齿轮基础渐开线的形成

关于齿轮基础渐开线的形成第1页，共75页，2023年，2月20日，星期日§1－1齿轮机构的应用和分类作用：传递空间任意两轴（平行、相交、交错）的旋转运动，或将转动转换为移动。优点：①传动比准确、传动平稳。②圆周速度大，高达300m/s。③传动功率范围大，从几瓦到10万千瓦。④效率高(η→0.99)、使用寿命长、工作安全可靠。⑤可实现平行轴、相交轴和交错轴之间的传动。缺点：要求较高的制造和安装精度，加工成本高、不适宜远距离传动。第2页，共75页，2023年，2月20日，星期日平面齿轮传动（轴线平行）外齿轮传动直齿斜齿人字齿圆柱齿轮非圆柱齿轮

空间齿轮传动（轴线不平行）按相对运动分按齿廓曲线分直齿斜齿曲线齿圆锥齿轮两轴相交两轴交错蜗轮蜗杆传动交错轴斜齿轮准双曲面齿轮渐开线齿轮(1765年)摆线齿轮(1650年)圆弧齿轮(1950年)按封闭形式分：齿轮传动的类型开式齿轮传动、闭式齿轮传动。球齿轮抛物线齿轮(近年)分类：内齿轮传动齿轮齿条第3页，共75页，2023年，2月20日，星期日2ω2作者：潘存云教授1ω1椭圆齿轮准双曲面齿轮作者：潘存云教授斜齿圆锥齿轮作者：潘存云教授曲线齿圆锥齿轮第4页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授o1ω1§1－2齿轮的齿廓设计1.齿廓啮合基本定律得：

i12＝ω1/ω2＝O2P/O1P齿廓啮合基本定律:

互相啮合的一对齿轮在任一位置时的传动比，都与连心线O1O2被其啮合齿廓的在接触处的公法线所分成的两段成反比。根据三心定律可知：P点为相对瞬心。nnPo2ω2k由：

v12＝O1Pω1v12＝O2Pω2第5页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授节圆

节圆：r’1r’2两节圆相切于P点，且两轮节点处速度相同，故两节圆作纯滚动。r’1r’2a=r’1+r’2中心距：o1ω1nnPo2ω2ka共轭齿廓：一对能实现预定传动比(i12=ω1/ω2)规律的啮合齿廓。如果要求传动比为常数，则应使O2P/O1P为常数。由于O2

、O1为定点，故P必为一个定点。第6页，共75页，2023年，2月20日，星期日----应用最广渐开线2.齿廓曲线的选择

理论上，满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多，但考虑到便于制造和检测等因素，工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓曲线，如渐开线、其中应用最广的是渐开线，其次是摆线(仅用于钟表)和变态摆线。(摆线针轮减速器)，近年来提出了圆弧和抛物线。渐开线具有很好的传动性能，而且便于制造、安装、测量和互换使用等优点。本章只研究渐开线齿轮。摆线变态摆线圆弧抛物线

渐开线齿廓的提出已有近两百多年的历史，目前还没有其它曲线可以替代。第7页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授§1－3渐开线的形成及其特性1、渐开线的形成和特性―条直线在圆上作纯滚动时，直线上任一点的轨迹2、渐开线的特性②渐开线上任意点的法线切于基圆,切点B点为曲率中心，BK为曲率半径。

渐开线起始点A处曲率半径为0BK－发生线，①

AB=BK;tt发生线Bk基圆OArkθk基圆－rbθk－AK段的展角－渐开线渐开线rb第8页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授OABkαkvkA1B1o1θkK

④渐开线形状取决于基圆⑤

基圆内无渐开线。当rb→∞，变成直线。rkθkαk③离中心越远，渐开线上的压力角越大。rb定义：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。cosαk

＝rb/rkB3o3θkA2B2o2顺口溜：弧长等于发生线，基圆切线是法线，曲线形状随基圆，基圆内无渐开线。第9页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授为使用方便，已制成函数表待查。3、渐开线函数tgαk=BK/rb

θk=tgαk-αk上式称为渐开线函数，用invαk

表示：θk

＝invαk4、渐开线方程（极坐标方程）=rb(θk+αk)/rb＝tgαk-αk=AB/rb)rkθkαkOABkαkvkrbθk

＝invαk＝tgαk-αkrk=rb/cosαk第10页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N2N1ω2O2rb2O1ω1要使两齿轮作定传动比传动，则两轮的齿廓无论在任何位置接触，过接触点所作公法线必须与两轮的连心线交于一个定点。两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。i12=ω1/ω2=O2P/O1P=const工程意义：i12为常数可减少因速度变化所产生的附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命，提高机器的工作精度。两轮中心连线也为定直线，故交点P必为定点。在位置K’时同样有此结论。C1C2KPK’1.渐开线齿廓满足定传动比要求§1－4渐开线齿廓的啮合特性第11页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N2N1ω2O2rb2O1ω12.齿廓间正压力方向不变N1N2是啮合点的轨迹，称为啮合线由渐开线的性质可知：啮合线又是接触点的法线，正压力总是沿法线方向，故正压力方向不变。该特性对传动的平稳性有利。C1C2K啮合线与节圆公切线之间的夹角α’

，称为啮合角实际上α’就是节圆上的压力角K’Pα’第12页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授rb1ω2O2rb2O1ω1N2N1PC1C2K3.运动可分性△O1N1P≌△O2N2P由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。实际安装中心距略有变化时，不影响i12，这一特性称为运动可分性，对加工和装配很有利。故传动比又可写成：

i12=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1－－基圆半径之反比。基圆半径是定值rb2rb1第13页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授rbO一、外齿轮1.名称与符号pn齿顶圆－

da、ra齿根圆－

df、rf齿厚－

sk

任意圆上的弧长齿槽宽－

ek

弧长齿距（周节）－

pk=sk+ek

同侧齿廓弧长齿顶高ha齿根高

hf齿全高

h=ha+hf齿宽－

BhahfhBpra分度圆－－人为规定的计算基准圆表示符号：

d、r、s、e，p=s+e法向齿距（周节）－

pnseskek=pbpbrfrpk§1－5渐开线齿轮各部分的名称和尺寸第14页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授m=4z=162.基本参数②模数－m①齿数－z出现无理数,不方便为了计算、制造和检验的方便分度圆周长：πd=zp,d=zp/π称为模数m

。m=2z=16模数的单位：mm，它是决定齿轮尺寸的一个基本参数。齿数相同的齿轮，模数大，尺寸也大。于是有：

d=mz，r=mz/2人为规定：

m=p/π只能取某些简单值，m=1z=16第15页，共75页，2023年，2月20日，星期日

0.350.70.91.752.252.75(3.25)3.5(3.75)第二系列

4.55.5(6.5)79(11)14182228(30)3645标准模数系列表（GB1357－87）

0.10.120.150.20.250.50.40.50.60.8第一系列

11.251.522.5345681012162025324050为了便于制造、检验和互换使用，国标GB1357-87规定了标准模数系列。第16页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授OωrbOrfrarbr速度方向正压力方向N③分度圆压力角得:αi＝arccos(rb/ri)由

rb＝ricosαi定义分度圆压力角为齿轮的压力角：对于同一条渐开线：ri↓→αi

↓αb＝0α1AαB1K1r1αiαiriBiKi第17页，共75页，2023年，2月20日，星期日由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。规定标准值：α＝20°由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。称

m、z、α为渐开线齿轮的三个基本参数。对于分度圆大小相同的齿轮，如果α不同，则基圆大小将不同，因而其齿廓形状也不同。α是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数。或rb＝rcosα，α＝arccos(rb/r)db＝dcosα某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25°如航空齿轮。第18页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授齿轮各部分尺寸的计算公式：齿顶高：ha=ha*m齿根高：hf=(ha*+c*)m全齿高：h=ha+hf齿顶圆直径：

da=d+2ha齿顶高系数:ha*齿根圆直径：

df=d-2hf顶隙系数:c*分度圆直径：

d=mz=(2ha*+c*)m=(z+2ha*)m=(z-2ha*-2c*)mrrf正常齿：

ha*＝1短齿制：

ha*＝0.8正常齿：

c*＝0.25短齿制：

c*＝0.3rahahfh（顶隙c=c*m）第19页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授hahfhBprarfrpnpbrbO基圆直径：法向齿距：标准齿轮的含义：一个标准齿轮的基本参数和参数的值确定之后，其主要尺寸和齿廓形状就完全确定了。=mzcosα=πdb/z=πmcosα=pcosα统一用pb表示m、α、取标准值，ha*

、c*

取标准值，且e=s的齿轮Nαdb=dcosαpn=pbse第20页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授B二、齿条特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行1)压力角处处相等，且等于齿形角，2)齿距处处相等:

p=πm其它参数的计算与外齿轮相同,如：

s=πm/2e=πm/2

esppnhahfz→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线ha=ha*mhf=(ha*+c*)mpn=pcosαα为常数。ααα第21页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授pnhNαsehahfpBOrbrfra1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。2)df>d>da三、内齿轮3)为保证齿廓全部为渐开线，，da＝d-2ha,df＝d+2hf结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。不同点：要求da>db。r第22页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授riCCsiBB§1－6渐开线直齿圆柱齿轮任意圆上的齿厚设计和检验齿轮时，常需要知道某些圆上的齿厚。一般表达式：si=CC=riφφ=∠BOB-2∠BOCSi=riφ其中：αi=arccos(rb/ri)顶圆齿厚：Sa=(sra/r)-2ra(invαa-invα)节圆齿厚：S’=(sr’/r)-2r’(invα’-invα)基圆齿厚：Sb=(srb/r)+2rbinvα=cosα(s+mzinvα)=scosα+2rcosαinvα

=(sri/r)-2ri(invαi-invα)(9-7)=(s/r)=(s/r)-2(-2(θi-θ)sainvαi-invα)NαiαrraAArbOssbφθiθ第23页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授作者：潘存云教授rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2rb2r2O2ω2rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1rb1r1O1ω1pb2pb2pb2pb1pb1<pb2pb1>pb2pb1=pb2pb1pb1不能正确啮合!不能正确啮合!能正确啮合!一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？m1<m2从外观看齿1比齿2小m1>m2外观齿1比齿2大PN1N2B2B1B1PN1N2B2PN1N2B1B2§1－7渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动第24页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授rb2r2O2rb1r1O1ω1ω2PN1N2B2B1要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合，两齿轮的相邻两齿同侧齿廓间的法向距离应相等：1.正确啮合条件

pb1=pb2将pb=πmcosα代入得：

m1cosα1=m2cosα2因m和α都取标准值，使上式成立的条件为：m1=m2

，α1=α2结论：一对渐开线齿轮的正确啮合条件是它们模数和压力角应分别相等。pb2pb1第25页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授rb2r2O2r1O1ω1ω2PN1N2rb1对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：1)理论上齿侧间隙为零2)顶隙c为标准值。

储油用此时有：

a=ra1+c+rf2=r1+ha*m=r1+r2为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证。ra1ra1rf2rf2acs‘1-e’2=0c=c*m+c*m+r2-(ha*m+c*m)=m(z1+z2)/2a=r1+r2标准中心距标准安装2.中心距a及啮合角α’(1)中心距a及啮合角α’第26页，共75页，2023年，2月20日，星期日安徽工程科技学院专用作者：潘存云教授重要结论：a’cosα’=acosα作者：潘存云教授因此有：α’=αα’=αarb2O2O1ω1ω2PN1N2rb1两轮节圆总相切：

a=r’1+r’2

=r1+r2两轮的传动比：

i12=r’2/r’1r’1=r1r’2=r2=r2/r1非标准装时，两分度圆将分离，此时有：a’>a→r’>rr’2=r2r’1=r1标准安装时节圆与分度圆重合。定义：N1N2

线与VP

之间的夹角，称为啮合角α’，即节圆压力角。α’arb2O2O1ω1ω2PN1N2rb1α’>αr’2>r2r’1>r1基圆不变：rb1＋rb2=

(r1’+r2’)cosα’→α’>α且：

rb1＋rb2=acosα=a’cosα’α’>αr’2>r2r’1>r1第27页，共75页，2023年，2月20日，星期日重要结论！节线与分度线不重合

作者：潘存云教授作者：潘存云教授O11N1rf1ra1ω1v22特别注意：▲分度圆和压力角是单个齿轮就有的；

▲节圆和啮合角是两个齿轮啮合后才出现的。(2)齿轮齿条传动标准安装：N1N2

线与齿廓垂直，且与基圆相切，故节点位置不变，有：α’=αN2α’=α无穷远r1’=r1

α’＝αr1B1B2O11N1rf1ra1ω1r1Pr1’=r1

，α’＝α

节线与分度线重合;非标准安装：N2v22B1B2P第28页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N1N2O1rb1Prb2ω2ω1O23.一对轮齿的啮合过程轮齿在从动轮顶圆与N1N2

线交点B2处进入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。随着传动的进行，啮合点沿N1N2

线移动。在主动轮顶圆与N1N2

线交点处B1脱离啮合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好相反。B1B2

－实际啮合线N1N2

：因基圆内无渐开线理论上可能的最长啮合线段--N1、N2

－啮合极限点阴影线部分－齿廓的实际工作段。理论啮合线段ra2B1----终止啮合点B2

----起始啮合点N1N2ra1B2B1第29页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授pb4.连续传动条件为保证连续传动，要求：实际啮合线段B1B2≥pb

(齿轮的法向齿距)，定义:

ε=B1B2/pb

为一对齿轮的重合度一对齿轮的连续传动条件是：为保证可靠工作，工程上要求：[ε]的推荐值：使用场合一般机械制造业汽车拖拉机金属切削机

[ε]1.41.1～1.21.3即：

B1B2/pb≥1ε≥[ε]ε≥1

采用标准齿轮，总是有：ε≥1故不必验算。O1N2N1KO2ω2ω1B1B2第30页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N1N2O1rb1rb2O2Pα’αa2重合度计算公式：εα=B1B2/pb＝(PB1+PB2)∴εα=[z1(tgαa1-tgα’)+z2(tgαa2-tgα’)]/2π其中：PB1＝B1N1-PN1＝rb1tgαa1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝B2N2-PN2＝rb2tgαa2＝z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2①外啮合传动-rb1tgα’α’αa1-rb2tgα’/πmcosα

B2ra2ra1B1第31页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授PN1O1②齿轮齿条传动：PB1＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2PB2＝h*am/sinα代入得：εα=[z1

(tgαa1-tgα’

)]/2π

+h*a/πcosαsinαεα＝

B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

α’α’αa1B1B2h*am第32页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N2PO2ra2rb2εα＝

B1B2/pb＝(PB1+PB2)/πmcosα

∴εα=[Z1(tgαa1-tgα’)-Z2(tgαa2-tgα’)]/2πPB2＝PN2-B2N2＝rb2tgα’＝-z2mcosα(tgαa2-tgα’)/2③内啮合传动PB1＝B1N1-PN1αa1α’αa2<α’＝z1mcosα(tgαa1-tgα’)/2

同上εα的物理意义：表示同时参与啮合的轮齿对数的平均值。-rb2tgαa2α’αa2-rb1tgα’＝rb1tgαa1N1O1ra1rb1B1B2第33页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授rb2rb2单齿啮合区双齿啮合区双齿啮合区εα=

1.45B1B2=εαPb

=

1.45Pb第一对齿在B2点进入啮合第一对齿从B2运动到B3点时；第一对齿从B3运动到B1点时；第一对齿在B1点脱离啮合后；只有第二对齿处于啮合状态。当第二对齿从B4点运动到B3点时；第三对正好在B2点进入啮合。开始一个新的循环。2单齿啮合区长度：

L1＝εαPb

－2(εα－1)Pb

＝(2－εα)Pb

双齿啮合区长度：

L2＝2(εα－1)Pb

2第二对齿在B2点恰好进入啮合。第二对齿从B2运动到B4点时。1N2N1P1B31B1B41.45PbPbPb0.45Pb0.45Pb0.55PbB223第34页，共75页，2023年，2月20日，星期日§1－8渐开线齿轮的切制齿轮加工方法成形法盘铣刀指状铣刀铸造法热轧法冲压法模锻法粉末冶金法切制法最常用铣削拉削1.成形法铣削范成法(展成法共轭法包络法)插齿滚齿剃齿磨齿一、齿轮加工方法二、齿廓切制的基本原理第35页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授指状铣刀加工盘铣刀加工铣刀旋转，工件进给分度、断续切削。适用于加工大模数m>20

的齿轮和人字齿轮。进给分度分度切削ω切削ω进给第36页，共75页，2023年，2月20日，星期日成形法加工的特点：产生齿形误差和分度误差，精度较低，加工不连续，生产效率低。适于单件生产。由db=mzcosα可知，渐开线形状随齿数变化。要想获得精确的齿廓，加工一种齿数的齿轮，就需要一把刀具。这在工程上是不现实的。第37页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授ωω0ωω0齿轮插刀加工i=ω0/ω=z/z02.范成法2.1齿轮插刀共轭齿廓互为包络线切削运动ωω0范成运动让刀运动第38页，共75页，2023年，2月20日，星期日进给切削让刀ωv范成V＝ωr＝ωmz/22.2齿条插刀插齿加工过程为断续切削，生产效率低。齿条插刀加工时齿廓包络过程第39页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授滚刀进给运动进给ω0ωvω切削运动分齿运动V＝ωr＝ωmz/2γ滚刀倾斜tt滚刀轴剖面相当于齿条相当于齿轮齿条啮合传动ω0切削2.3齿轮滚刀被加工齿轮为什么滚刀要倾斜一个角度呢？第40页，共75页，2023年，2月20日，星期日设计：潘存云范成法加工的特点：一种模数只需要一把刀具连续切削，生产效率高，精度高，用于批量生产。ttttγ第41页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授hf=(h*a+c*)m三、用标准齿条型刀具加工标准齿轮标准齿条型刀具比基准齿形高出c*m一段切出齿根过渡曲线。

非渐开线讨论切制原理时不考虑此部分。GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形。1.标准齿条型刀具2.用标准齿条型刀具加工标准齿轮h*am分度线分度圆ha=h*am加工标准齿轮：刀具分度线刚好与轮坯的分度圆作纯滚动。加工结果：

s＝e＝πm/2esha=h*amhf=(h*a+c*)mh*amc*mc*m顶线α=20°πm/2πm/2第42页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授PααrbrraN1O1分度圆基圆1.根切现象图示现象称为轮齿的根切。根切的后果：①削弱轮齿的抗弯强度；2.根切的原因②使重合度ε下降。四、渐开线齿廓的根切23B1PB2<PN1不根切1刀具在位置1开始切削齿间；在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；当B2落在N1点的下方：PB2<PN1

B2第43页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授PααrbrraN1O13PB2=PN1不根切1刀具在位置1开始切削齿间；在位置2开始切削渐开线齿廓；在位置3切削完全部齿廓；当B2落在N1点之上：PB2=PN1

2B1B2第44页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授O1PαN1rbr结论：刀具齿顶线与啮合线的交点B2落在极限啮合点

N1的右上方，必发生根切。根切条件为：PB2>PN1B2发生根切第45页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授B’ra2P3.渐开线齿轮不发生根切的最少齿数极限啮合点N1的位置随基圆大小变动当N1B2两点重合时，正好不根切。不根切的条件：在△PN1O1

中有：在△PB2B’

中有：代入求得：

z≥2ha*/sin2α

取α=20°,ha*=1，得:zmin=17h*am即：

zmin＝2ha*/sin2α

PN1≥P

B2=mzsinα/2PN1=rsinαPB2=ha*m/sinααrb

N1O1rα不根切刚好不根切根切N1rb1O1Pra1B2ra3∞h*am齿条型刀具比齿轮型刀具更容易发生根切。凡齿条刀不根切，则齿轮刀肯定不会发生根切，故只讨论齿条型刀具。B2rb1N1

rb3

N1第46页，共75页，2023年，2月20日，星期日标准齿轮的优点：计算简单、互换性好。缺点：①当z<zmin时，产生根切。但实际生产中经常要用到

z<zmin的齿轮。②不适合a’≠a的场合。a’<a

时，不能安装。当a’>a

时，产生过大侧隙，且ε↓③小齿轮容易坏。原因：ρ小，滑动系数大，齿根薄。希望两者寿命接近。为改善上述不足，就必须对齿轮进行变位修正。§1－9变位齿轮概述第47页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授N1αα一、加工齿轮时刀具的移位

从避免根切引入为避免根切，可径向移动刀具

xm

B2x-----为移距系数。

xmxm----移距B2靠近轮坯中心时，x<0，

负变位齿轮。规定:远离轮坯中心时，x>0，正变位齿轮。刀具中线第48页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授αrN1αO1PQ二、最小变位系数xmin当z<zmin时，为避免根切，刀具的齿顶线应移到N1或以下的位置：N1Q≥ha*m-xm∵N1Q＝N1Psinα∴x≥ha*-zsin2α/2由

zmin＝2ha*/sin2α

有：得：

x≥ha*(zmin-z)刀具最小变位系数为：

xmin=ha*(zmin-z)＝rsinαsinα＝mzsin2α/2或xm≥ha*m-N1Q(sin2α)/2＝ha*/zminh*amxminmxmxmB2第49页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授1)由于刀具一样，变位齿轮的基本参数m、z、α与标准齿轮相同，故d、db与标准齿轮也相同，齿廓曲线取自同一条渐开线的不同段。正变位齿轮

x>0hahf标准齿轮

x＝0分度圆负变位齿轮

x<02)变位齿轮的齿顶高和齿根高与标准齿轮不同三、变位齿轮的几何尺寸齿根高：hf=ha*m＋c*m－xm顶圆半径：ra=r+ha=r+(ha*+x)m齿顶高：由毛坯大小确定，若保证全齿高不变，则有：ha=(ha*+x)m第50页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授分度圆PN1基圆O1αrb3）齿厚与齿槽宽与标准齿轮不同齿厚：

s=πm/2xmtgαabc正变位：齿厚变宽，齿槽宽减薄。xmxm刀具节线变位后与轮坯分度圆相切的不是刀具的分度线，而是刀具节线，刀具节线上的齿厚减小、齿槽宽增大，则轮坯分度圆上的齿厚将增大。齿槽宽：e=πm/2+2xmtgα－2xmtgα负变位：正好相反。采用变位修正法加工变位齿轮，不仅可以避免根切，而且与标准齿轮相比，齿厚等参数发生了变化，因而，可以用这种方法来提高齿轮的弯曲强度，以改善齿轮的传动质量。且加工所用刀具与标准齿轮的一样，所以变位齿轮在各类机械中获得了广泛地应用。αB2刀具分度线acbS=πm/2s’第51页，共75页，2023年，2月20日，星期日§1－10变位齿轮传动1.正确啮合条件和连续传动条件与标准齿轮相同，即：m1=m2,α1=α2,εα≥[εα]2.中心距与啮合角无侧隙啮合时：s'1=e'2故有：p'＝

s'1+e'1

由任意圆齿厚公式得：s'1=s1r'1/r1-2r'1(invα'-invα)式中：s1＝m(π/2+2x1tgα)又

r'i/ri=s'2+e'2=s'1+s'2s'2=s2r'2/r2-2r'2(invα'-invα)，s'2=e'1s2＝m(π/2+2x2tgα)＝(rbi/cosα')/(rbi/cosα)＝

cosα/cosα’i=1,2本节讨论变位齿轮的啮合传动与设计问题第52页，共75页，2023年，2月20日，星期日代入

p'=s'1+s'2

得：上式称无侧隙啮合方程。分析：若x1+x2≠0即分度圆与节圆不重合，两分度圆分离或相交。a’≠a由

a’cosα’=acosα

知：,则α’≠α

第53页，共75页，2023年，2月20日，星期日－中心距变动系数无侧隙啮合时有：为了保证两齿轮之间具有标准的顶隙：c=c*m,则两轮的中心距为：如果无侧隙和标准顶隙同时满足，则应使：a'=a''即：y=x1+x2构造函数f(α’)=x1+x2

–y则当α’=α时有极小值x1+x2＝y第54页，共75页，2023年，2月20日，星期日可以证明：只要x1+x2≠0无侧隙和标准顶隙两个要求不能同时得到满足。解决办法：将轮齿削顶。除了x1+x2＝0之外，总有x1+x2>y，即σ>0,

轮齿总要削顶。－－称为齿顶高变动系数则x1+x2>y，即

a''>a'。第55页，共75页，2023年，2月20日，星期日3.

变位齿轮传动的类型标准齿轮传动x1＝x2＝0等变位齿轮传动x1＝-x2≠0

不等变位齿轮传动或角度变位。零传动

x1＋x2＝0

正传动

x1＋x2>0负传动

x1＋x2<0变位齿轮传动类型1.x1+x2＝0，且x1＝x2＝0标准齿轮传动（变位齿轮传动的特例）2.x1+x2＝0，且x1＝-x2≠0等变位齿轮传动（高度变位齿轮传动）有：a’=ay=0σ=0α’=αr’=r小齿轮采用正变位，x1>0，大齿轮采用负变位，x2<0第56页，共75页，2023年，2月20日，星期日两轮不产生根切的条件：x1≥ha*(zmin-z1)/zmin

x2≥ha*(zmin-z2)/zmin两式相加，设ha*＝1，则有：

x1+x2≥[2zmin-(z1+z2)]/zmin∵x1+x2＝0∴z1+z2≥2zmin优缺点：①可采用z1≤zmin的小齿轮，仍不根切,使结构更紧凑。②改善小齿轮的磨损情况。③相对提高承载能力，因大小齿轮强度趋于接近。④缺点：没有互换性，必须成对使用，εα略有减小。第57页，共75页，2023年，2月20日，星期日3.

x1+x2≠0

不等变位齿轮传动（角度变位齿轮传动）当x1+x2>0

称正传动，当x1+x2<0

称负传动。b)负传动时有：

a’<ay<0σ>0α’<αr’<r

齿高降低σm。优点：可以采用z1+z2<2zmin

而不根切，结构紧凑。其余同上。a)正传动时有：

a’>ay>0σ>0α’>αr’>r

齿高降低σm优缺点：与正传动相反。仅用于配凑中心距的场合。缺点：没有互换性，须成对使用，因齿顶降低使εα↓第58页，共75页，2023年，2月20日，星期日4.变位齿轮传动的设计步骤一、已知中心距的设计1)计算啮合角：α’＝arccos(acosα/a’)2)确定变位系数之和：

x1+x2＝(invα’－invα)(z1+

z2)/2tgα

3)确定中心距变动系数：

y=(a’－a)/m4)确定齿顶高变动系数：

σ＝(x1+x2)-y5)分配变位系数。6)按表10－4(P327)计算两轮的几何尺寸。已知条件是：z1、z2、m、a’

，其设计步骤如下：第59页，共75页，2023年，2月20日，星期日二、已知变位系数的设计1)计算啮合角：

invα’＝2tgα(x1+x2)/(z1+z2)+invα2)确定中心距:a’＝acosα/cosα’

3)确定y和σ：

y=(a’－a)/m,σ＝x1+x2－y

4)计算两轮的几何尺寸。已知条件是：z1、z2、m、x1、x2，其设计步骤如下：第60页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授§1－11平行轴斜齿轮传动一、斜齿轮的共轭齿廓曲面考虑齿轮宽度，则直齿轮的齿廓曲面是发生面在基圆柱上作纯滚动时，发生面内一条与轴线平行的直线KK所展成的曲面。直齿轮：啮合线→啮合面两基圆的内公切面啮合点→接触线，即啮合面与齿廓曲面的交线。啮合特点:

沿齿宽同时进入或退出啮合。突然加载或卸载，运动平稳性差，冲击、振动和噪音大。斜直线KK的轨迹－斜齿轮的齿廓曲面→螺旋线渐开面Kβb

－基圆柱上的螺旋角KK线上每一点都产生一条渐开线，其形状相同而起始点不在同一条母线上发生面

基圆柱发生面AKAAAβbKK第61页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授12βb啮合面基圆柱渐开线螺旋面KK齿面接触线齿面接触线始终与K-K线平行并且位于两基圆的公切面内。第62页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授啮合特点:接触线长度的变化：短→长→短加载、卸载过程是逐渐进行的→传动平稳、冲击、振动和噪音较小，适宜高速、重载传动。在端面内，斜齿轮的齿廓曲线为渐开线，相当于直齿圆柱齿轮传动，满足定传动比要求。第63页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授作者：潘存云教授β二、斜齿轮的基本参数1.斜齿轮的螺旋角将分度圆柱展开，得一矩形，有：tgβ=πd/l其中αt为端面压力角。πdπdb同理，将基圆柱展开，也得一矩形，有：tgβb=πdb/ll得：

tgβb/tgβ=db/d∴

tgβb=tgβcosαt=cosαtβ定义分度圆柱上的螺旋角为斜齿轮的螺旋角β

。判别方法：观察者面向齿轮，轴线呈铅垂状，作齿向线，若偏在轴线的右方，为右旋；反之为左旋。dββb右旋β左旋β第64页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授B法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。2.模数mn、mt将分度圆柱展开，得一矩形，pn=ptcosβ将pn＝πmn,pt＝πmt

代入得：βpt

β作者：潘存云教授可求得端面齿距与法面齿距之间的关系：斜齿轮的齿面为螺旋渐开面，其法面齿形和端面齿形不一样，参数也不一样。切削加工时，刀具沿齿槽方向运动，故法面内的齿形与刀具的齿形一样，取标准值。计算时，按端面参数进行，故应建立两者之间的关系。端面是圆，而法面不是圆πdmn=mtcosβnn

pn第65页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授b'a'c压力角：αn、αt用斜齿条说明：ββ在△a’b’c’中，有：∠a’b’c=αn

在△abc中,有：∠abc=αt由

ab=a’b’,a’c=accosβ

得：tgαn=

tgαtcosβ

3.斜齿轮传动的几何尺寸不论在法面还是端面，其齿顶高和齿根高一样：h*an－法面齿顶高系数，han*＝1c*n－法面顶隙系数,

c*n＝0.25过c点作轮齿的法剖面在法面和端面内齿高一样,tgαn=a’c/a’b’tgαt=ac/ab

ha=h*anmnhf=(h*an+c

*n)mnαnabαtcaa’β第66页，共75页，2023年，2月20日，星期日分度圆直径：

d=zmt=zmn/cosβ中心距：

a=r1+r2可通过改变β来调整a的大小。4.一对斜齿圆柱齿轮的正确啮合条件啮合处的齿向相同。外啮合:

β1＝-β2mn1=mn2

，αn1=αn1

mt1=mt2

，αt1＝αt2一对斜齿轮的正确啮合条件，除了模数和压力角应分别相等外，其螺旋角必须匹配。=mn(z1+z2)/2cosβ

内啮合：β1＝β2变位修正，刀具移动量

△r＝△n＝△t,有：

△r＝xtmt得：

xt

＝xncosβ

其他尺寸详见P336表10－5＝xnmn＝xn

mt

cosβ第67页，共75页，2023年，2月20日，星期日作者：潘存云教授BB2B25.