大一高数上-课件

大一高数上-课件第一页，共194页。高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂理论性更强表达形式更加抽象推理更加严谨第二页，共194页。因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。第三页，共194页。高等数学中几乎所有的概念都离不开极限，因此极限概念是高等数学的重要概念，极限理论是高等数学的基础理论，极限是高等数学的精华所在，是高等数学的灵魂。因此很好地理解极限概念是学习好微积分的关键，同时也是从初等数学迈入高等数学的一个重要阶梯。第四页，共194页。参考书目＜工科数学分析基础＞马知恩等编（高教出版社）＜高等数学释疑解难＞工科数学课委会编（高教出版社）＜高等数学辅导＞盛祥耀等编（清华大学出版社）＜高等数学解题方法及同步训练＞同济大学编（同济大学出版社）第五页，共194页。第一章

函数与极限第六页，共194页。§1.1函数1.集合集合(简称集):集合是指具有某种特定性质的事物的总体。集合用A，B，M等表示。元素:组成集合的事物称为集合的元素。a

是集合M的元素表示为aM。集合的表示:(1)A={a,b,c,d,e,f,g}。(2)M={(x,y)|x，y为实数，x2+y2=1}。一、集合及其运算第七页，共194页。几个数集:R表示所有实数构成的集合，称为实数集。Q表示所有有理数构成的集合，称为有理集。Z表示所有整数构成的集合，称为整数集。N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集。

子集:若xA，则必有xB，则称A是B

的子集,记为AB（读作A包含于B）。

显然，N

Z，Z

Q，Q

R。第八页，共194页。2.区间:数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a,b)，即(a,b)={x|a<x<b}。xOab(a，b)[a,b]={x|axb}称为闭区间。xOab[a，b]第九页，共194页。[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}称为半开区间。xOab[a，b)xOab(a，b]上述区间都是有限区间，其中a

和b

称为区间的端点，b-a

称为区间的长度。第十页，共194页。以下区间称为无限区间：[a,+)={x|ax}，xOa[a，+)(-,b]={x|xb}，xOb(-

，b](a,+)={x|a<x}，axO(a，+)(-,b)={x|x<b}，xOb(-

，b)(-,+)=

R第十一页，共194页。3.邻域:以点a

为中心的任何开区间称为点

a

的邻域，记作U(a)。

设>0，则称区间(a-,a+)为点a

的邻域，记作U(a,)，即U(a,)={x|a-<x<a+}={x||x-a|<}。其中点a

称为邻域的中心,

称为邻域的半径。去心邻域:(a,)={x|0<|x-a|<}。xOa-da+daxOa+dad-第十二页，共194页。还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取不同的数值，这种量叫做变量。1.常量与变量在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。二、函数的概念第十三页，共194页。2.举例圆的面积的计算公式为A=pr2，半径r可取(0,+)内的任意值。由落体下落距离的计算公式为s=-

gt2，t可取[0,T]内的任意值。12圆内接正n边形的周长的计算公式为

Sn=2nrsin-，n可取3，4，5，

。pn第十四页，共194页。3.函数的定义设D

是一个给定的数集。如果对于每个数xD，变量y

按照一定法则总有确定的数值和x对应，则称y

是x

的函数，记作y=f(x)。

定义中，数集D叫做这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。函数符号:函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母，例如j、F等。此时函数就记作y=j(x)，y=F(x)。第十五页，共194页。值域：Rf={y|y=f(x),xD}。定义域：

在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：任取

xD，与x对应的y的数值称为函数y=f(x)在点x处的函数值，记为f(x)。第十六页，共194页。求函数的定义域举例：解:要使函数有意义,必须x0,且x2-4³0。解不等式得|x|³2。

函数的定义域为

D={x||x|³2},或D=(-¥,-2][2,+¥)。第十七页，共194页。4.函数的图形在坐标系xOy内，集合

C={(x,y)|y=f(x)，xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形。O

yxC(x,y)xyRfDy=f(x)第十八页，共194页。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。以后凡是没有特别说明时，函数都是指单值函数。5.函数举例例1.在直角坐标系中，由方程x2+y2=r2确定了一个函数。对于任意x(-r,r)，对应的函数值有两个：

22xry--=及y=22xr-。第十九页，共194页。例2.函数y=2。

函数的定义域为D=(-,+)。

函数的值域为Rf

={2}。

函数的图形为一条平行于x

轴的直线。yOxy=22第二十页，共194页。函数的定义域为D=(-,+)。

函数的值域为Rf

=[0,+)。yxOy=|x|

x,x0-x,x<0

y=|x|=称为绝对值函数。例3.函数第二十一页，共194页。函数的定义域为D=(-,+)。

函数的值域为Rf

={-1,0,1}。

O

xy21-1-2y=sgnx1,当x>00,当x=0-1,当x<0例4.函数y

=sgnx

=

称为符号函数。

第二十二页，共194页。例5.函数y=[x]称为取整函数,任给x,[x]取值

为不超过x的最大整数,即x

-1<[x]≤x。函数的定义域为D=(-,+)，

函数的值域为Rf

=Z-5-4-3-2-1O12345

xy54321-1-2-3-4-5

y=[x]第二十三页，共194页。函数的定义域为D=[0,1](1,+)=[0,+)。f(3)=1+3=4。xy=2y=1+xy=f(x)y321O123x第二十四页，共194页。三、函数的几种简单特性图形特点：

y=f(x)的图形在直线y=K1的下方。y=K1y=f(x)Oxy1.函数的有界性设函数f(x)在数集X上有定义。如果存在数K1，使对任一xX，有f(x)K1，则称函数f(x)在X上有上界，而称K1为函数

f(x)在X上的一个上界。第二十五页，共194页。如果存在数K2，使对任一xX，有f(x)K2，则称函数f(x)在X上有下界，而称K2为函数f(x)在X上的一个下界。图形特点：函数y=f(x)的图形在直线y=K2的上方。y=K2y=f(x)Oxy第二十六页，共194页。有界函数的图形特点：函数y=

f(x)的图形在直线y=

-M和y=

M的之间。如果存在数M,使对任一xX，有|f(x)|M，则称函数f(x)在X上有界；如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函数，就是说对任何M，总存在x1X，使|f(x)|>M。Oxyy=f(x)y=-My=M第二十七页，共194页。函数的有界性举例：

f(x)=sinx在(-,+)上是有界的：

即|sinx|1。-11yxO-2p-pp2py=sinx第二十八页，共194页。Oxy12y=1/x函数f(x)=1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数举例：函数f(x)=1/x在(0,1)内有下界，无上界。这是因为，任取M>1，总有0<x1<M-1<1，使f(x1)>M，所以函数无上界。但此函数在(1,2)内是有界的。第二十九页，共194页。2.函数的单调性x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)设函数y=

f(x)在区间I上有定义。如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的。第三十页，共194页。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有x1x2f(x2)f(x1)OxyI

y=f(x)则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。f(x1)>f(x2)，单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。第三十一页，共194页。设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。3.函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函数举例：y=x2，y=cosx都是偶函数偶函数的图形关于y轴对称。第三十二页，共194页。奇函数举例：

y=x3，

y=sinx都是奇函数。101x-22y如果对于任意的xD，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。第三十三页，共194页。

设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数l，使得对于任一xD有(xl)D，且f(x+l)=

f(x)，则称f(x)为周期函数，l

称为f(x)的周期。周期函数的图形特点：

yxOl2l-2l-ly=f(x)4.函数的周期性第三十四页，共194页。四、反函数与复合函数对于任一数值yW，D上可以确定唯一数值x与y

对应，这个数值x适合关系f(x)=y。如果把y看作自变量，x看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作

x=f

-1(y)。1.反函数

设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。第三十五页，共194页。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y单调函数存在反函数.什么样的函数存在反函数？第三十六页，共194页。

在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y

表示。按此习惯，我们把函数y=f(x)的反函数x=f

-1(y)改写成y=f

-1(x)。反函数的图形：反函数的图形与直接函数的图形关于直线y=x对称。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)关于反函数的变量符号：第三十七页，共194页。例函数

y=表示

y是x的函数，它的定义域为

[-1，1]．2．复合函数

对于任一

x[-1，1]，先计算u=1-x2，然后再计算y=，这就是说函数y=的对应法则是由函数u=1-x2和y=所决定的，我们称函数

y=是由函数u=1-x2和y=复合而成的复合函数，变量u称为中间变量．设

u=1-x2，则函数y=

的值可以按如下方法计算：第三十八页，共194页。D1D2u=j(x)y

=f(u)y

=f[j(x)]复合函数的定义：一般地，设函数y

=f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果{u|u=j(x)，xD2}D1则对于任一xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数y

=f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y

=f[j(x)]

，其中定义域为D2，u称为中间变量．第三十九页，共194页。复合而成的．其中u，v

都是中间变量．函数y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx函数y=，u=cotv，v=经复合可得函数问：函数y=arcsinu与u=2+x2能构成复合函数吗？y=例函数y=arctanx2可看作是由y=arctanu和u=x2复合而成的．第四十页，共194页。五、初等函数1.幂函数函数

y=xm（m是常数）叫做幂函数．幂函数的定义域：与常数m有关，但函数在（0，+）内总有定义．最常见的幂函数：xyO11y=x2y=xy

=xxyO11y=x-1y=x3第四十一页，共194页。1a>1y=axxyO常用的指数函数为y=ex.2．指数函数函数y=ax(a是常数，且a>0，a1)叫做指数函数．指数函数的定义域：D=（-，+）．单调性：若a>1，则指数函数单调增加；若0<a<1，则指数函数单调减少．第四十二页，共194页。1a>1y=axxyOy=logax3．对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a>0，a1)．对数函数的定义域是区间(0，+)．自然对数函数：y=lnx=logex.第四十三页，共194页。常用的三角函数有：正弦函数：

y=sinx1-1y=cosx余弦函数：

y=cosx1-1y=sinxyxOxyO4．三角函数第四十四页，共194页。正切函数：

y=tanx

余切函数：

y=cotxxyO-pp

p2

p2xyO-pp

p2

p2y=tanxy=cotx第四十五页，共194页。反三角函数是三角函数的反函数.反正弦函数：

y=arcsinx，定义域为[-1，1].反余弦函数：y=arccosx．定义域为[-1，1]．-11yxO

p2p2y=arcsinxyxOp-11y=arccosx5．反三角函数第四十六页，共194页。反正切函数：

y=arctanx,定义域为(-，).Oxy

p2p2y=arctanx

p2p2其值域规定为(，)．第四十七页，共194页。其值域规定为(0，p)反余切函数：

y=Arccotx，定义域为(-，+).y=arccotxOxyp第四十八页，共194页。6．基本初等函数与初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数．由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．都是初等函数．例如，，第四十九页，共194页。一、数列的概念二、数列的极限三、用定义证明极限举例四、收敛数列的性质数列、数列举例、数列的几何意义极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义极限的唯一性、收敛数列的有界性收敛数列与其子数列间的关系§1.2数列的极限第五十页，共194页。一、数列极限的概念如可用渐近的方法求圆的面积？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积：1.数列一个实际问题正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积该方法称为割圆术第五十一页，共194页。数列：

如果按照某一法则，使得对任何一个正整数n对应着一个确定的实数xn

，则得到一列有次序的数

x1，x2，x3，…，xn

，…这一列有次序的数就叫做数列，记为{xn}，其中第n

项xn

叫做数列的一般项．数列举例：第五十二页，共194页。数列举例：2，4，8，…，2n

，…；一般项为2n一般项为1

2n

1，-1，1，…，(-1)n+1，…

；一般项为(-1)n+1一般项为第五十三页，共194页。数列的几何意义：数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数：

xn=f(n)，它的定义域是全体正整数．x1x8x7x6x5x4x3x2xnOx数列与函数：x1=f(1)，x2=f(2)，x3=f(3)，x4=f(4)，．．．，xn=f(n)数列{xn}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1，x2，x3，…，xn

，…．第五十四页，共194页。例如xn=a．而数列{2n}，{(-1)n+1}，是发散的．记为2.数列的极限的通俗定义：对于数列{xn}，如果当n

无限增大时，数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a，则称常数a

是数列{xn}的极限，或称数列{xn}收敛于a．如果数列没有极限，就说数列是发散的．所以数列是收敛的．第五十五页，共194页。问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗显然不能.问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.第五十六页，共194页。

“当n无限增大时，xn无限接近于a”等价于：当n无限增大时，|xn-a|无限接近于0；或者说，要|xn-a|有多小，只要n足够大，|xn-a|就能有多小．第五十七页，共194页。这就是“当n无限增大时，xn无限地接近于1”的实质和精确的数学描述。第五十八页，共194页。3.极限的精确定义：

定义如果数列{xn}与常数a

有下列关系：对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N

时的一切xn,不等式|xn-a|<e都成立,则称常数a

是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，或xn

a(n

)．记为如果数列没有极限，就说数列是发散的．第五十九页，共194页。数列极限的几何意义：

对于任意给定的正数e，总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式|xn-a|<e都成立．从几何上说，就是任意给定a的e邻域(a-e,a+e)，总存在正整数N，使得当n>N

时，所有的点xn都落在区间(a-e,a+e)内，而只有有限(至多只有N个)个在区间(a-e,a+e)以外.xOaa-ea+e()x1x

NxN+1xN+2xN+3xN+5xN+4x2第六十页，共194页。对于任意给定的正数e>0，.1)1()1(1)1(|1|111nnnnnnnxnnnn=-=--+=--+=----要使,1|1|e<=-nxn,1e>n只需4、用定义证明极限举例分析：故取.1=eN[]第六十一页，共194页。证明：因为对于任意给定的e>0，存在N=[1/e]，

使当n>N时，有所以=e1|1|=-nxn.1)1(lim1=-+-nnnn第六十二页，共194页。对于任意给定的e

>0，要使只需故取分析：第六十三页，共194页。所以证明：因为对任意给定的正数e>0(任意小),存在使当n>N时，有e=)1(12+=n0)1()1(|0|2-+-=-nxnn第六十四页，共194页。注①定义习惯上称为数列极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用|xn－a|＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）.②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。第六十五页，共194页。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由|xn－a|＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n

＞N时，不等式|xn－a|＜ε成立。在证明极限时ε，n，N之间的逻辑关系如下图所示|xn－a|＜εn

＞N第六十六页，共194页。④定义中的不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.第六十七页，共194页。对于任意给定的正数e>0，分析：要使

例3设|q|<1，证明等比数列

1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．第六十八页，共194页。使当n>N时，有所以.1lim1=-nnq

例3设|q|<1，证明等比数列

1，q，q2，…，qn-1，…的极限是0．第六十九页，共194页。矛盾!二、收敛数列的性质1.定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛，则其只有一个极限.

证用反证法.a≠b不妨设a＜b.第七十页，共194页。数列的有界性：对于数列{xn}，如果存在着正数M，使得对一切xn都满足不等式

|xn|M则称数列{xn}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{xn}是无界的．数列xn=2n(n=1，2，…)是无界的．2.定理2(收敛数列的有界性)

如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．第七十一页，共194页。证明：设数列{xn}收敛，且收敛于a．根据数列极限的定义，对于，存在正整数N，使对于n>N时的一切xn，不等式|xn-a|<e=1

都成立．

于是，当n>N时，|xn|=|(xn-a)+a||xn-a|+|a|<1+|a|．取M=max{|x1|，|x2|，…,|xN|，1+|a|}，那么数列{xn}中的一切

xn都满足不等式|xn|M．这就证明了数列{xn}是有界的．第七十二页，共194页。3.定理3(收敛数列的保号性)

如果数列{xn}收敛于a，且a>0(或a<0),则存在正整数N>0,当n>N时,都有xn

>0．

推论如果数列{xn}收敛于a，且从某项起有xn≥0(或xn≤0),则a

≥0(或a

≤0).第七十三页，共194页。2．如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界．发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?讨论：第七十四页，共194页。§1.3函数的极限2.自变量趋于无穷大时函数的极限1.自变量趋于有限值时函数的极限极限的通俗定义、极限的几何意义、极限的局部保号性、极限的精确定义、左右极限极限的通俗定义、极限的精确定义、极限的几何意义、水平渐近线一、函数极限的概念二、函数极限的性质第七十五页，共194页。关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势一、函数极限的概念第七十六页，共194页。函数极限的通俗定义：

在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一变化过程中函数f(x)的极限．第七十七页，共194页。先看一个例子这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo41.自变量趋于有限值时函数的极限第七十八页，共194页。第七十九页，共194页。f(x)=A或f(x)A(当x

x0)．

f(x)=Ae>0,

d>0,当0<|x-x0|<d时，有|f(x)-A|<e．1)函数极限的精确定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义.如果对于任意给定的正数e(不论它多么小)，总存在正数d，使得对于适合不等式0<|x-x0|<d的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e，那么常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限，记为第八十页，共194页。注①定义习惯上称为极限的ε—δ定义,其三个要素：10。正数ε，20。正数δ，30。不等式②定义中所以x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在x0附近的变化趋势，即x→x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点的情况。约定x→x0但

x≠x0.第八十一页，共194页。③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε，对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯一的。δ由不等式|f(x)－A|＜ε

来选定，一般地，ε越小，δ越小.2)几何解释:第八十二页，共194页。因此对于任意给定的正数e，当0<|x-x0|<d时，|f(x)-A|=|c-c|=0<e成立，举例：证明:这里|f(x)-A|=|c-c|=0，都有所以任意取一正数d

，第八十三页，共194页。成立．|f(x)-A|=|x-x0|<e当0<|x-x0|<d=e时,的正数e,总可取d=e,因此对于任意给定能使不等式所以证明：这里|f(x)-A|=|x-x0|，第八十四页，共194页。|f(x)-1|=|(2x-1)-1|=2|x-1|<e

，当0<|x-1|<d时，有只要|x-1|<，所以e>0，d=>0，

因此证明：

|f(x)-A|=|(2x-1)-1|=2|x-1|，为了使|f(x)-A|<，即可取d=第八十五页，共194页。所以e>0，d=e>0，从而只需|x-1|<d，|f(x)-2|=|x-1|<e

，使当0<|x-1|<d，有|f(x)-2|=|-2|要使|f(x)-2|<e，证明：注意函数在x=1是没有定义的．但这与函数在该点是否有极限并无关系．=|x+1-2|=|x-1|，即取d

=e

．第八十六页，共194页。例5设x0＞0,证明证恒有所以第八十七页，共194页。左右极限：

x

x0-表示x仅从x0的左侧趋于x0，而x

x0+表示x仅从x0的右侧趋于x0．若当x

x0-时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数

f(x)当x

x0时的左极限，记为若当x

x0+时，f(x)无限接近于某常数A，则常数A叫做函数

f(x)当x

x0时的右极限，记为第八十八页，共194页。讨论：左极限的e--d

定义：

若e>0，d>0，当

x0-

d

<x<x0时,有|f(x)-A|<e,则称常数A为函数f(x)当xx0时的左极限．左右极限的e--d定义如何叙述?第八十九页，共194页。yy=x-1-11y=x+1xO例6函数当x0时f(x)的极限不存在．因为f(x)的左极限右极限所以极限不存在．第九十页，共194页。A叫做函数f(x)当x

时的极限，若当x

时，f(x)无限接近于某常数A，2.自变量趋于无穷大时函数的极限类似地有和记为则常数讨论：通俗定义：叙述？三者之间的关系如何？第九十一页，共194页。设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的正数e，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<e，则常数A叫做函数f(x)当x

时的极限．精确定义：

结论：Axfx=¥®)(limÛ)(limxfx-¥®＝Axfx®+¥=)(lim．e>0,

X>0,

当

|x|>X时,有|f(x)-A|<e.第九十二页，共194页。y=f(x)O

xy-XXA-eA+eA极限¥®xlimf

(x)=A的几何意义：第九十三页，共194页。解不等式得，所以．

证明：故取X=．不等式成立．当|x|>X时，要证存在正数X，分析：设e是任意给定的正数．因为对e>0，X=，使当|x|>X时，有第九十四页，共194页。水平渐近线：直线y=0是函数y=的图形的水平渐近线．已知．xyO11第九十五页，共194页。如果，Oxy

p2p2y=arctanx例如，函数y=arctanx的图形的水平渐近线有两条：则直线y=c是函数y=f(x)的图形的水平渐近线．一般地，和．第九十六页，共194页。二、函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性定理

如果,那么存在正数d,M，使得当d<-<00xx时，有Mxf£|)(|.

定理

若存在,则极限唯一..

第九十七页，共194页。3(局部保号性)推论第九十八页，共194页。§1.4极限的运算法则一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则第九十九页，共194页。一、无穷小与无穷大如果函数f(x)当x

x0(或x

)时的极限为零，那么函数

f(x)叫做x

x0(或x

)时的无穷小．1.无穷小所以函数x-1是当x1时的无穷小．例如因为，第一百页，共194页。注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.第一百零一页，共194页。2.无穷小与函数极限的关系:证必要性充分性第一百零二页，共194页。例如，因为，而．所以．定理1说明如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限．意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);第一百零三页，共194页。3.无穷小的运算性质:定理2在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.第一百零四页，共194页。定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小?)sin11(lim2=+¥®xxxx问：第一百零五页，共194页。4.无穷大

如果当x

x0(或x

)时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，就说函数f(x)当x

x0

(或x

)时为无穷大，记为第一百零六页，共194页。注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;2.当x

x0(或x

)时为无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的．但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．第一百零七页，共194页。特殊情形：例如:第一百零八页，共194页。证第一百零九页，共194页。无穷小与无穷大的关系：

定理2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，)(1xf则为无穷大．第一百一十页，共194页。二、极限的四则运算法则定理3如果limf(x)=A，limg(x)=B，则（1）lim[f(x)g(x)]存在，且lim[f(x)g(x)]

=limf(x)limg(x)=A

B（2）limf(x)·g(x)存在，且

limf(x)·g(x)

=limf(x)·limg(x)=

A·B)()(limxgxf)(lim)(limxgxf=BA=第一百一十一页，共194页。定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商.定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立.说明:推论1即常数因子可以提到极限记号外面.推论2第一百一十二页，共194页。

解1．=2·11解第一百一十三页，共194页。例3解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得第一百一十四页，共194页。讨论：当x®x0时，多项式的极限有理分式的极限第一百一十五页，共194页。观察：第一百一十六页，共194页。小结:第一百一十七页，共194页。

先用x3去除分子及分母,然后取极限:解先用x3去除分子及分母,然后取极限:解

例4

求¥®xlim3572432323-+++xxxx．

例5

求¥®xlim52123232+---xxxx．第一百一十八页，共194页。解应用例6的结果得根据例5、6、7讨论有理函数当x时的极限：讨论：其中a00、b00，m和n为非负整数．=．

例6

求¥®xlim12352223--+-xxxx．第一百一十九页，共194页。结论：

当a00、b00，m和n为非负整数时．a0b0，当n=m，，当n<m．比较：0，当n>m，第一百二十页，共194页。

解当x时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用．但这是无穷小与有界函数的乘积，所以

例7

求¥®xlimxxsin．第一百二十一页，共194页。例8解(消去零因子法)第一百二十二页，共194页。

定理4设函数u=j(x)当x

x0时的极限存在且等于=ja，即0limxx(x)ax，且存在点0的某去心邻域内极限也存在，且注：三、复合函数的极限运算法则

把定理中0limxx®j(x)=a换成0limxx®j(x)=¥或¥®xlimj(x)=¥,

j(x)¹a,又au®limf(u)=A,则复合函数f[j(x)]

当x®

x0时的第一百二十三页，共194页。检查下各题的解过程是否有误，错误的地方如何改正？解题评析：第一百二十四页，共194页。例9求下列极限①②解解第一百二十五页，共194页。③解第一百二十六页，共194页。④解第一百二十七页，共194页。

§1.5极限存在准则与重要极限准则I：

如果函数g(x)、f(x)及h(x)满足下列条件：1.准则I：

如果数列{xn

}、{yn}及{zn}满足下列条件：(1)ynxnzn(n=1，2，3，…)，第一百二十八页，共194页。准则Ⅰ和准则Ⅰ'称为夹逼准则.注意:夹逼定理示意图第一百二十九页，共194页。例1解由夹逼准则得第一百三十页，共194页。

2.准则II

如果数列{x

n}满足条件x1x2x3

…x

nx

n+1

…就称数列{x

n}是单调增加的；如果数列{x

n}满足条件x1x2x3

…x

nx

n+1

…就称数列{x

n}是单调减少的．单调增加和单调减少数列统称为单调数列．第一百三十一页，共194页。

注：在第三节中曾证明：收敛的数列一定有界．但那时也曾指出：有界的数列不一定收敛．现在准则II表明：如果数列不仅有界，并且是单调的，那么这数列的极限必定存在，也就是这数列一定收敛．准则II：

单调有界数列必有极限．几何解释:第一百三十二页，共194页。例2证(舍去)第一百三十三页，共194页。首先注意到设法构造一个“夹逼不等式”，使函数在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数g(x),h(x)

之间，以便应用准则Ⅰ‘.3.第一个重要极限：第一百三十四页，共194页。

即sinx<x<tanx．因此于是AOB的面积<扇形AOB的面积<AOD，证明：OCADB1)x第一百三十五页，共194页。注此结论可推广到

因为，令u=a(x)，则u

0，于是=0lim®uuusin1=．第一百三十六页，共194页。

解=1．第一百三十七页，共194页。例3求解：第一百三十八页，共194页。4.第二个重要极限e

是个无理数，它的值是e=···．还可证明界．根据准则II，数列{x

n}必有极限．可以证明数列{x

n}是单调增加并且有这个极限我们用e

来表示．即第一百三十九页，共194页。

此结论可推广到注第一百四十页，共194页。

令t=-x，则x

时，t

．于是例4解1一般地解2第一百四十一页，共194页。解1解2例5求第一百四十二页，共194页。

两个无穷小比值的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度．在x

0的过程中，x20比3x

0“快些”，反过来3x

0比x20“慢些”，而sinx

0与x

0“快慢相仿”．观察两个无穷小比值的极限：1.无穷小的阶§1.6无穷小的比较第一百四十三页，共194页。设a及b都是自变量在同一个变化过程中的无穷小．就说b是比a高阶的无穷小，记为b=o(a)；就说b是比a低阶的无穷小．就说b与a是同阶无穷小；就说b是关于a的k

阶无穷小．就说b与a是等价无穷小，记为a~b．阶的定义：第一百四十四页，共194页。

举例：所以当x

3时，x2-9与x

-3所以当x

0时，3x2是比x

高阶即3x2=o(x)(x

0)．是同阶无穷小．的无穷小，第一百四十五页，共194页。

关于x

的二阶无穷小．所以当x

0时，1-cosx

是价无穷小，即sinx~x(x

0)．所以当x

0时，sinx

与x是等等价关系具有：自反性，对称性，传递性第一百四十六页，共194页。常用等价无穷小:注上述等价无穷小必须熟练掌握第一百四十七页，共194页。用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有定理12.等价无穷小的应用第一百四十八页，共194页。例1解第一百四十九页，共194页。

定理表明，求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选取得适当，则可使计算简化．第一百五十页，共194页。

当x

0时，tan2x~2x，sin5x~5x，所以当x

0时sinx~x，无穷小x3+3x

与本身等价，例2所以

解

解第一百五十一页，共194页。例4解错解注意不能滥用等价无穷小代换.第一百五十二页，共194页。

§1.7函数的连续性与间断点f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO

设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的．当自变量x

在这邻域内从x0变到x0+Dx时，函数y相应地从f(x0)变到f(x0+Dx)，因此函数y的对应增量为

Dy

=f(x0+Dx)-f(x0)．一、函数连续的概念函数的增量:第一百五十三页，共194页。

定义1

设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果当自变量的增量Dx

=x-x0趋于零时，对应的函数的增量Dy

=f(x0+Dx)-f(x0)也趋于零，即那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．函数连续的定义:第一百五十四页，共194页。第一百五十五页，共194页。例1证由定义2知第一百五十六页，共194页。

用e-d语言叙述的函数的连续性定义：设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义，如果对于任意给定义的正数e，总存在正数d，使得对于适合不等式|x-x0|<d

的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-f(x0)|<e，那么就称函数y=f(x)在点x0处连续．讨论：如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？第一百五十七页，共194页。单侧连续函数y=f(x)在点x0处连续函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续左右连续与连续的关系：第一百五十八页，共194页。例2解右连续但不左连续,第一百五十九页，共194页。

函数在区间上的连续性：在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.第一百六十页，共194页。

4．函数y=cosx

在区间(-，+)内是连续的．3．函数y=sinx

在区间(-，+)内是连续的．连续函数举例：1．如果f(x)是多项式函数，则函数f(x)在区间(-，+)内是连续的．第一百六十一页，共194页。二、函数的间断点第一百六十二页，共194页。

(1)在x

=x0没有定义；则函数f(x)在点x0不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点．设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数f(x)有下列三种情形之一：间断点的定义：第一百六十三页，共194页。例1解间断点举例：

所以x=0是函数

f(x)的间断点．第一百六十四页，共194页。

1x-1

因为当x0时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，所以点x=0称为函数sinx1的振荡间断点．第一百六十五页，共194页。

xy21O1所以点x=1是函数的间断点．第一百六十六页，共194页。

如果补充定义：当x=1时，令y=2，则所给函数在x=1成为连续．所以x=1称为该函数的可去间断点．xy21O1

实际上，xy21O1第一百六十七页，共194页。

因此x=1是函数f(x)的间断点．11xyO如果改变函数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则函数f(x)在x=1成为连续．x=1也称为该函数的可去间断点．11xyO

第一百六十八页，共194页。例5解例3-例5间断点的共同点:第一百六十九页，共194页。

通常把间断点分成两类：如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在，那么x0称为函数f(x)的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点．间断点的类型:第一百七十页，共194页。§1.8连续函数的运算与初等函数的连续性一、四则运算的连续性定理1例如,第一百七十一页，共194页。

所以它的反函数y=arcsinx

在闭区间[-1,1]上也是单调增加且连续的．2．反函数的连续性

定理2如果函数f(x)在区间Ix

上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间Iy={y|y=f(x)，xI

x}上单调增加（或单调减少）且连续．

例如

由于y=sinx

在闭区间[2

p-，2

p]上单调增加且连续，第一百七十二页，共194页。

同样，y=arccosx

在区间[-1，1]上也是单调减少且连续；y=arctanx

在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccotx

在区间(-，+)内单调减少且连续．总之，反三角函数arcsinx、arccosx、arctanx、arccotx在它们的定义域内都是连续的．第一百七十三页，共194页。3．复合函数的连续性定理3注1.定理的条件：内层函数有极限，外层函数在极限值点处连续意义在定理的条件下，极限符号可以与函数符号互换，即极限号可以穿过外层函数符号直接取在内层，即第一百七十四页，共194页。例1解所以

例2

求93lim23--®xxx．

解

y=93