第15章 随机变量及其分布

第15章随机变量及其分布离散型随机变量及其分布律15.1连续型随机变量及其概率密度15.2多维随机变量及独立性15.3随机变量函数的分布15.415.1离散型随机变量及其分布律15.1.1随机变量的概念

例1从1000件产品中抽出10件进行检查,观察次品的件数。试验的样本空间为{e1,e2,…,e10},其中ei={有i件次品}。令X

表示次品的件数,可知X(ei)=i,i=1,2,…,10。

例2掷一枚硬币,观察正(H)反(T)面出现的情况,试验的样本空间为{H,T}。令

定义1设随机试验的样本空间为S,若对于每一个元素e,有一个确定的实数X=X(e)与之对应,则称X

为随机变量。15.1.2离散型随机变量及其分布律

有些随机变量,它的全部可能取值是有限多个或者可列多个,这种随机变量称为离散型随机变量。如在例1中,随机变量X

全部可能取值为1~10中的整数,它是一个离散型随机变量。

定义2设离散型随机变量X

的所有可能取值为x1,x2…,X

取可能值的概率为P{X=xk}=pk,k=1,2,…(1.1)

称(1.1)式为随机变量X的分布律或概率分布。

分布律也可以用表格的形式表示,如表15-1所示。

例3设袋中有形状与质地相同的球,其中3个1号球,2个2号球,5个3号球。随机取出一球,设X

为取到球的号数,求X

的分布律。15.1.3常见的离散型随机变量

例5有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过。设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该段时间内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?

例6已知某电话台每分钟接到呼叫的次数X

服从参数λ=4的泊松分布,求每分钟正好接到3次呼叫的概率。

例7某射手每次射击的命中率为0.8。 (1)若首次击中目标后,射击停止,求所用子弹数X

的分布律。 (2)若他只有7发子弹,且首次击中目标后,射击停止,求所用子弹数Y

的分布律。

解(1)显然X

服从几何分布,故其分布律为P(X=k)=0.2k-10.8,k=1,2,…,7 (2)因试验进行到第7次必然停止,故所用子弹数Y

不服从几何分布,且Y

的可能取值为1~7。其分布律为P(Y=k)=0.2k-10.8,k=1,2,…,7

且P(Y=7)=0.26。15.2连续型随机变量及其概率密度15.2.1随机变量的分布函数

定义1设X

是随机变量,x

为任意实数,则称函数F(x)=P(X≤x)

为随机变量X

的分布函数。图15-115.2.2连续型随机变量及其概率密度

定义2设X

是随机变量,其分布函数是F(x),如果存在一个非负函数f(x),使得对任意实数x

有

定理1设X

为连续型随机变量,则其取任一指定实数值a

的概率均为0,即P(X=a)=0。

据此,在计算连续型随机变量落在某一区间内的概率时,可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间。例如,对任意的实数a

≤bP(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a<X<b)

例2设随机变量X的概率密度为

试确定常数a,并求分布函数F(x)。15.2.3常见的连续型随机变量 1.均匀分布 2.指数分布

例3某产品的寿命X(分钟)服从参数为2000的指数分布,求产品使用寿命超过1500分钟的概率。

解X

的概率密度函数为3.正态分布

标准正态分布的概率密度函数曲线关于y轴对称,如上图所示。再根据定积分的几何意义可得Φ(x)=1-Φ(-x)(2.2)15.3多维随机变量及独立性

定义1设X1,X2,…,Xn

是定义在同一个样本空间上的随机变量,则由它们构成的一个n

维向量(X1,X2,…,Xn),称为n

维随机向量或n

维随机变量。

定义2设(X,Y)为二维随机变量,x,y

为任意实数,则称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)

为(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X,Y

的联合分布函数。图15-3

定义3称FX(x)和FY(y)为分布函数F(x,y)的边缘分布函数,或称为二维随机变量(X,Y)关于X,Y的边缘分布函数。

定义4设F(x,y),FX(x)和FY(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数以及边缘分布函数,若对任意的实数x,yP(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)

即F(x,y)=FX

(x)FY(y),则称随机变量X

与Y

相互独立。15.4随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布例1设随机变量X

的