第2章 一元二次函数、方程和不等式（单元复习课件） 高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第2章一元二次函数、方程和不等式人教A版2019必修第一册单元复习课件01不等式性质的应用02利用基本不等式求最值目录03解(含参)不等式04不等式中的恒成立问题05一元二次不等式和基本不等式的实际应用问题学习目标重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异。难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式共性与差异。知识网络1.不等关系是普遍存在的；用来表示不等关系的式子叫不等式。利用不等式(组)刻画不等关系时应注意下列问题：

(1)问题中的不等关系有哪一些，是否需要这些不等关系同时成立;(2)每一个不等关系各是怎样的；(3)需不需要设出变量。2.两个实数大小关系的基本事实：

利用这个事实可以采取作差法可以对一些代数式的大小进行了比较也可以证明不等式：(1)作差；(2)变形；

目的：便于判定差的符号

常用的方法：因式分解、配方、通分、分子有理化等(3)定号；

当差的符号不确定时，一般需要分类讨论(4)作结论。

根据当差的正负与实数大小关系的基本事实作出结论3.等式的基本性质不等式的性质：

基本性质性质1(对称性):性质2(传递性):性质3(可加性):性质4(可乘性)(乘正保序,乘负反序):

性质5(同向可加性)：性质6(同正同向可乘性)：性质7(同正可乘方性)：注：①性质1,3可逆；

②性质5,6可推广到多个同向不等式;

③性质5,6,7可将“同正”扩大到“同为非负数”；④由性质还可得到同号倒数反序4.基本不等式及其推导(1)基本不等式的常见变形：

代数特征：

两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当且仅当这两个正数相等时，二者相等.

几何解释：

圆O的半弦CD不大于圆的半径OD，当且仅当C与圆心O重合时，二者相等。(2)基本不等式的推导和证明：②由重要不等式得出；①利用两个实数大小关系的基本事实用作差法得出；③执果索因，用分析法得出。5.用基本不等式求最值的条件一正二定三相等(1)a、b要同为正数；(2)求a+b的最值时,ab应为定值

;

求ab的最值时,a+b应为定值；(3)当a=b时,

若代数式可以化为两正数之和且积为定值的形式，或是两正数之积且和为定值的形式，并在这两正数可以取得相等时，就可以用基本不等式来求其最值。用基本不等式解决数学中的最值问题

①直接应用类；②配凑定值类；

通用过添拆项，变系数，分离出常数或整式，化为积并使它们的和为定值，化为和并使它们的积为定值.

③条件最值类。常量(如1)替换，变量替换(消元)6.二次函数与一元二次方程、不等式的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0的根二次函数y=ax2+bx+c设y=0一元二次方程ax2+bx+c=0设y≠0一元二次不等式ax2+bx+c<0(或>0)右边化为0，左边设为y二次函数函数y=ax2+bx+c的零点(1)形式上(2)数值上一元二次不等式ax2+bx+c>0（或<0）解集的端点7.利用“三个二次”间的关系解一元二次不等式的主要过程：查系数解方程画图象取解集

(1)检查二次项系数

将不等式化为一般形式，并检查二次项系数

a的正负，对于a<0的不等式，将a化为正数。(2)解对应的方程

若∆≥0，求出方程ax2+bx+c=0的根;

若∆<0，则方程ax2+bx+c=0无根。(3)画图象

画出对应函数y=ax2+bx+c的大致图象。(4)取解集

根据图象写出对应不等式的解集:有根时：大于取两边，小于取中间，等于取根点无根时：大于取R，小于取Φ8.基本不等式的应用(1)证明不等式

(2)求最大值或最小值①实际问题中的最值

；②数学中的最值。一元二次不等式的应用(1)解一元二次不等式(2)解决实际问题(3)解决三个二次间关系问题

①求参数的值

；

②恒成立的问题。①不含参数一元二次不等式

；②含参数一元二次不等式

。

当二次项系数不确定时：

一般分二次项系数”大于0,小于0和等于0三种情况；当对应方程根的个数不确定时：一般分∆大于0，小于0和等于0三种情况；当方程两根的大小不确定时：一般分x1<x2,x1<x2和x1=x2三种情况。1.不等式性质的应用1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位.2.掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养.

(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是A.A≤B B.A≥BC.A<B或A>B D.A>B√∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2)∴A≥B.典例1(2)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是A.a＋x<b＋y B.ax>byC.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.√不等式及其性质的两个关注点(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法.归纳总结

1.若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为______________________.{a－b|－1≤a－b≤6}∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，∴－1≤a－b≤6.练一练2.利用基本不等式求最值1.基本不等式：

是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养.

典例2(应用基本不等式求最值的技巧)1.应用基本不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当的变形.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如函数图像的特点.归纳总结

C练一练3.解(含参)不等式

解关于x的不等式ax2-(2a+3)x+6>0(a∈R).分析:首先讨论不等式的类型:(1)当a=0时,是一次不等式;(2)当a≠0时,是一元二次不等式,然后讨论a的符号,最后讨论两根

与2的大小.典例3(解（含参）不等式的一般方法)(1)二次项系数不含参数且二次三项式不能分解因式时,对Δ的取值进行讨论.(2)二次项系数不含参数,二次三项式可分解因式时,主要根据两根大小进行比较,分x1<x2,x1=x2,x1>x2三种情况解答.(3)二次项系数含参数时,首先应讨论二次项系数a与0的关系,①当a=0时,不等式不是一元二次不等式,可直接解答;②当a≠0时,不等式是一元二次不等式,可分a>0和a<0两类,借助(1)(2)两种情况进行解答.归纳总结3.已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.解:(1)若a=0,则原不等式为-2x<0,故解集为{x|x>0}.(2)若a>0,Δ=4-4a2.①当Δ>0,即0<a<1时,方程ax2-2x+a=0的两根为∴当0<a<1时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=1时,原不等式的解集为⌀.③当Δ<0,即a>1时,原不等式的解集为⌀.练一练(3)若a<0,Δ=4-4a2.①当Δ>0,即-1<a<0时,原不等式的解集为②当Δ=0,即a=-1时,原不等式化为(x+1)2>0,∴当a=-1时,原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-1}.③当Δ<0,即a<-1时,原不等式的解集为R.综上所述,当a≥1时,原不等式的解集为⌀;当0<a<1时,原不等式的解集为4.不等式中的恒成立问题

已知不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围.当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意.当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}.典例4转化为一元二次不等式解集为R的情况，即归纳总结注意点：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0.反思感悟4.若关于x的不等式ax2-2x+2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.练一练5.一元二次不等式和基本不等式的实际应用问题1.不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键.2.利用不等式解决实际应用问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养.

某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成(1成＝10%)，售出商品的数量就增加

成，要求售价不能低于成本价.(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；又售价不能低于成本价，所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2).典例5(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围.40(10－x)(25＋4x)≥10260，又0≤x≤2，（一元二次不等式实际应用问题）（1）根据题意列出相应的函数解析式；（2）由题意列出相应不等式