角动量守恒与行星运动

角动量接着找寻运动状态中的不变量课程回顾角动量概念的引入质点系角动量定理角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。质心系的角动量定理

设LC

为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩，MC惯为惯性力对质心的力矩。则有：

由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为：即：不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍旧适用。体系的角量与质心的角动量虽然在质心系中角动量定理仍旧适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应当是确定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。体系的角动量与质心的角动量

设在惯性系K中，体系相对原点的角动量为L。在质心系KC中，体系相对于质心的角动量为LCM，则有：令：称为质心角动量称为体系相对于质心的角动量则有：即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。两体问题下的角动量表达两体运动方程：约化质量：依据牛顿其次运动定律表述，动量变更率为作用力，在两体问题中，动量为：两个质点相对于质心的角动量为：两体问题对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替。这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为的质点在固定力心的有心力作用下的运动。也就把两体问题化成单体问题。

其中：即其运动规律满足：质点在有心力场中的运动有心力所谓有心力，就是方向始终指向（或者背向）固定中心的力该固定中心称为力心。在很多状况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即有心力存在的空间称为有心力场。如万有引力场、库仑力场、分子力场。在前面的课程中指出，有心力场都是保守力场。有心力场质点运动的一般特征在有心力场中，质点运动方程为：其特征为：(1)运动必定在一个平面上–有心力轨道定律当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径所构成的平面内运动。往往用平面极坐标描述运动。取力心为原点，运动方程则为(2)两个守恒量有心力是保守力，质点机械能守恒对上式两边×r后再对时间积分得到：有心力对原点力矩为零，角动量守恒(3)有效势能与轨道特征因L是运动常量，故机械能守恒定律可写为：为等效斥力,对应一斥力mL2/r3作用在质点上，Ep(r)视具体的有心力形式而定。假如只须要知道轨道特征而不求具体的运动状况，那么利用:掠面速度的两倍得到：令u=1/r假如有心力为万有引力的状况那么可以有其中这是圆锥曲线方程：依据有效势能表达式做出势能曲线假如有心力为万有引力的状况则有：利用势能曲线对引力场轨道特征的探讨质点总能量E的大小确定了质点在有心力场中的运动范围，即质点可做不同类型的轨道运动。拱点：质点的总能量为E的水平线与有效势能曲线的交点拱点的性质：

在拱点处，r取极值，则有那么可以得到：解该方程获得拱点处r值。探讨：1)E>0，只有一个拱点对应双曲线状况2)E=0，只有一个拱点对应抛物线状况3)Emin<E<0，有两个拱点对应椭圆状况4)E=Emin，两个拱点重合对应圆的状况开普勒第三定律的证明任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星椭圆轨道的半长轴的立方成正比依据前面的计算那么这是一个与行星无关的常数如何由开普勒定律推出万有引力定律？依据开普勒其次定律，行星角动量守恒，必定受到以太阳为力心的有心力作用。我们可以从功能原理动身求出行星动能的增量：以太阳为极点的极坐标系中，行星动能可以表示为：由开普勒第确定律：由开普勒其次定律那么动能为：再由开普勒第三定律为与行星无关的太阳系普世常数太阳系系统为什么是稳定的?牛顿提出万有引力理论的时候，有人就问：既然宇宙间(太阳系)只有引力，为什么这些物体不最终塌缩到一起，还能处于相对分散的状态？初始角动量在这里扮演斥力的角色，而且随着r的减小，斥力渐渐增大，变更趋势大于万有引力的变更趋势，在某个r将会阻挡两物体距离进一步缩小。可以说初始角动量使得我们处在的太阳系行星系统稳定存在