集合补课习题

集合补课习题集合元素的“三性”及其应用集合的特征是学好集合的基础解集合题的关键它主要指集合元素的确定性互异性和无序性些质为我们提供了题的依据别是元素的互异性有慎易错面就集合元素的这三个性质及应用加以说明．一、注意正确理解其意义1．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的个集合中的任何两个元素都是不同的对象同对象归入任一个集合时能为这个集合的一个元素．3序性由于集合中元素是确定且互异的素完全相同的集合是相等的集合此集合中的元素与顺序无关．二、注意正确利用“三性”解题例下命题正确的有哪几个？⑴很小的实数可以构成集合集1集5不同的集合集5集，同一个集合；⑷由∣∣0.5这数组成的集合有5个素．分析题主要考查对集合念的理解这问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断．解很小一模糊概念有明确的标准我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此小的实数”不能构成集合，故⑴错．⑵1，｝由两个数1，组成的集合，根据集合元素的无序性，它51是同一个集合，故⑵错．⑶，由个点（1，）成的单元素集合，由于（1，）（，）示两个不同的点，所以，不同的两个集合，故⑶错．⑷＝，∣－∣＝，因此，由，∣－∣0.5这数组成的集合为有个素因此，⑷也错．例已集合Ａ＝｛，＋，2＝｛中Ａ＝Ｂ，求的值．分析本最常见的错误是认为两个集合的对应项相同出相应的关系式然求出的值，这显然违背了集合的无序性．解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的无序性，∴有以下两种情形：①消去，解得＝，此时＝，与集合中元素的互异性矛盾，1．②消去，解得＝－，或（去的值为．评注本中利集合元素的序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组开了解题的大门求值后又利用了集合元素的互异性进行检验证了所求的结果的准确性．例设＝｛ｘ∣＋（ｂ2）＋ｂ1＝，ｂＡ中所有元素之和．错解：由＋（ｂ2）＋ｂ＋＝得（＋＋＋）＝０（）ｂ＝０，1＝－，时Ａ中的元素之和为2．

（）ｂ０时1＋x2＝ｂ．分析上述解法错在）上，当ｂ＝０时，方程有二重根，集合Ａ＝｛元之和为－，错的原因是忽视了集合中元素的“互异性，列举法表示合时，要特别注意元素的“互异性例4已集合，，＝+4-2,2-}，求．分析：∵AB={3,7}∴+4+2=7．即=1，=－至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合，集合B中元素是什么它否满足元素的互异有于进一检查．=－时2－=7，在B中重复出这与元素的互异性相矛盾，故应舍－．=1时B={0,7,3,1}且AB={3,7}∴=1评注集元素的确定性，互异序在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．集合学习中的错误种种数学是一门严谨的学科在合习中由对概念理解不清或考虑问题不全面等稍不留心就会不知不觉地产生错误文归纳集合学习中的种种错误期助同学们避免此类错误的再次发生．一、混淆集合中元素的形成例集，则．错解：解方程组得剖析：产错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式淆集与数集集合中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而是点集，而不是数集．二、忽视空集的特殊性例已，若则的值为．错解：由得由得或3或剖析由忽视空集的特殊性――集是任何集合的子集生丢解的错误以上只讨论了的情形，还应讨论的情形，当时的值为．三、忽视集合中的元素的互异性这一特征例已集合，且求的值．错解：，必有或剖析由忽视集合中元素应互这一特征产生增解的错误．求出的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上当，不足中元素应互异这一特征，故应舍去．（）时，满足且集合中元素互异．

的值为1．四、没有弄清全集的含义例设集，求值．错解：且或剖析：没有正确理解全集的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（）时，此时满足．（）时，应舍去五、没有弄清事物的本质例若试问是否相等．错解：剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上是偶数集，也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．换句话说，两集合中所含元素完全相同，六、误用数学符号例用填空错解：错误的原因在于没有弄清符号“”与“”之间的区别“”表示元素与集合之间的关系表示集合与集合之间的关系，表示集合，亦是集合集合中的数学思想方法例析数学思想和数学方法是数学的灵魂知识转化为能力的桥梁息会越来越多的要求人们自觉地运用数学思想提出问题和用数学方法解决问题几年的高考数学试题来越注重对数学思想和数学方法的考查已成为高考热点问题帮助同学们更好地理解和掌握最常用的基本数学思想和数学方法合学们已经学过的集合中有关的数学思想方法要点归纳如下，以扩大读者的视野．一、等价转化思想在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式：=B或将=A转为，将转化为，将转化为等．例已M={(x，y)|=x＋a}，，y=2}，使=立的实数a的值围。解：等于方程组无解。把＋代方程x＋中消去y，得关于x的一元二次方程2x＋2ax＋－。问题又转化为一元二次方程①无实根，即eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)－××(a－0由此解得a＞或a＜－。故所求实数a的值范围{＞或＜－。

评析在解集合符号的基础上确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题后用所学的知识和方法把问题解决化可以把抽象知识用简洁的学语言表达出来，提高解题效率．二、分类讨论思想解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行为时研究的数学对象已包含了多种可能的情形须定一个标准这标准划分成几个用不同形式去解决的小问题些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法．例设合A={x|＋4x，，={x|＋＋＋－，，，若，求实数a的值范围。分析：可分为B=，，=A三种情况讨论。解：∵，－，∴分以下三种情况：⑴当A时B={0，，由此知0和4是程＋＋＋－1=0的个根，由根与系数之间的关系，得：a=。⑵当BA，又可分为：①时，eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)＋1)－－0解得＜－；②≠B={0}或B={－并eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)4(a＋－4(a－解得a=－此B满足题意。综合⑴、⑵知，所求实数a的值为≤1或a=。评析解类讨论问题的实质是整体化为部分来解决于含参数的计划问题常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，=时也满足BA．所以中应考虑B=B≠种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论．三、开放思想开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题．例设合A={(xy)|y－－0}，集合By)|＋－2y＋=0}集合Cy)|ykx＋}，是否存在k，，使得？若存在，请求出，b的值；若不存在，请说明理由．解：因为，即，所以且．将＋代入－x－1=0得kx(2kb－＋－1=0，因为，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(2kb－－－＜，－＋＜，若此不等式有解，应有16b－16＞，＞．又将ykx＋代4x－＋0，得：＋2k)x－2b)=，因为，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(22k)－－，即－＋－＜，此不等式有解，应有4－4(8b－＞，得b．②由不等式①、②及，b=．将=代入由eq\o\ac(△,0)和＜组的不等式组，得，再注意到kN，得．故存在自然数k=1，b=2使．评析：在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯型在否型)否存在论型)”形式出现在就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证存”结论

有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．高考中解集合问题的几种方法集合是历来高考查的重要内容之一整个高中内容的基础由于集合知识的抽象性给处理集合问题带来一定的困难，为此结合历年高考集合题，例析解集合问题的几种常用方法，供参考。数轴法由实数与数轴上的点对应关系以数轴上的点或区间表示数集而观形象地分析问题和解决问题。例(2005年天津理工高设合－≥，∈，≥，∈}则∩=()A．－，－2．－，2∪，C．－，3)∪∞D－，3)∪，∞解：集合1|≥，∈≥x≤－2，xR}集合≥，∈}={x|x<－或x≥，把集合和集合所表示的范围在数轴上表示出来，可得AB=(－，3)∪，∞例(2005年重庆理工高集合A={∈－－0}，∈R||x－<2}，∩=___________。解：∈－6<2<x<B={x∈－<2}={x|0x<把合A和集合所表示的范围在数轴上表示出来，可得∩={x|0<例3(2005年南理工高集合，={x||x－b|<，a=1是A∩φ”的充分条件，则b的值范围可以().．－≤0．．≤。．－<b<－D－≤b<解：集合A={x|}={x|－，当“=1“时B={x||xb|<1}=－1b<+以上两个图都ABφ，因为“a=”“∩Bφ”充分条件，由图可得－≤，故选。性质法在解集合问题时，用常用性质求解，往往快捷迅速，如CA∪C(AB)，∩A∪φA=,φ∪φA，集合A中有n个素其子集个为真子集个数为2－等。例4(2000年季高考设集U={a，，，，e}，合A={a，，，，，，那么CA∩CB（A．φ．．，．，解：CB=C(∪CU=φ，选A.例年国高)设集12，集合，2，合B={234}则∪CB(A．{0}．，C．{01，D．，，，，解：因为A∩，，∪C(∩，，故C.

例年津文史高)集合≤且x的子集个数)A．16B．C7D．解：集合，，共个素，其真子集个数为2－故选列举法对于