第六相关与回归分析

（优选）第六相关与回归分析当前1页，总共83页。学习目标1、理解相关关系的概念2、掌握一元线性回归的基本原理和参数估计及模型检验的基本方法3、了解多元线性与曲线回归的分析方法4、利用回归方程进行估计和预测5、用Excel

进行回归分析当前2页，总共83页。第一节相关关系概述当前3页，总共83页。一、变量间的关系当前4页，总共83页。（一）函数关系1、反映变量之间一一对应的确定关系。2、设有两个变量x和y，变量y随变量x一起变化，并完全依赖于x

，当变量x取某个数值时，

y依确定的关系取相应的值，则称y是x的函数，记为y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量3、各观测点落在一条线上

xy当前5页，总共83页。函数关系

(几个例子)函数关系的例子某种商品的销售额y与销售量x之间的关系可表示为y=px(p为单价)圆的面积S与半径之间的关系可表示为S=R2

企业的原材料消耗额y与产量x1

、单位产量消耗x2

、原材料价格x3之间的关系可表示为

y=x1x2x3

当前6页，总共83页。（二）相关关系

(correlation)变量间之间不严格的数量依存关系。一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。当变量

x取某个值时，变量y的取值可能有几个。各观测点不在一条线上。

xy当前7页，总共83页。相关关系

(几个例子)相关关系的例子父亲身高y与子女身高x之间的关系收入水平y与受教育程度x之间的关系居民消费支出y与收入x之间的关系商品销售额y与广告费支出x之间的关系居民储蓄余额y与收入x之间的关系当前8页，总共83页。

二、相关关系的种类单相关1、按相关的形式分为：线性相关非线性相关2、按所研究的变量多少分为：复相关3、按相关的方向分为：正相关负相关4、按相关的程度分为：完全相关不完全相关不相关当前9页，总共83页。不同相关形式散点图

(scatterdiagram)不相关负线性相关正线性相关非线性相关完全负线性相关完全正线性相关当前10页，总共83页。三、相关关系分析的方法当前11页，总共83页。（一）相关分析相关分析主要用于测定具有相关关系的变量之间相互关系的密切程度。是回归分析的基础。分析方法主要有：绘制散点图、编制相关表、计算相关系数或相关指数等。当前12页，总共83页。（二）回归分析

(Regression)研究具有相关关系的变量值之间一般的数量变动关系，即自变量发生变化时，因变量平均会发生多大的变化。通过建立回归方程进行分析。回归方程除可用于研究相关变量之间的一般数量变动关系外，还常用于进行预测。当前13页，总共83页。回归模型的类型当前14页，总共83页。第二节相关分析当前15页，总共83页。一、相关表和相关图当前16页，总共83页。相关表与相关图

（概念要点）1、相关表和相关图是研究相关关系的直观工具。一般在进行详细的定量分析之前，可以利用它们对现象之间存在的相关关系的方向、形式和密切程度做大致的判断。2、相关表是一种反映变量之间相关关系的统计表。3、相关图又称散点图:用来反映变量之间相关关系的图形。当前17页，总共83页。相关表

（例6.1）家庭编号12345678910可支配收入25186045628892997598可支配收入18254560627588929899

10各家庭收入和消费的原始资料计量单位：百元

消费和收入相关表计量单位：百元消费支出20154030426065705378消费支出15203040425360657870当前18页，总共83页。

散点图

(例6.2)当前19页，总共83页。二、相关系数及其检验当前20页，总共83页。（一）相关系数及其计算当前21页，总共83页。

相关系数

(correlationcoefficient)用于测度变量之间线性相关关系密切程度的度量值（指标）。对两个变量之间线性相关程度的度量称为单相关系数。若相关系数是根据总体全部数据计算的，称为总体相关系数，记为，若是根据样本数据计算的，则称为样本相关系数，记为r当前22页，总共83页。相关系数

(计算公式)

样本相关系数的计算公式或化简为当前23页，总共83页。相关系数

(取值及其意义)

r

的取值范围是[-1,1]

|r|=1，为完全相关r=1，为完全正相关r=-1，为完全负正相关

r=0，不存在线性相关关系

-1r<0，为负相关

0<r1，为正相关

|r|越趋于1表示关系越密切；|r|越趋于0表示关系越不密切当前24页，总共83页。相关系数

(取值及其意义)-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加当前25页，总共83页。相关系数

(密切程度的判断标准)当r=0时，不存在线性相关关系当0﹤|r|≦0.3时，为弱度相关当0.3﹤|r|≦0.5时，为低度相关当0.5﹤|r|≦0.8时，为中度相关0.8﹤|r|﹤1时，为高度相关当|r|

=1时，为完全相关

当前26页，总共83页。相关系数

（例题分析）

[例6.3]一位心理学家搜集了10名工人的智商值和劳动生产率资料如表6-3所示。根据表中的资料计算智商值和劳动生产率之间的相关系数r如下：当前27页，总共83页。表6-3相关系数计算表样本序号智商值x劳动生产率（件/小时）yx2y2xy11105.21210027.0457221206.0144003672031306.31690039.6981941265.71587632.49718.251224.81488423.04585.661214.21464117.64508.271033.01060993098982.996048.41284.29802.764007.2921610973.2940910.24310.4合计110744.0124823.0210.845042.6当前28页，总共83页。相关系数的显著性检验当前29页，总共83页。相关系数的显著性检验

(r

的抽样分布)r的抽样分布随总体相关系数和样本量的大小而变化。

当为较大的正值时，r呈现左偏分布；当为较小的负值时，r呈现右偏分布。只有当接近于0，而样本容量n很大时，才能认为r是接近于正态分布的随机变量具体表现为：当前30页，总共83页。1-10=0.1r

的抽样分布P接近0时样本相关系数r的分布当前31页，总共83页。1r

的抽样分布-10=0.8P接近1时样本相关系数r的分布当前32页，总共83页。1-10=-0.8r

的抽样分布P接近-1时样本相关系数r的分布当前33页，总共83页。相关系数的显著性检验

(检验的步骤)1. 检验两个变量之间是否存在线性相关关系由于对r的正态性假设具有很大的风险，因此通常情况下，不采用正态检验，而采用提出的t检验，该检验可用于小样本，也可用于大样本。检验的步骤为:提出假设：H0：；H1：0

计算检验的统计量：

确定显著性水平，并作出决策若t>t，拒绝H0

若t<t，不能拒绝H0当前34页，总共83页。相关系数的显著性检验

(例题分析)对[例6.3]智商值与劳动生产率之间的相关系数进行显著性检(0.05)提出假设：H0：；H1：0计算检验的统计量3.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.306由于t=4.921>t(10-2)=2.306，拒绝H0，智商值与劳动生产率之间存在着显著的正线性相关关系当前35页，总共83页。第三节一元线性回归当前36页，总共83页。一、一元线性回归函数与模型当前37页，总共83页。一元线性回归函数一元线性回归模型总体样本（一）一元线性回归函数与模型的数学表达式

式中：0是回归直线在y轴上的截距，是当x=0时y的期望值。1是直线的斜率，称为回归系数，表示当x每变动一个单位时，y的平均变动值。当前38页，总共83页。XYX1X2X3X4（二）一元线性回归函数与模型意义的图形解释当前39页，总共83页。（三）一元线性回归模型的基本假定1.误差项u是一个期望值为0的正态分布随机变量，即2.对于所有的x值，u的方差σ2都相同，即3.对于一个特定的x值，它所对应的u与其他x值所对应的u不相关。即4.对于一个特定的x值，它所对应的y值与其他x所对应的y值也不相关当前40页，总共83页。XYX1X2X3X4回归模型基本假定的图形解释当前41页，总共83页。（四）样本回归方程与总体回归方程的联系与区别联系：样本回归方程与总体回归方程具有相同的形式，且样本回归模型是作为总体回归模型的估计而存在的。区别：1、总体回归线是未知的，且只有一条。而样本回归线则是根据样本数据拟合的，每抽取一个样本，便可以拟合一条回归线。2、总体回归方程中的参数是未知的，但它是确定的。而样本回归方程中的参数是随机变量，随样本的不同而不同。3、总体回归模型中的ui是（因变量实际观测值）Yi与总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归模型中ei是Yi与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本数据拟合出样本回归线之后，可以计算出ei的具体数值。当前42页，总共83页。二、模型参数的估计当前43页，总共83页。（一）回归系数的估计

—最小二乘估计使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得和的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小当前44页，总共83页。最小二乘估计

(图示)xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾当前45页，总共83页。最小二乘法

(

和的计算公式)

根据最小二乘法的要求，可得求解和的公式如下当前46页，总共83页。最小二乘法

(例题分析)【例6.4】一项调查得到9个家庭的月收入和存款数据如表7-4，用最小而乘法建立回归方程如下：回归方程为：回归系数为0.1017,表示收入每增加1千元，家庭存款额平均增加0.1017千元

当前47页，总共83页。当前48页，总共83页。用Excel绘制回归直线当前49页，总共83页。（二）总体方差的估计

此外，S2的正平方根也叫做回归估计的标准差。S越小，回归线的代表性越强，否则相反。

总体方差（б2）是检验模型时，必须利用的一个重要参数，可以反映理论模型误差的大小。由于б2本身不能直接观测，因而需要用∑et2（最小二乘残差）来估计б2。

可以证明б2的无偏估计为：当前50页，总共83页。三、回归模型的检验当前51页，总共83页。1、经济理论检验经济理论检验主要涉及估计值的符号和取值区间。2、统计检验（一级检验）统计检验是利用统计学中的抽样理论检验样本回归方程的可靠性，包括拟合优度检验和显著性检验。3、计量经济学检验（二级检验）计量经济学检验是对标准回归方程的假定条件能否得到满足进行检验。（一）模型检验的内容当前52页，总共83页。（二）模型拟合优度检验当前53页，总共83页。

拟合优度检验是检验样本回归方程对样本观测值代表性大小。衡量这一问题的指标称为可决系数（决定系数），其公式为：

（RegressionSumofSquare）（ResidualSumofSquare）（TotalDeviationSumofSquare）1、概念及公式当前54页，总共83页。变差的分解

(图示)xyy{}}当前55页，总共83页。离差平方和的分解

(三个平方和的关系)SST=SSR+SSE总平方和(SST){回归平方和(SSR)残差平方和(SSE){{当前56页，总共83页。离差平方和的分解

(三个平方和的意义)总平方和(SST)反映因变量的n个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量x的变化对因变量y取值变化的影响，或者说，是由于x与y之间的线性关系引起的y的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素对y取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和当前57页，总共83页。2、可决系数r2

的特性（1）具有非负性（2）r2的值越接近1，SSR越接近SST,即说明回归方程对实际观测值的拟合程度愈好，否则相反。（3）可决系数是样本观测值的函数，它也是一个随机变量。（4）可决系数的平方根为相关系数，用公式表示为：

当前58页，总共83页。可决系数r2

(例题分析)

根椐【例6.4】计算月收入与存款额回归的判定系数，并解释其意义

计算结果表明，存款额的总变差中，有96.6%可以由家庭月收入与存款额之间的关系来解释，只有3%属于随机因素的影响。因此，上述拟合的是合适的。当前59页，总共83页。（三）显著性检验当前60页，总共83页。显著性检验（概念要点）

回归分析中的显著性检验包括两方面的内容：一是对各回归系数的显著性检验；对于回归系数的显著性检验通常采用t检验。二是对整个回归方程的显著性检验。对回归方程的显著性检验则是在方差分析的基础上采用F检验。当前61页，总共83页。回归系数的检验

（概念要点）2.检验x与y之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量x对因变量y的影响是否显著3.理论基础是回归系数

的抽样分布,

1.就是根据样本估计的结果对总体回归系数的是否为0进行假设检验。当前62页，总共83页。回归系数的检验

(的分布)1.

是根据最小二乘法求出的样本统计量，它是一个随机变量,有自己的分布2.的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于未知，需用其估计量sy来代替得到的估计标准差当前63页，总共83页。回归系数的检验

(检验步骤)提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1

0(有线性关系)计算检验的统计量

确定显著性水平，并进行决策t>t，拒绝H0；t<t，不能拒绝H00当前64页，总共83页。回归系数的检验

(例题分析)对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)提出假设H0：b1=0H1：b1

0计算检验的统计量

t=14.956>t=2.365，拒绝H0，表明家庭月收入与存款额之间有线性关系，收入是影响存款的显著因素。当前65页，总共83页。四、利用样本回归方程进行预测当前66页，总共83页。利用样本回归方程进行预测根据自变量x

的取值估计或预测因变量y的取值估计或预测的类型点估计y的平均值的点估计y的个别值的点估计区间估计y的平均值的置信区间估计y的个别值的预测区间估计当前67页，总共83页。（一）点估计当前68页，总共83页。点估计

（概念要点）2.点估计值有y的平均值的点估计y的个别值的点估计在点估计条件下，平均值的点估计和个别值的的点估计是一样的，但在区间估计中则不同对于自变量x的一个给定值x0

，根据回归方程得到因变量y的一个估计值当前69页，总共83页。

y的平均值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的一个估计值E(y0)，就是平均值的点估计在前面的例子中，假如我们要估计收入为25千元时，所有家庭存款额的平均值，就是平均值的点估计。根据估计的回归方程得当前70页，总共83页。y的个别值的点估计利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计值，就是个别值的点估计例如，如果我们只是想知道月收入为20千元的那个家庭(这里是编号为9的那个家庭)的存款额是多少，则属于个别值的点估计。根据估计的回归方程得当前71页，总共83页。（二）区间估计当前72页，总共83页。区间估计与预测点估计不能给出估计的精度，点估计值与实际值之间是有误差的，因此需要进行区间估计对于自变量

x的一个给定值x0，根据回归方程得到因变量y的一个估计区间区间估计有两种类型均值的预测区间(confidenceintervalestimate)个别值的预测区间(predictionintervalestimate)当前73页，总共83页。均值的区间估计利用样本回归函数方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的平均值的估计区间，这一估计区间称为置信区间(confidenceinterval)

E(y0)

在1-置信水平下的置信区间为式中：sy为估计标准误差当前74页，总共83页。均值的区间估计

(例题分析)

【例6.5】求出月收入为25千元时，存款额95%置信水平下的置信区间

解：根据前面的计算结果，已知n=9，

sy=0.053，t(9-2)=2.365

置信区间为当月为25千元时，家庭存款额的平均值在0.1065千元到2.5271千元之间当前75页，总共83页。个别值的预测区间利用估计的回归方程，对于自变量x的一个给定值x0

，求出因变量y

的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间(predictioninterval)

y0在1-置信水平下的预测区间为注意！当前76页，总共83页。预测区间估计

(例题分析)【例6.6】求出月收入为20千元时，家庭存款额95%

置信水平下的预测区间

解：根据前面的计算结果，已知n=9，

sy=0.053，t(9-2)=2.356

置信区间为家庭月收入为20千元的那个家庭，其存款额的预测区间在0.6058千元到0.9531千元之间当前77页，总共83页。影响区间宽度的因素置信水平