCD中，上底AD=2,下底30=8,M是腰AB的中点，若MD^CD,则梯形的面积为⑻(9).如图9,已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点.AF、CE相交于G,并且4ABF9/13培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案的面积为14平方厘米，4BCE的面积为5平方厘米，那么四边形BEGF的面积是 ..如图，在^ABCD中，在AD、CD上各取一点E、F,^AF=CE,AF与CE相交于P,贝IJPB平分/APC.答案：练习11.18° 2.363.连结BD交AC于点O,作EM^AC于点M.10/13

培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案设正方形边长为a,贝IJAC=BD=AE=6aXvAC^BF,BO1AC,EM1AC,「.BO=EM=1BD=2aa.在山皿£乂中，AE=2a,EM=豆a.V 2.•./CAE=30°.贝Ij/EAB=15°.练习2.75cm2.16.纸条长为6cm，宽为2jwcm..作GM^BD,垂足为M.由题意可知NADG=GDM,则△ADG/aMDG..•.DM=DA=2.AC=GM又易知：GM=BM.而BM=BD-DM=2r-2=2(r-1),「.AG=BM=2(v2-1).练习31．6cm21．6cm2．2．36．11/13培优专题菱形矩形正方形和梯形含答案.过P作EF^AB于F交DC于E. ,「 ，设PF=x，贝ljEF=10+x，BF=1(10+X).由PB2=PF2+BF2. 1F"可得：102=X2+1(X+10)2.4故*=6.S =162=256.正方形ABCD练习46q或10.30户.过D作DEIBC于E,贝ljBE=4,acEC=6,由NC=60°,知CD=2EC=12, । :2DE=；3EC=60， /；；由于BC>8.7,DE>8.7,故这两个方向不能穿过圆洞.过B作BF^CD,有CF=1BC=5.2得BF=5v3=<75<%；,75初=8.7.故沿CD方向可穿过