【BSD版春季课程初二数学】第15讲 平行四边形的性质-教案

第第15讲讲平行四边形的性质

概述概述适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域北师版区域课时时长（分钟）120知识点1.平行四边形的性质2.平行四边形性质的综合运用教学目标1.掌握平行四边形的性质，并能简单应用；2.掌握平行四边形对角线互相平分的性质,学会应用平行四边形的性质；教学重点平行四边形性质的探索教学难点平行四边形性质的应用【教学建议】本节的教学重点是使学生能熟练掌握平行四边形的性质，了解性质探索的过程，学会应用平行四边形的性质解决问题。学生学习本节时可能会在以下几个方面感到困难：1.平行四边形的性质探索。2.平行四边形的性质综合应用。【知识导图】教学过程教学过程一、导入一、导入【教学建议】有关平行四边形的性质考题，难度不大，教师在授课过程中注重性质探索的过程。二、知识讲解二、知识讲解知识点知识点1平行四边形的性质1.第一环节：学习定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

性质：①平行四边形两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；

④平行四边形的对角线互相平分以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四这形的性质。温故知新。1．平行四边形都有哪些性质？2．回顾思考选择题（1）平行四边形ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（）A．60°B．80°C．100°D．120°（2）平行四边形ABCD的周长为40cm，三角形ABC的周长为25cm,则对角线AC长为（）A．5cmB．15cmC．6cmD．16cm（3）平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于O，则全等三角形的对数有参考答案：1．C．2．A．3．4对．活动目的：1．通过（1）~（3）的问题串，反馈学生对平行四边形的对边、对角性质的理解和简单应用，同时总结结论：平行四边形对角线互相平分。活动效果：能真实客观反馈学生对上节“平行四边形性质”的情况，并有针对性的在本节补救强化。第二环节探索发现，灵活运用活动内容：探索问题1在上节课的做一做中,我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，对角线还有怎样的特殊关系呢？A．（学生思考、交流）得出：平行四边形的对角线互相平分。B．请尝试证明这一结论已知：如图6-4，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD.证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CDAB//DC∴∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDO∴△AOB≌△COD∴OA=OC,OB=OD.你还有其他的证明方法吗，与同伴交流。活动目的：通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解。活动效果及注意：因为有上节课的基础，学生对于定理的证明已具备一定的基础，但是在证明完定理后应该给学生强调：定理的证明只是让学生进一步理解定理，而在定理的运用时则没必要这么麻烦，直接由平行四边形可得出其对角线互相平分。知识点2平行四边形性质的综合运用知识点2平行四边形性质的综合运用活动内容例1.如图6-5，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O的直线分别与AD、BC交于点E、F.求证:OE=OF.A．议论交流B．师生共析归纳解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=CBAD//BCOA=OC∴∠DAC=∠ACB又∵∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴OE=OF如图6-6,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ADB=900,OA=6,0B=3.求AD和AC的长度.解:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC=6OB=OD=3∴AC=12又∵∠ADB=900∴在Rt△ADO中，根据勾股定理得OA2=0D2+AD2∴AD=3√3活动目的：通过练一练的两个问题的训练，进一步巩固平行四边形的性质，并学会应用。观察分析，理性升华例2已知，如图，在平行四边形ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交DA，DC的延长线于M，N，交BA，BC于点P，点B，你能说明MQ=NP吗？A．学生独立观察分析B．交流探索C．师生共析小结解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，AB//CD即AM//CQ又∵AC//MN即AC//MQ∴由平行四边形定义得四边形MQCA是平行四边形∴MQ=AC同理NP=AC∴MQ=NP小结：利用平行四边形可以证明两线段相等活动目的：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自然延续和必要发展，本环节让学生就用的结论进行说理和推理，实验理性升华，培养语言表达能力。三、例题三、例题精析例题1例题1【题干】如图，在□ABCD

中，EF∥BC，GH∥AB，EF，GH相交于点O，那么图中共有平行四边形（）A.

6

个B.

7

个C.

8

个D.

9

个【答案】D 【解析】按照平行四边形的定义解题例题2例题2【题干】在下列性质中，平行四边形不一定具有的是（）A．对边相等B．对边平行C．对角互补D．内角和为360°【答案】C【解析】根据平行四边形的性质解题例题3例题3【题干】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，O（0，0），A（1，-2），B（3，1）则C点坐标为．【答案】（2，3）【解析】根据BC平行且等于OA可得C点坐标为（2，3）例题4例题4【题干】如图，ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4D．8【答案】B【解析】∵AE为∠DAB的平分线，

∴∠DAE=∠BAE，

∵DC∥AB，

∴∠BAE=∠DFA，

∴∠DAE=∠DFA，

∴AD=FD，

又F为DC的中点，

∴DF=CF，

∴AD=DF=DC=AB=2，

在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，

则AF=2AG=2，

∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，

在△ADF和△ECF中，∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，DF＝CF，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴AF=EF，

则AE=2AF=4．

故选B．例题5例题5【题干】如图，M是平行四边形ABCD的一边AD上的任意一点，若△CMB的面积为S，△CDM的面积为S1，△ABM的面积为S2，则下列大小关系正确的为（）A．S＞S1+S2B．S＜S1+S2C．S=S1+S2D．无法确定【答案】C．【解析】根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式即可求解四、课堂运用四、课堂运用基础基础1.某人准备设计平行四边形图案，拟以长为4cm，5cm，7cm） 的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画不同形状的平行四边形，他可以画出形状不同的平行四边形的个数为（）A.

1B.

2C.

3D.

4【答案】C.【解析】直接作图解题即可2.平行四边形ABCD中，BC,AD的长分别为（x+2）cm和（3-x）cm,则x的值为()A．2B．1C．D．【答案】C．【解析】BC和AD是对边，根据平行四边形对边相等列方程即可3.口ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D可以为（）A、1︰2︰3︰4B、1︰2︰2︰1C、2︰2︰1︰1D、2︰1︰2︰1【答案】D【解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为360°巩固巩固1.如图，已知▱ABCD的对角线BD=4cm，将▱ABCD绕其对称中心O旋转180∘，则点D） 所转过的路径长为（）A.

4πcmB.

3πcmC.

2πcmD.

πcm【答案】C.【解析】D点所经过的路径长是以BD为直径的半圆2.如图，在□ABCD中，AD=6，AB=4，DE平分∠ADC交BC于点E，则BE的长是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A．【解析】根据平行四边形的性质可得AD∥BC，则∠ADE=∠EDC，又因为DE平分∠ADC，所以，∠DEC=∠EDC，所以DC=EC=4，又因为AD=BC=6，所以BE=23.如图，EF过平行四边形ABCD的对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，已知AB=4，BC=5，OE=1．5，那么四边形EFCD的周长是．【答案】12【解析】由平行四边形的性质易证AE=FC（通过证明三角形AOE和三角形COF的全等来得），则四边形EFCD的周长=AD+DC+2OE=5+4+3=124.如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边BD延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC．（1）求证：△BAD≌△AEC；（2）若∠B=30°，∠ADC=45°，BD=10，求平行四边形ABDE的面积．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又∵四边形ABDE是平行四边形∴AE∥BD，AE=BD，∴∠ACB=∠CAE=∠B，在△DBA和△EAC中，∴△DBA≌△EAC（SAS）；（2）解：过A作AG⊥BC，垂足为G．设AG=x，在Rt△AGD中，∵∠ADC=45°，∴AG=DG=x，在Rt△AGB中，∵∠B=30°，∴BG=，又∵BD=10．∴BG-DG=BD，即，解得AG=x=，∴S平行四边形ABDE=BD•AG=10×（）=．拔高拔高1.如图,在平面直角坐标系中,直线L经过原点,且与y轴正半轴所夹的锐角为600,过点A（0,1）作y轴的垂线交直线L于点B,过点B作直线L的垂线交y轴于点A1,以A1B、BA为邻边作□ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线L于点B1,过点B1作直线L的垂线交y轴于点A2,以A2B1、B1A1为邻边做□A1B1A2C2,…；按此作法继续下去,则点Cn的坐标是_______．【答案】（-4n-1,4n）．【解析】：∵直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，∴直线l的解析式为y=x。

∵AB⊥y轴，点A（0，1），∴可设B点坐标为（x，1）。

将B（x，1）代入y=x，得1=x，解得x=。

∴B点坐标为（，1），AB=。

在Rt△A1AB中，∠AA1B=90°﹣60°=30°，∠A1AB=90°，

∴AA1=AB=3，OA1=OA+AA1=1+3=4。

∵ABA1C1中，A1C1=AB=，

∴C1点的坐标为（，4），即（，41）。

由x=4，解得x=4。∴B1点坐标为（4，4），A1B1=4。

在Rt△A2A1B1中，∠A1A2B1=30°，∠A2A1B1=90°，

∴A1A2=A1B1=12，OA2=OA1+A1A2=4+12=16。

∵A1B1A2C2中，A2C2=A1B1=4，

∴C2点的坐标为（，16），即（，42）。

同理，可得C3点的坐标为（，64），即（，43）。

…

以此类推，则Cn的坐标是（）。2.如图，平行四边形ABCD的面积为acm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，连接AC1交BD于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AOn﹣1CnB的面积为（）cm2．A．B．C．D．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O1A=O1C1，O1B=O1O，

∴SAO1B=S△ABC1=S▱ABCD=cm2，

∴平行四边形ABC1O的面积是：cm2，

同理平行四边形ABC2O1的面积是=（）2acm2，

平行四边形ABC3O2的面积是=（）3acm2，

平行四边形ABC4O3的面积是=（）4acm2，

…以此类推AOn-1CnB的面积为：（）na．3.(1)如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.(2)如图②，将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I.求证：EI=FG.【答案】见解析【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，∴∠1=∠2，∵在△AOE和△COF中，∠1=∠2OA=OC∠3=∠4，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE=CF；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由(1)得AE=CF，由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，∵在△A1IE与△CGF中，∠∴△A1IE≌△CGF(AAS)，∴EI=FG.课堂小结课堂小结平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

平行四边形的性质：①平行四边形两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等；

③平行四边形的两组对角分别相等；

④平行四边形的对角线互相平分扩展延伸扩展延伸基础基础1.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合部分构成一个四边形，这个四边形是____；理由是_____________。【答案】平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形【解析】略2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=2：3：2，则∠D=（）A．36°B．108°C．72°D．60°【答案】B【解析】平行四边形对角相等，邻角互补，内角和为360°3.平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A．75°B．70°C．65°D．60°【答案】A【解析】根据平行四边形的性质可得：∠BAD=135°，则∠BAE=135°-60°=75°巩固巩固1.平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（）A．6＜AC＜10B.6＜AC＜16C.10＜AC＜16D.4＜AC＜16【答案】D．【解析】根据平行四边形的性质可得：AB=6，BC=10，则对角线AC的取值范围为4＜AC＜162.如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解析】根据题意易得三角形AEC是等腰三角形，及AE=EC，则△DCE的周长为EC+ED+DC=AE+ED+DC=AD+DC=83.如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB重合）形成对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两条对角线长度之和是．【答案】26【解析】∵AD=20，平行四边形的面积是120，

∴AD边上的高是6．

∴要求的两对角线长度和是20+6=26．拔高拔高1.如图，过□ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的□AEMG的面积S1与□HCFM的面积S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．不能确定【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，

∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，

∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，

在△ABD和△CDB中；AB=CD，BD=DB，DA=CB∴△ABD≌△CDB，

即△ABD和△CDB的面积相等；

同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，

故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．2.在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．

（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．

（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分