2021-2022学年内蒙古呼和浩特市国飞中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年内蒙古呼和浩特市国飞中学九年级第一学期期末数学试卷一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．x2﹣＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）2+3＝0 D．（2x+1）2﹣5＝4x22．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定3．已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38° B．52° C．76° D．104°5．如果一个扇形的半径扩大到原来的2倍，弧长缩小到原来的一半，那么这个扇形的面积与原扇形的面积之比为（）A．1：2 B．1：1 C．2：1 D．4：16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜07．将抛物线向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣28．下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，射中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是3 C．找到一个三角形，其内角和是360° D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯9．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．2010．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝．12．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为cm．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为．14．如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率是．15．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，若△DCF的面积为4，则△BEF的面积为．16．已知线段AB＝8cm，将线段AB以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到线段AB′，则点B、点B′的距离为．三、解答题（共7道小题，合计72分）17．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0．18．学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛．甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀．（1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是；（2）学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率．19．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，CF＝2，求AG的长．20．某商店经营儿童益智玩具，此时成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月利润是多少？21．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）22．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．求的长．23．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD．求证：AC＝BD．24．在平面直角坐标系xOy中．已知抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点为C（3，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

参考答案一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．x2﹣＝3 B．ax2+bx+c＝0 C．（x﹣1）2+3＝0 D．（2x+1）2﹣5＝4x2【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．解：A、该方程是分式方程，故该选项不符合题意；B、当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；D、原方程可化为：4x﹣4＝0，该方程是一元一次方程，该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．2．⊙O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝7，则P与⊙O的位置关系是（）A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可得到结论．解：∵OP＝7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．3．已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b＝0的根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断．解：Δ＝（2c）2﹣4（a+b）（a+b）＝4c2﹣4（a+b）2＝4（c+a+b）（c﹣a﹣b）．∵a，b，c分别是三角形的三边，∴a+b＞c．∴c+a+b＞0，c﹣a﹣b＜0，∴Δ＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．4．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（）A．38° B．52° C．76° D．104°【分析】根据半径相等得到OM＝ON，则∠M＝∠N＝52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．解：∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝52°，∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．故选：C．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．5．如果一个扇形的半径扩大到原来的2倍，弧长缩小到原来的一半，那么这个扇形的面积与原扇形的面积之比为（）A．1：2 B．1：1 C．2：1 D．4：1【分析】设原扇形的半径为r，弧长为a，则新扇形的半径2r，弧长为a，求出这个扇形的面积与原扇形的面积之比为为（•2ra）：（•r•a），再求出答案即可．解：设原扇形的半径为r，弧长为a，则新扇形的半径2r，弧长为a，所以这个扇形的面积与原扇形的面积之比为为（•2ra）：（•r•a）＝1：1，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记扇形面积公式和弧长公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积＝．6．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点判断a，b，c的符号即可．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．7．将抛物线向上平移2个单位后得到y＝x2的图象，那么原图象的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2 B．y＝（x+2）2 C．y＝x2+2 D．y＝x2﹣2【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后得到原来的抛物线，那么原抛物线的表达式是：y＝x2﹣2，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，射中靶心 B．掷一次骰子，向上一面的点数是3 C．找到一个三角形，其内角和是360° D．经过城市中某一有交通信号灯的路口遇到红灯【分析】必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，据此逐一判断即可得答案．解：A．某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故A不符合题意，B．掷一次骰子，向上一面的点数是3可能发生，也可能不发生，属于随机事件，故B不符合题意；C．找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，故C符合题意，D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，熟练掌握定义是解题关键．9．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝16，OE＝6，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．20【分析】连接OC，根据垂径定理求出CE，根据勾股定理求出OC即可．解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，∠OEC＝90°，在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC＝＝＝10，所以⊙O的直径为20，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点，能根据垂径定理求出CE的长是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【分析】设出动点P，Q运动t秒，能使△PBQ的面积为15cm2，用t分别表示出BP和BQ的长，利用三角形的面积计算公式即可解答．解：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，×（8﹣t）×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．故选：B．【点评】此题考查一元二次方程的应用，借助三角形的面积计算公式来研究图形中的动点问题．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若二次函数y＝x2﹣2x+k的图象与x轴只有一个公共点，则k＝1．【分析】令x2﹣2x+k＝0，求Δ＝0时k的值．解：令x2﹣2x+k＝0，∵抛物线与x轴只有一个交点，∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为4πcm．【分析】直接利用弧长公式求出即可．解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：＝4π（cm）．故答案为：4π．【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．13．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为48．【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝24，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，故答案为：48．【点评】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．14．如图是一个游戏转盘，连续自由转动转盘两次（如果落在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域），则两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率是．【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：由题意画树状图如下：共有16种等可能的结果，两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的结果有4种，∴两次转动指针都落在数字“蓝色”所示区域内的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，若△DCF的面积为4，则△BEF的面积为1．【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据相似三角形的判定定理得到△BFE∽△DFC，根据相似三角形的性质计算．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△BFE∽△DFC，∴△BEF与△DCF的面积比＝（）2＝（）2＝，∵△DCF的面积为4，则△BEF的面积为1．故答案为：1．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．16．已知线段AB＝8cm，将线段AB以点A为旋转中心，逆时针旋转90°得到线段AB′，则点B、点B′的距离为8cm．【分析】根据旋转变换的性质得到∠BAB′＝90°，BA＝AB′＝8cm，根据勾股定理计算即可．解：由旋转变换的性质可知，∠BAB′＝90°，BA＝AB′＝8cm，由勾股定理得，BB′＝＝8（cm），故答案为：8cm．【点评】本题考查的是旋转变换的性质、勾股定理，旋转变换的性质：对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．三、解答题（共7道小题，合计72分）17．解方程：（1）x2﹣4x+3＝0．（2）2x2﹣5x+1＝0．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法求解即可．解：（1）∵x2﹣4x+3＝0，∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，则x1＝1，x2＝3；（2）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝17＞0，∴x＝＝，则x1＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．学校计划举行“文明环保，从我做起”征文比赛．甲班的2名同学A和B与乙班的2名同学C和D在预赛中成绩优秀．（1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是；（2）学校决定从4名同学中随机选取2名同学参加决赛，请用画树状图或列表的方法，求选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有12种等可能的结果，选中的2名同学恰好来自同一个班级的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：（1）若从4名同学中选取1名同学参加学校决赛，则同学C被选中的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有12种等可能的结果，选中的2名同学恰好来自同一个班级的结果有4种，∴选中的2名同学恰好来自同一个班级的概率为＝．【点评】此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19．如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于D，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线；（2）若∠EAB＝30°，CF＝2，求AG的长．【分析】（1）连接OC，欲证明CG是⊙O的切线，只要证明OC⊥CG即可．（2）连接AC，先证明△AOC是等边三角形，求出AF、DF、AD，再根据CG∥AE得＝，由此即可计算．【解答】（1）证明：连接OC．∵AE是弦，C是劣弧AE的中点，∴OC⊥AE．，∵CG∥AE，∴OC⊥GC，∴CG是⊙O的切线．（2）解：连接AC．∵∠EAB＝30°，CG∥AE，∴∠G＝∠EAB＝30°，∵CG是⊙O的切线，∴∠GCO＝90°，∴∠COA＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝60°，∴∠CAF＝30°，可求∠ACD＝30°，∴AF＝CF＝2，∵∠EAB＝30°，∴DF＝1，AD＝，∵CG∥AE，∴＝，∴＝，∴AG＝2．【点评】本题考查切线的判定和性质、平行线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂径定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，灵活运用圆的有关知识，属于中考常考题型．20．某商店经营儿童益智玩具，此时成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月利润是多少？【分析】（1）根据利润＝数量×每件的利润，求出关系式即可；（2）当y＝2520时代入（1）的解析式可以求出结论；（3）根据（1）中解析式，由函数的性质求最值．解：（1）依题意得：y＝（30﹣20+x）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，∵每件首饰售价不能高于40元，∴0≤x≤10．答：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10；（2）当y＝2520时，﹣10x2+130x+2300＝2520，∴x2﹣13x+22＝0，∴x1＝2，x2＝11，∵0≤x≤10，∴x＝2，∴当x＝2时，30+x＝32．答：每件玩具的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；（3）由（1）知，y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣）2+2722.5，∵﹣10＜0，0≤x≤10．∴当x＝时，y最大，最大值为2722.5，此时30+x＝30+6.5＝36.5，答：每件玩具的售价定为36.5元时，可使月销售利润最大，最大月利润是2722.5元．【点评】本题考查了二次函数的运用，求出二次函数的解析式是解答本题的关键．21．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）【分析】由于⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，其圆心的连线构成三角形，所以形成的这三个扇形的圆心角的和为180度，图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和等于半径是0.5cm的半圆的面积．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°∴答：图中的三个扇形面积之和为．【点评】本题要把图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和通过三角形的内角和是180度，转化为半径是0.5cm的半圆的面积求解．解此类题目的前提是这些圆的半径都相等．22．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．求的长．【分析】根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB的度数，然后根据弧长公式计算即可．解：∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是：＝．【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD．求证：AC＝BD．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到∠AOC＝