电大作业工程数学考核作业1

经典word整理文档，仅参考，双击此处可删除页眉页脚。本资料属于网络整理，如有侵权，请联系删除，谢谢！第3章线性方程组第4章矩阵的特征值及二次型一、单项选择题xx12x4x111用消元法得23的解为（C）xx0x232x2x33102722AB11221122DCx12x3x22线性方程组23（B）xx6133x3x423A有无穷多解C无解B有唯一解D只有零解注：经初等行变换，有rArAB3,线性方程组有唯一解.100133向量组0，1，0，2，0得秩为（A）10114A3B2C4D5101110014设向量组为，，，，则（B）是极01112340101大无关组。ABCD,,,,,121231241注：1/1310110111011101110010010001001110110111011100100101001000000000极大无关组为：或.,,,,1231345与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个AA方程组有解，则（）ACBA)秩（A)秩(A)＜D秩(A)秩(A)秩(A)秩(A)1＞6若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解，则该线性方程组（）A可能无解B有唯一解C有无穷多解D无解注：若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明：系数矩阵的秩等于未知量的个数，至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相11x11x11x2x2等不得而知。例与x1x133xxx2xxx31231237以下结论正确的是（）A方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解2/13D齐次线性方程组一定有解（至少有零解，所以正确）8若向量组线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内,,12s其余向量线性表出。A至少有一个向量B没有一个向量C至多有一个向量D任何一个向量定理3.6P1609设A,B为n阶矩阵，既是A又是B的特征值，既是A又是Bx的属于的特征向量，则结论（）成立。A是的特征值B是的特征值AB2C是的特征值Dx是AAB注：由已知得，AXX，BXX，从而ABXABXAXAXX选A2XABXAXBX2B和D不正确10设A,B,P为n阶矩阵，若等式（）成立，则称A和B相似。BABABAABBACPAP1BDPAPB定义4.2P230二、填空题xx1x01当1时，齐次线性方程组有非零解.2x01211注：10线性相关.2向量组，123/13注：第五行：包含零向量的向量组一定是线性相关的.p157得秩是3.3向量组，，，4设齐次线性方程组的系数行列式，则00xxx112233123这个方程组有非零解，且系数列向量是线性相关的.,,1235向量组6向量组的极大线性无关组是.,,,12312的秩与矩阵的秩相等.,,,,12s12s注：定理3.9P1697设线性方程组AX0中有5个未知量，且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.8设线性方程组AXb有解，是它的一个特解，且的基础为任意XAX00解系为，则AXb的通解为：（X,XXKXKXK,K120112212常数）.9若是的特征值，则是方程A0I的根.A注：P（3）22010若矩阵满足为方阵且AI，则称为正交矩阵.AAA注：P定义4.5240三、解答题3－26xxx23413x8xx5x01用消元法解线性方程组1234－2－4xxxx1234x4xx3x21234解：将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵：4/131321613216017818381502141120581014132013481321613216013480134805810002321400178180010122610111011133001348013489900000232140565500101226001517551001000201021010015500101136001000135500013于是知，，，，为唯一解.x2x1x1x31234111x2设有线性方程组11，为何值时，方程组有唯y11z2一解？或有无穷多解？11解：方法一：①当110时，有，方程组有唯一()()3rArA11解，于是有5/13112111111111121211201011211111112112110221于是当且时，方程有唯一解。12②当时，有111111110000，有，知有无穷A1111()()13rArA＜1110000多解.当2时，有211111241212A121211242111112411240336033603390003由r()r(A)r()r(A)，方程组无解.于是，当时，方程组有无穷多解.1111112方法二：11111111121111220110112210111002232236/1311210110021112于是当2时，r()r(A)r()r(A)，方程组无解.当当时，方程组有无穷多解.1且2时，方程有唯一解。13判断向量能否由向量组线性表出，若能，写出一种表出,,123方式其中：82353756，，，710312310321解：若能由向量组线性表示，有,,1232xxx112332x3x5x81237x5x6x3写作线性方程组即为：123，x0x3x71233x2xx12323581037于是有A756375631037235832110321101037103710370527520062177017250316017250062177028310022810022817/1310370172510000100177001001062000156431000rArA，所以不能由,,线性表出.1234计算下列向量组的秩，并且判断该向量组是否线性相关？131117392，8，0，61234393364133为列）进行初等行变换，有解：由矩阵（以,,,1234131113111311173904410022528060224011239334133600000112000000001311131000090110011200010000000000000000知向量组的秩为3，,,,1234由于r(，所以向量组线性相关.,,,)＜41234x13xx2x02345xx2x3x05求齐次线性方程组1234的一个基础解系.xx2x5x012343x5x4x01248/13解：将系数矩阵进行初等行变换，有131213121312512301437014371112501437000335040143100000510013101401430300114000100000000555xx0xx33123133于是有即，令x1，得xxx0xxx03323x04140化简，令Y53140，则为齐次线性方程组的一个Y基础解系.x15x2x3x2343xx4x2x56求线性方程组1234的全部解.x9x4x1245x3x6xx11234解：将增广矩阵进行初等行变换，有152311152311314250142728190417014272853611028414569/13971215231110111720120111272000000000000000000009177令，得相应的解向量，10xx0X13411令令，得相应的解向量，01xx1X22234，得相应的特解，X1200xx0034于是线性方程组的全部解为：XKXKX（其中,为任意常数）.KK0112212都可由向量组7试证：任一4维向量a,aa,a123411110111，，，00112340001线性表出，且表出方式唯一，写出这种表出方式.证：由已知可由线性表示，有,,,12342xxxx1123344写作线性方程组，有xxxxa123410xxxxa123420x0xxxa123430x0x0xxa1234410/131111011100110001因为系数行列式10A所以由克拉默法则，线性方程组有唯一解1000aa1111a1120111a0100aa又因为A22aa30011001030001aa340001a44所以且表出方式唯一。aaaaaaa121232343448试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解.证：本题前提条件为：线性方程组有解首先证明“”即：“有唯一解对应齐次线性方程组只有零解”由线性方程组有解判定定理，有P193当，即满秩时，线性方程组有唯一解.rArAnrAn这时当然有对应齐次方程组，即满秩，所以，对应齐次线性方程组只有零解.其次证明“”即:对应齐次线性方程组只有零解有唯一解“首先，由线性方