2022-2023学年甘肃省酒泉市金塔县九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省酒泉市金塔县九年级第一学期期中数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）1．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形2．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（）A． B． C． D．3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝154．柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（）A． B． C． D．5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等6．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A．173（1+x%）2＝127 B．173（1﹣2x%）＝127 C．173（1﹣x%）2＝127 D．127（1+x%）2＝1737．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（）A．1 B．2 C．0或2 D．08．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则满足条件的四边形是（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形9．已知，则的值为（）A． B． C．2 D．10．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．3二、填空题：（每小题3分，共计24分）11．一元二次方程x2＝3x的解是：．12．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是．13．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色不放回再随机摸出一个球，则小明两次摸到一红一白两个小球的概率是．14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB＝100°，则∠OAB＝．15．已知三个数：1，2，，请你添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是（只填一个）．16．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x﹣3）#5＝0的解为．17．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为，面积为．18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使得BC的对应边BC′与AD相交于点E，若BC＝5cm，DC＝3cm，则AE＝．三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤）19．（20分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣18＝0；（2）3x2+8x﹣3＝0；（3）7x（5x+2）＝6（5x+2）；（4）（x+5）（x+1）＝12．20．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，求另一根和m的值？21．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．23．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD：OA＝OE：OB．24．永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．26．如图所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点Q从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于10cm2？试说明理由．

参考答案一、选择题：（每小题3分，共30分）1．下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．2．若mn＝ab，则下列比例式中不正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；B、由＝得，mn＝ab，故本选项错误；C、由＝得，mb＝an，故本选项正确；D、由＝得，mn＝ab，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．解：∵x2﹣8x﹣1＝0，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是（）A． B． C． D．【分析】2双鞋，2左2右共4个，取出1个后还有3个，其中只有一个跟取出那个同双，所以随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是．解：P（配成一双鞋）＝．故选：D．【点评】此题主要考查概率的意义及求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．故选：C．【点评】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．6．某品牌服装原价173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（）A．173（1+x%）2＝127 B．173（1﹣2x%）＝127 C．173（1﹣x%）2＝127 D．127（1+x%）2＝173【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先用173（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程．解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%＝173（1﹣x%）；当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%＝173（1﹣x%）2．∴173（1﹣x%）2＝127．故选：C．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价，再根据题意列出第二次降价后的售价，令其等于127即可．7．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，则m的值为（）A．1 B．2 C．0或2 D．0【分析】根据一元二次方程的定义可知m﹣2≠0，再根据常数项为0，即可得到m2﹣2m＝0，列出方程组求解即可．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣2m＝0的常数项为0，∴，解m﹣2≠0得m≠2；解m2﹣2m＝0得m＝0或2．∴m＝0．故选：D．【点评】此题考查了一元二次方程的定义．判断一个方程是否是一元二次方程必须具备以下3个条件：（1）是整式方程，（2）只含有一个未知数，（3）方程中未知数的最高次数是2．这三个条件缺一不可，尤其要注意二次项系数a≠0这个最容易被忽略的条件．8．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则满足条件的四边形是（）A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形【分析】根据对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形即可判断．解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．∴∠FEH＝90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．∴AC⊥BD，即对角线互相垂直的四边形其中点四边形是矩形，因为对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以满足条件的四边形是菱形，故选：B．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的判定等知识，记住对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形．9．已知，则的值为（）A． B． C．2 D．【分析】设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k．将其代入分式进行计算．解：设＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k．所以＝＝，故选：B．【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．10．菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2 B．3 C．4 D．3【分析】根据菱形的性质和等边三角形的判定方法得，三角形ABC是等边三角形．则AE⊥BC，根据勾股定理求得AE的长，同理得到EF的长，根据已知可推出△AEF是等边三角形，从而得到其周长是3．解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝AD＝CD，∴∠CAD＝60°，∴∠BAD＝120°，∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∠EAC＝30°，∴AE＝，同理：AF＝，∵AE＝AF，∠CAF＝30°∴∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴EF＝，∴△AEF的周长为3．故选：B．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用．二、填空题：（每小题3分，共计24分）11．一元二次方程x2＝3x的解是：x1＝0，x2＝3．【分析】利用因式分解法解方程．解：（1）x2＝3x，x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝3．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．12．若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c＝0有两个相等实数根，则c的值是1．【分析】根据一元二次方程有两个相等实数根时Δ＝0，列式计算即可．解：Δ＝（﹣4）2﹣4×4c＝0，c＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式，属于基础题，较为简单；一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．但要注意在计算△的值时，确定a、b、c的值一元二次方程要化成一般形式．13．一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，小明从袋子中随机摸出一个球，记下颜色不放回再随机摸出一个球，则小明两次摸到一红一白两个小球的概率是．【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中小明两次摸到一红一白两个小球的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中小明两次摸到一红一白两个小球的结果有4种，∴小明两次摸到一红一白两个小球的概率为＝，故答案为：．【点评】此题考查了用树状图法求概率．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOB＝100°，则∠OAB＝40°．【分析】根据矩形的性质得出AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，求出OB＝OA，推出∠OAB＝∠OBA，根据三角形内角和定理求出即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝2OA，BD＝2BO，AC＝BD，∴OB＝OA，∵∠AOB＝100°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣100°）＝40°故答案为：40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，矩形的性质，等腰三角形的性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等．15．已知三个数：1，2，，请你添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数是2（只填一个）．【分析】要构成一个比例式，根据比例式的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．解：根据比例式的概念，可得：1×÷2＝；2×÷1＝2或1×2÷＝等．答案不唯一．【点评】根据比例式的概念，只需让其中的任何两个相乘除以第三个，即可得到第四个数．16．在实数范围内规定一种运算“#”，其规则为a#b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x﹣3）#5＝0的解为x1＝8，x2＝﹣2．【分析】方程利用题中新定义化简后，计算即可求出解．解：方程（x﹣3）#5＝0，变形得：（x﹣3）2﹣52＝0，即（x﹣3）2＝25，开方得：x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，解得：x1＝8，x2＝﹣2，故答案为：x1＝8，x2＝﹣2．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握题中的新定义是解本题的关键．17．菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为5，面积为24．【分析】根据菱形的对角线平分且垂直的性质，先计算边长，由对角线乘积的一半求得面积．【解答】解∵菱形的两条对角线长分别为6和8，∴由勾股定理得，菱形的边长＝＝5，∵菱形的面积＝对角线乘积的一半，∴菱形的面积＝6×8÷2＝24．故答案为：5，24．【点评】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理等知识点，灵活运用性质进行计算是解此题的关键．18．如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使得BC的对应边BC′与AD相交于点E，若BC＝5cm，DC＝3cm，则AE＝cm．【分析】根据折叠的性质得到∠EBD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB＝∠CBD，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，证明EB＝ED，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．解：由折叠的性质可知，∠EBD＝∠CBD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝5﹣AE，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即32+AE2＝（5﹣AE）2，解得：AE＝，故答案为：cm．【点评】本题考查的是翻转变换，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答下列各题（请书写必要的解题步骤）19．（20分）解下列方程：（1）x2﹣6x﹣18＝0；（2）3x2+8x﹣3＝0；（3）7x（5x+2）＝6（5x+2）；（4）（x+5）（x+1）＝12．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可；（3）移项，利用因式分解法求解即可；（4）整理后，利用因式分解法求解即可．解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，x2﹣6x＝18，x2﹣6x+9＝27，即（x﹣3）2＝27，∴x﹣3＝±3，∴x1＝3+3，x2＝3﹣3；（2）3x2+8x﹣3＝0，（3x﹣1）（x+3）＝0，∴3x﹣1＝0或x+3＝0，∴x1＝，x2＝﹣3；（3）7x（5x+2）＝6（5x+2），7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，（5x+2）（7x﹣6）＝0，∴5x+2＝0或7x﹣6＝0，∴x1＝﹣，x2＝；（4）（x+5）（x+1）＝12，x2+6x﹣7＝0，（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣7，x2＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．20．已知方程3x2﹣9x+m＝0的一个根是1，求另一根和m的值？【分析】设方程的另一个根为t，则根据根与系数的关系得1+t＝3，1×t＝，然后解方程组即可．解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t＝3，1×t＝，解得t＝2，m＝6，所以另一根为2，m的值为6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．21．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．【分析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出答案；【解答】证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．∵DE∥AC，∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）．∴∠1＝∠3（等量代换）．∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF是菱形．【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上数字1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上数字1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲乙两人设计了一个游戏，其规则如下：同时转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲得1分；如果所得的积是奇数，那么乙得1分．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由．【分析】首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得甲乙获胜的概率，因为概率不等，可求得分也不等，故不公平．新游戏规则，只要能求得甲乙得分相等即可．解：不公平．画树状图得：∵共有24种等可能的结果，所得的积是偶数的有18种情况，是奇数的有6种情况，∴P（甲获胜）＝＝，P（乙获胜）＝＝，∴不公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．注意解此题的关键是计算每个事件的概率，然后根据概率求得甲乙的得分，比较得分即可判定是否公平．23．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：OD：OA＝OE：OB．【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似可以得出比例式，等量代换即可得到结论．【解答】证明：∵DF∥AC，EF∥BC，∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC，∴，，∴OD：OA＝OE：OB．【点评】本题考查了平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似的判定方法的运用，相似三角形的性质的运用，相似三角形的判定的运用，解答时证明三角形相似是关键．24．永佳超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【分析】设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，根据每天的销售利润＝每件的销售利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合每件商品盈利不少于25元，即可确定x的值．解：设每件商品应降价x元，则每件商品的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2＝20应舍去，故x＝10为所求．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点