压杆稳定的计算与措施

第11章压杆稳定第11章压杆稳定11.1压杆稳定与失稳11.2细长压杆的临界力11.3压杆的稳定计算11.4压杆的稳定条件及提高稳定性的措施

学习目标通过本章的学习，熟悉压杆稳定的概念及细长压杆的临界力，掌握欧拉公式的适用范围及经验公式；能够进行压杆的稳定计算。（1）一个简单的实验钢板尺长为300mm，宽为20mm，厚为1mm。设钢的许用应力为=196MPa，则按轴向拉压杆的强度条件，钢尺能够承受的轴向压力为F=A=20×1×10-6m2×196×106Pa=3920N11.1压杆稳定与失稳若将钢尺竖立在桌面上，用手压其上端，则不到40N的压力，钢尺就会突然变弯而失去承载能力。粗短杆能承受3920N压力，细长杆只能承受40N压力。细长压杆丧失工作能力并不是由于其强度不够，而是由于其突然产生显著的弯曲变形、轴线不能维持原有直线形状的平衡状态所造成的。（2）压杆稳定的概念采用中心受压直杆的力学模型，即将压杆看作轴线为直线，且压力作用线与轴线重合的均质等直杆；把杆轴线存在的初曲率、压力作用线稍微偏离轴线及材料不完全均匀等因素，抽象为使杆产生微小弯曲变形的微小的横向干扰。以三种情况来说明F<FcrF=FcrF>Fcr1）压力F不大时给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，在干扰撤去后，杆经若干次振动后仍会回到原来的直线形状的平衡状态。压杆原有直线形状的平衡状态称为稳定的平衡状态。F<Fcr2）压力F增至某一极限值Fcr时给杆一微小的横向干扰，使杆发生微小的弯曲变形，则在干扰撤去后，杆不再恢复到原来直线形状的平衡状态，而是仍处于微弯形状的平衡状态。F=Fcr临界平衡衡状态实实质上是是一种不稳定的的平衡状状态，因为此此时杆一一经干扰扰后就不不能维持持原有直直线形状状的平衡衡状态了了。压杆从稳稳定的平平衡状态态转变为为不稳定定的平衡衡状态,这种现象象称为丧丧失稳定定性，简简称失稳。受干扰前前杆的直直线形状状的平衡衡状态称称为临界平衡衡状态，压力Fcr称为压杆的临临界力。3）压力F超过Fcr后杆的弯曲曲变形将将急剧增增大，甚甚至最后后造成弯弯折破坏坏。F>Fcr各种杆端端约束下下细长压压杆的临临界力可可用下面面的统一一公式表表示（推推导从略略）：上式通常常称为欧拉公式式。11.2.1细长压杆杆的欧拉拉公式11.2细长压杆杆的临界力力式中的μ称为压杆杆的长度度因数，，它与杆杆端约束束有关，，杆端约约束越强强，μ值越小；；μl称为压杆杆的相当长度度，它是压压杆的挠挠曲线为为半个正正弦波（（相当于于两端铰铰支细长长压杆的的挠曲线线形状））所对应应的杆长长度。四种典型型细长压压杆的临临界力crcrcrcr四种典型型细长压压杆的临临界力(续)crcrcrcr【例11-1】一长l=4m，直径d=100mm的细长钢钢压杆，，支承情情况如图图所示，，在xy平面内为为两端铰铰支，在在xz平面内为为一端铰铰支、一一端固定定。已知知钢的弹弹性模量量E=200GPa，求此压压杆的临临界力。。O【解】钢压杆的的横截面面是圆形形，圆形形截面对对其任一一形心轴轴的惯性性矩都相相同，均均为因为临界界力是使使压杆产产生失稳稳所需要要的最小小压力，，而钢压压杆在各各纵向平平面内的的弯曲刚刚度EI相同，所所以公式式中的μ应取较大大的值，，即失稳稳发生在在杆端约约束最弱弱的纵向向平面内内。由已知条条件，钢钢压杆在在xy平面内的的杆端约约束为两两端铰支支，μ=1；在xz平面内杆杆端约束束为一端端铰支、、一端固固定，μ=0.7。故失稳稳将发生生在xy平面内，，应取μ=1进行计算算。临界力为为【例11-2】有一两端端铰支的的细长木木柱如图图所示，，己知柱柱长l=3m，横截面面为80mm×140mm的矩形，，木材的的弹性模模量E=10GPa。求此木木柱的临临界力。。O【解】由由于于木柱两两端约束束为球形形铰支，，故木柱柱两端在在各个方方向的约约束都相相同（都都是铰支支）。因因为临界界力是使使压杆产产生失稳稳所需要要的最小小压力，，所以公公式中的的I应取Imin。由图知知，Imin=Iy，其值为为O故临界力力为在临界力力Fcr作用下，，木柱将将在弯曲曲刚度最最小的xz平面内发发生失稳稳。11.3.1安全因数数法为了保证证压杆能能够安全全地工作作，要求求压杆承承受的压压力F应满足下下面的条条件：或11.3压杆的稳稳定计算算式中：nst——稳定定安全因因数；[F]st——稳定定许用压压力；[]st——稳定定许用应应力。稳定安全全因数nst的取值一一般地大大于强度度安全因因数n，并且随随柔度λ而变化。。钢压杆杆的稳定定安全因因数nst=1.8～3.0。常用材料料制成的的压杆，在不同同工作条条件下的的稳定安安全因数数nst的值，可可在有关关的设计计手册中中查到。。11.3.2折减因数数法式中：——压杆杆的折减减因数或或稳定因因数，它是随随压杆柔柔度λ而改变且且小于1的因数数；[]——强度度许用应应力。对于Q235钢制成成的压杆杆的折减减因数，在我国国的钢结结构设计计规范（（GB50017－2003）中，，根据工工程中常常用压杆杆的截面面形状、、尺寸和和加工条条件等因因素，把把截面分分为a、、b、c、d四四类，例例如轧制制圆形截截面属于于a类截截面。本本书给出出了Q235钢钢制成的的a类和和b类截截面压杆杆的折减减因数的计算用表表。Q235钢a类截面中中心受压压直杆的的折减因因数续表Q235钢a类截面中中心受压压直杆的的折减因因数Q235钢b类截面中中心受压压直杆的的折减因因数Q235钢b类截面中中心受压压直杆的的折减因因数11.4压杆的稳稳定条件件及提高高稳定性性的措施施11.4.1压杆的稳稳定条件件为了保证证压杆的的稳定，，压杆的的实际工工作压应应力应不不超过许许用应力力，即满满足：≤稳定计算算的三类类问题：利用稳定定条件，，可以解解决压杆杆的稳定校核核、设计截面面尺寸和确定许用用荷载等三类稳稳定计算算问题。。11.4压杆的稳稳定条件件及提高高稳定性性的措施施【例11-3】图示木木屋架中中AB杆的截面面为边长长a=110mm的的正方形形，杆长长l=3.6m，承承受的轴轴向压力力F=25kN。木木材的强强度等级级为TC13，，许用应应力[]=10MPa。试校校核AB杆的稳定定性（只只考虑在在桁架平平面内的的失稳））。【解】正正方方形截面面的惯性性半径为为由于在桁桁架平面面内AB杆两端为为铰支，，故μ=l。AB杆的柔度度为利用公式式算得折折减因数数为AB杆的工作作应力为为满足稳定定条件式式。因此，AB杆是稳定定的。【例11-4】钢柱由两两根10号槽钢钢组成，，长l=4m，，两端固固定。材材料为Q235钢,许许用应力力[]=160MPa。现现用两种种方式组组合：一一种是将将两根槽槽钢结合合成为一一个工字字形［图图(a)］,一一种是使使用缀板板将两根根槽钢结结合成图图(b)所示形形式,图图中间距距a=44mm。试试计算两两种情况况下钢柱柱的许用用荷载（（提示：：按b类类截面计计算）。。【解】由由型钢钢规格表表查得10号槽槽钢截面面的面积积、形心心位置和和惯性矩矩分别为为A=12.74cm2，z0=1.52cmIz=198.3cm4，Iy=25.6cm41)求图图(a)情况中中钢柱的的许用荷荷载。组合截面面对z轴的惯性性矩为Iz=2×198.3cm4=396.6cm4由型钢规规格表查查得10号槽钢对对其侧边边的惯性性矩为54.9cm4，故组合合截面对对y轴的惯性性矩为Iy=2×54.9cm4=109.8cm4因为杆端端约束为为两端固固定，所所以失稳稳将发生生在弯曲曲刚度EI最小的形形心主惯惯性平面面xz内。该平平面内钢钢柱的柔柔度为由计算用用表并利利用直线线插值法法得到折折减因数数为=0.581－(0.581－0.575)×=0.579根据稳定定条件式式，钢柱柱的许用用荷载为为[F]st=A[]=212.7410-4m20.579160106Pa=236047N=236.05kN2)求图(b)情况中钢钢柱的的的许用荷荷载。组合截面面对z轴的惯性性矩为Iz=2×198.3cm4=396.6cm4利用惯性性矩的平平行移轴轴公式，，求得组组合截面面对y轴的惯性性矩为Iy=2[Iy1+(z0+)2A]

=225.6+(1.52+)212.74cm4=403.8cm4可见失稳稳平面为为xy平面，该该平面内内钢柱的的柔度为为由计算用用表查得得折减因因数为=0.856－(0.856－0.852)×=0.853因此钢柱柱的许用用荷载为为[F]st=A[]=212.7410-4m20.853160106Pa=347751N=347.8kN由本例题题可知，，虽然两两个钢柱柱的长度度、支承承情况以以及所用用材料的的数量均均相同，，但当采采用不同同的截面面形状时时，钢柱柱的许用用荷载有有很大差差别。采采用图(b)所示截面面比采用用图(a)所示截面面好。11.4.2提高压杆杆稳定性性的措施施（1）合理选择择材料对于大柔度压压杆，临界应应力,因此，可可采用E较大的材材料来增增大其临临界应力力，提高高其稳定定性。对对于钢压压杆，由由于各种种钢材的的E值大致相相同，所所以对大大柔度钢钢压杆不不宜选用用优质钢钢材，以以免造成成浪费。。对于中、小柔柔度压杆杆，从计算算临界应应力的抛抛物线公公式可以以看出，，采用强强度较高高的材料料能够提提高临界界应力，，即能提提高稳定定性。11.4压杆的稳稳定条件件及提高高稳定性性的措施施（2）加强杆杆端约束束压杆两两端约约束越越强，，μ值越小小，计计算长长度越越小，，长细细比也也小，，其临临界应应力就就大。。故应应尽量量采用用μ值小的的支承承形式式，可可以提提高压压杆的的稳定定性。。11.4压杆的的稳定定条件件及提提高稳稳定性性的措措施（3）减小杆的的长度在其他条件件相同的情情况下，杆杆长越小，，则λ越小，临界界应力就越越高11.4压杆的稳定定条件及提提高稳定性性的措施（4）选择合理理的截面形形状在截面积相相同的情况况下，采用用空心截面面或组合