2022-2023学年广东省河源市龙川县贝岭中学九年级（下）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年广东省河源市龙川县贝岭中学九年级（下）开学数学试卷一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，与点P关于原点对称的点Q为（1，﹣3），则点P的坐标是（）A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）3．点（﹣5，7）关于原点对称的点为（）A．（﹣5，﹣7） B．（5，﹣7） C．（5，7） D．（﹣5，7）4．下列数学符号中，不是中心对称图形的是（）A．∽ B．∥ C．＞ D．＝＝5．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为（）A．5 B．6 C． D．7．独山县各学校开展了第二课堂的活动，在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中，若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加，则小斌和小宇选到同一活动的概率是（）A． B． C． D．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．49．如图，平面直角坐标系中，已知A（m，0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y＝ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y＝ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则a：e的值为（）A． B． C． D．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝68°，则∠C的度数为．13．方程x2＝x的根是．14．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是．15．已知边长为6cm的等边三角形ABC，以AB为直径画半圆（如图），则阴影部分的面积是（结果保留π）16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝°．17．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x＝0．19．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形．20．如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，∠AOB＝120°，求这个广告标志面的周长．21．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率．22．小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．23．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．24．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．25．如图，抛物线y＝x2﹣x+c与y轴交于点A（0，﹣），与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，直线l∥AB且过点D．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）请你判断△ABD的形状并证明你的结论；（3）点E在线段AD上运动且与点A、D不重合，点F在直线l上运动，且∠BEF＝60°，连接BF，求出△BEF面积的最小值．

参考答案一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．解：A选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；B选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；C选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．2．在平面直角坐标系中，与点P关于原点对称的点Q为（1，﹣3），则点P的坐标是（）A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，3）【分析】直接利用关于原点对称点的性质分析得出答案．解：∵与点P关于原点对称的点Q为（1，﹣3），∴点P的坐标是：（﹣1，3）．故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．3．点（﹣5，7）关于原点对称的点为（）A．（﹣5，﹣7） B．（5，﹣7） C．（5，7） D．（﹣5，7）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．解：点（﹣5，7）关于原点对称的点为（5，﹣7）．故选：B．【点评】此题考查关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．4．下列数学符号中，不是中心对称图形的是（）A．∽ B．∥ C．＞ D．＝＝【分析】利用中心对称图形的定义可得答案．解：A．‘∽’是中心对称图形，故此选项不合题意；B．“∥“是中心对称图形，故此选项不合题意；C．“＞“不是中心对称图形，故此选项符合题意；D．“＝＝”是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．5．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象．故选：C．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．6．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，半径为2的⊙O与x轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上一动点，点P为弦AB的中点，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C，E，则△PCE面积的最小值为（）A．5 B．6 C． D．【分析】连接OP，如图，利用垂径定理得推论得到∠APO＝90°，再根据圆周角定理可判断P点在以OA为直径的⊙D上（A点除外），过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，点P点在P′点的位置时，△PCE面积有最小值，接着利用一次函数解析式确定E（0，4），C（3，0），则可计算出CE＝5，通过证明△CDH∽△CEO，利用相似比求出DH＝，然后利用三角形面积公式计算出S△EP′C即可．解：连接OP，如图，∵点P为弦AB的中点，∴OP⊥AB，∴∠APO＝90°，∴P点在以OA为直径的⊙D上（A点除外），过D点作DH⊥CE于H，DH交⊙D于P′，如图，∴点P点在P′点的位置时，P点到CE的距离最小，此时△PCE面积有最小值，当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则E（0，4），当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，则C（3，0），∴CE＝＝5，∵∠DCH＝∠ECO，∠CHD＝∠COE，∴△CDH∽△CEO，∴＝，即＝，解得DH＝，∴P′H＝DH﹣DP′＝﹣1＝，∴S△EP′C＝×5×＝，∴△PCE面积的最小值为．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数的性质．7．独山县各学校开展了第二课堂的活动，在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中，若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加，则小斌和小宇选到同一活动的概率是（）A． B． C． D．【分析】先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．解：画树状图为：（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示分别用A、B、C表示）共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3，所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率＝＝．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°．若AD＝2，则AB的长为（）A． B．2 C．2 D．4【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A＝60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD＝OA＝AD＝2，求出直径AB即可．解：连接OD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝60°，∵OD＝OA，∴△AOD是等边三角形，∴AD＝OD＝OA，∵AD＝2，∴OA＝OD＝OB＝2，∴AB＝2+2＝4，故选：D．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°是解此题的关键．9．如图，平面直角坐标系中，已知A（m，0），B（m+2，0），C（m+5，0），抛物线y＝ax2+bx+c过A点、B点，顶点为P，抛物线y＝ex2+fx+g过A点、C点，顶点为Q，若P在线段AQ上，则a：e的值为（）A． B． C． D．【分析】由题意得点P的横坐标为m+1，点Q的横坐标为m+2.5．根据两个函数与x轴交点的坐标，将函数解析式转化为交点式，然后出去顶点的纵坐标，根据相似列出关于a和e的等式即可．解：如图，作PE⊥x轴，QF⊥x轴，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（m，0），B（m+2，0）两点，∴设它的解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2），对称轴为直线x＝m+1，∴它的顶点P的坐标为（m+1，﹣a），∴PE＝a．∵抛物线y＝ex2+fx+g过A（m，0），C（m+5，0）两点，∴设它的解析式为y＝e（x﹣m）（x﹣m﹣5），对称轴为直线x＝m+2.5，∴它的顶点Q的坐标为（m+2.5，﹣6.25e）．∴QF＝6.25e．∵AB＝2，AC＝5，∴AE＝1，AF＝2.5．∵PE∥QF，∴△APE∽AQF，∴，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与性质，以及相似三角形判定和性质，解题的关键是将原函数解析式转化为交点式，求出函数的顶点坐标．10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据二次函数的性质一一判断即可．解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，∴abc＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，∴b＝4a，c＝﹣5a，∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a＜0，故③结论错误，∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，设方程ax2+bx+c＝2的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，设方程ax2+bx+c＝﹣2的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2．【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即可得到方程ax2+bx+c＝0的解．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），∴当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2．故答案为x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c＝0的解为交点的横坐标．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝68°，则∠C的度数为22°．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝68°，根据三角形内角和定理求出∠AOB，根据圆周角定理解答即可．解：∵OA＝OB，∠OBA＝68°，∴∠OAB＝∠OBA＝68°，∴∠AOB＝180°﹣68°×2＝44°，由圆周角定理得：∠C＝∠AOB＝22°，故答案为：22°．【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，根据圆周角定理得到∠C＝∠AOB是解题的关键．13．方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1．【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得x（x﹣1）＝0，方程就可转化为两个一元一次方程x＝0或x﹣1＝0，然后解一元一次方程即可．解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1．故答案为x1＝0，x2＝1．【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程ax2+bx+c＝0的方法：先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，最后解一元一次方程即可．14．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是y3＞y1＞y2．【分析】分别计算出自变量为﹣4，﹣3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x＝﹣4时，y1＝x2+4x﹣m＝16﹣16﹣m＝﹣m；当x＝﹣3时，y2＝x2+4x﹣m＝9﹣12﹣m＝﹣3﹣m；当x＝1时，y3＝x2+4x﹣m＝1+4﹣m＝5﹣m；所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15．已知边长为6cm的等边三角形ABC，以AB为直径画半圆（如图），则阴影部分的面积是（结果保留π）【分析】将阴影部分的面积转化为扇形OMN的面积，依据扇形的面积公式计算结果即可．解：如图，根据等边三角形和圆的对称性，阴影部分的面积就是扇形OMN的面积，由题意得，扇形OMN的半径为3cm，圆心角的度数为60°，S阴影部分＝S扇形OMN＝＝，故答案为：．【点评】考查圆的对称性，等边三角形的性质以及扇形面积的计算方法，恰当的转化是解决问题的关键．16．如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠A＝70°，则∠BOC＝125°．【分析】先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由⊙O是△ABC的内接圆得到∠BCO＝∠ACB，∠CBO＝∠ABC，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOC．解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∴∠BCO＝∠ACB，∠CBO＝∠ABC，∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣×110°＝125°，故答案为：125．【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出∠CBO+∠BCO的度数是解决问题的关键．17．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是m≥﹣2．【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．三、解答题：第18，19.20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．用两种不同方法解方程：x2﹣3﹣2x＝0．【分析】方程去括号整理后，利用因式分解法求出解即可；方程整理后利用配方法求出解即可．解：法1：方程整理得：x2﹣2x﹣3＝0，分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，可得x﹣3＝0或x+1＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1；法2：方程整理得：x2﹣2x＝3，配方得：x2﹣2x+1＝4，即（x﹣1）2＝4，开方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．19．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与四边形ABCD关于原点对称的图形．【分析】利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案．解：A、B、C、D关于原点对称的点的坐标分别为：A′（2，﹣3）、B′（4，﹣1）、C′（3，1），D′（1，0），如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求．【点评】此题主要考查了旋转变换，得出关于原点对称点的坐标是解题关键．20．如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm，∠AOB＝120°，求这个广告标志面的周长．【分析】根据弧长公式即可求得两弧长，再加上AC，BD即可求得周长．解：外边的较长的弧长是：＝，里边的弧长是：＝，AC＝BD＝20﹣10＝10cm．则周长是：10+10＝40π+20cm．答：这个广告标志面的周长是：（40π+20）cm．【点评】本题主要考查了弧长公式的应用，对公式的记忆是解题关键．21．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞“买一送一”促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两款的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两款的有2种情况，∴恰好选中A、C两款的概率为：＝．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．小莉的爸爸买了一张唐梓山门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，4的四张牌给小莉，将数字为5，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果是偶数和奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：哥哥设计的游戏规则公平，理由如下：画树状图如下由树状图知，共有16种等可能结果，其中和为奇数的有8种结果，和为偶数的有8种结果，所以小莉去的概率为＝，哥哥去的概率为＝，因为＝，所以哥哥设计的游戏规则公平．【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．23．已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形．【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由＝得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，∵＝，∴AB＝AC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键．24．已知二次函数的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB＝90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据对称轴公式求出x＝﹣，求出即可；（2）假设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可；（3）由抛物线的解析式可得，A，B，C，M各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明．解：（1）由，得x＝﹣＝﹣＝3，∴D（3，0）；（2）方法一：如图1，设平移后的抛物线的解析式为，则C（0，k）OC＝k，令y＝0即，得，x2＝3﹣，∴A，B，∴，＝2k2+8k+36，∵AC2+BC2＝AB2即：2k2+8k+36＝16k+36，得k1＝4，k2＝0（舍去），∴抛物线的解析式为，方法二：∵，∴顶点坐标，设抛物线向上平移h个单位，则得到C（0，h），顶点坐标，∴平移后的抛物线：，当y＝0时，，得，x2＝3+，∴A，B，∵∠ACB＝90°，∴△AOC∽△COB，则OC2＝OA•OB，即，解得h1＝4，h2＝0（不合题意舍去），∴平移后的抛物线：；（3）方法一：如图2，由抛物线的解析式可得，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，过C、M作直线，连接CD，过M作MH垂直y轴于H，则MH＝3，∴，，在Rt△COD中，CD＝＝AD，∴点C在⊙D上，∵，∴DM2＝CM2+CD2∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM，∴直线CM与⊙D相切．方法二：如图3，由抛物线的解析式可得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），M，作直线CM，过D作DE⊥CM于E，过M作MH垂直y轴于H，则MH＝3，，由勾股定理得，∵DM∥OC，∴∠MCH＝∠EMD，∴Rt△CMH∽Rt