电动力学课件2015-第二章-4

§2.5格林函数法第3节讨论无电荷区域的静电场第4节讨论点电荷产生的静电场本节讨论更一般的情况问题1接地无限大平面导体附近有一点电荷Q，求空间中的电场。如果有两个自由点电荷呢？有电荷的连续分布呢？象电荷是一个点电荷,电量为-q,位于z=-a在电势为V的导体内有一半径为R的球形空腔,空腔内充满介电常量为ε的电介质,有一点电荷q位于离空腔中心为a(a<R)的地方,求空腔内的电势

为什么有V？边界的影响！问题2静电问题的唯一性定理设已知V内自由电荷分布,在V的边界S上给定(1)电势或(2)电势的法线方向偏导数则V内的电势由泊松方程和边值关系唯一确定。

n由j指向i给定给定两类边界两类影响第一类边值问题的Green公式解V给定了S(V内)边界条件：G称为Green函数电荷分布所激发的场边界条件所激发的场

Green函数一般用表示，表示单位电荷所在的位置，代表观察点，Green函数所满足的方程和边界条件为第一类边值问题的格林函数例上半空间的第一类边值问题的G？例：接地导体板上的电场如果有两个自由点电荷呢？有电荷的连续分布呢？边界条件：V给定了S第二类边值问题的Green公式解

Green函数一般用表示，表示单位电荷所在的位置，代表观察点，Green函数所满足的方程和边界条件为第二类边值问题的格林函数S是界面的总面积在电势为V的导体内有一半径为R的球形空腔,空腔内充满介电常量为ε的电介质,有一点电荷q位于离空腔中心为a(a<R)的地方,求空腔内的电势

为什么有V？边值条件的影响一、点电荷密度的函数表示因为点电荷分布的特点是在点电荷所在处的电荷密度变为无穷大，而在其他地方电荷密度为零。若在处有一点电荷Q，则电荷密度可写为显然对于单位点电荷而言，Q=1，其密度为二、Green函数Green函数一般用表示，表示单位电荷所在的位置，代表观察点，Green函数所满足的方程和边界条件为满足上述两类边界条件的解称为泊松方程在区域V的第一类或第二类边值问题的Green函数。实际上就是单位点电荷在V内满足边界条件所激发的场函数！Green函数法的基础：格林定理已知ψ、φ皆为连续、可微的标量点函数ψ和φ对调格林定理1格林定理2待求的边值问题：选取的Green函数在V内满足：S边界满足：取满足V给定了S三、边值问题的Green公式解x’是V内任选的固定点

取满足代入Green第二公式式中积分,微分都是对变量进行的,由于Green函数关于源点和场点是对称的,即为习惯起见，把变量换为，

改为，即得该式左边第二项为得到x与x’交换,故得到这就是用Green函数求解静电问题的形式解。

讨论：

a)在区域V中，任一点的势唯一地决定于电荷分布及边界的值其中每一项都已知与G有关吗？注意

b)如果所取的Green函数属于第一类问题，取第一类Green函数这时则有就是第一类边值问题的解

c)如果所取的Green函数属于第二类问题，取第二类Green函数在这里要说明一点的是：对第二类静电边值问题不能用因为Green函数所代表的物理意义是在处存在一个单位电荷在空间所激发的电势。因此即代表单位电荷在边界上所激发的电场的垂直分量，由Gauss定理知道由此可见故从而，Green函数在边界上的最简单的形式是取这样第二类静电边值问题的Green函数解的形式为：式中为在边界面S上的平均值。

在实际问题中，常遇到这类问题：在所考察的区域包含有无穷大的边界面，假如，考察一导体球外的空间电势分布问题，这时所考察的区域是球面和无穷大曲面间包围的区域，所以这时边界面S→∞故有于是故得到此式称为第二类边值问题的Green函数解的形式。四、Green函数的制作以上的讨论，表面上似乎把静电边值问题的解找到了，其实并非如此，因为只有把问题的Green函数找到了，才能对表达式（第一类边值问题的形式解和第二类边值问题的形式解）作出具体的计算。实际求Green函数本身并不是件容易的事，所以以上解的形式只具有形式解的意义。当然，它把唯一性定理更具体地表达出来了。下面介绍几种不同区域的Green函数的制作方法。（1）无界空间的Green函数在无穷大空间中放一个单位点电荷,求空间某处的电势,就是Green函数。其中，代表单位电荷的所在位置（源点坐标），代表观察点坐标（场点坐标）。上述Green函数满足微分方程和边界条件。这里把与互换，不变，即有这就说明Green函数具有对称性。（2）上半空间的Green函数在接地导体平面的上半空间，由于，属于第一类边值问题。

根据镜象法得到：yzor2r1点放置单位电荷上半空间的解,z=0平面电势为0点电荷从(0,0,a)换为(x’,y’,z’)这也可看到（3）球外空间的

Green函数在接地导体球外的空间，由，属于第一类边值问题。yzxRR'R0r'αθθ'oa→R’θ→αyzxRR'R0r'αθθ'o注意注意其中：根据镜象法得例1:y=0的xoz平面是无限大导体平面,使从x=-a到x=a的一段电势为U0,其余部分电势为零,求y>0空间的电势分布半空间第一类格林函数为

例2:在无穷大导体平面上有半径为a的圆,设圆内电势为V0,其余部分电势为零,求上半空间的电势。azxyRP(R,φ,z)P'(R',φ',z')V0R'柱坐标注意到cos(φ-φ')对φ'一个或数个2π周期的积分为零，故利用其中例3:已知半径为R0的球面上电势为f(θ,φ),试求球外空间的电势分布

球外空间没有电荷,给定了球面上的电势分布,这是球外空间拉普拉斯方程第一边值问题积分在球面上和无穷大球面上进行,但无穷大球面上φ(x’)≡0,对积分无贡献。在球面上有φ(x’)=f(θ,φ),利用球外空间第一边值问题的格林函数例4:半径为R0的球,上半球电势为Φ0,下半球电势为-Φ0,中间用绝缘盘隔开,求球外电势。

结果

在制作Green函数时，必须注意：求Green函数不是很容易的，只有当区域具有简单几何形状时才能得出解析的解，如果时，Green函数法也可以用来解Laplaceequation的边值问题。分离变量法和镜像法能解的情况1、分离变量法能解的情况：自由电荷在边界上,在要求解电场区域没有自由电荷(泊松方程转变为拉普拉斯方程)+边界条件。2、镜像法能解的情况：在求解区域内没有自由电荷,或者只有有限几个点电荷,并且区域边界或介质界面规则(电场能用等效电荷代替)+边界条件。

能用Green定理求解