2020-2021学年河南省信阳市高二上学期期末教学质量检测数学（理）解析版

2020-2021学年河南省信阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．命题p：“”的否定￢p为（）A．B．C．D．2．在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，＝（）A．B．C．D．3．若a＞b＞0，则下列不正确的是（）A．B．C．a+1＞b+1D．4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为（）A．fB．fC．fD．f5．双曲线C：＝1的渐近线方程为（）A．B．y＝±xC．D．y＝±2x6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知2ccosB﹣bcosA＝acosB，则角B＝（）A．B．C．D．7．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，则a2020+b2020＝（）A．4043B．4041C．4039D．40378．方程|x|+＝2所表示的曲线大致形状为（）A．B．C．D．9．设a＞0，b＞0，若a+b＝4，则的最小值为（）A．B．C．D．10．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“凯森和”．已知数列1，2，4，a的“凯森和”为6，则a＝（）A．6B．5C．4D．311．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+2ab＝a2+b2+6，若△ABC的面积为，则tanC的值为（）A．B．C．1D．12．已知圆＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，点N是圆C1上一点，点M是抛物线C2上一点，则|MF|+|MN|的最小值为（）A．1B．C．4D．5二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为（填一个满足条件的值即可）．14．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为．15．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|等于C的半实轴长，则C的离心率为．16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB＝30m，，CD＝50m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD＝m．三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第17题～第21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必考题17．在①b2﹣a2﹣c2＝ac，②2a+c＝2bcosC，③4S＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．△ABC的面积为S，且______．（1）求角B；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的周长．18．已知等差数列{an}满足a3＝4，a5＝6，数列{log2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列．（1）求an和bn；（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2AD＝2AB＝2SD＝4，SD⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面SBD；（2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，F为右焦点，B为C的上顶点，且|FB|＝2．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y＝x﹣1与C相交于P，Q两点，求△OPQ的面积．21．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF＝km，FE＝3km，EC＝km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y＝（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？选考题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）点Q为曲线C上的动点，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣7|+|2x﹣5|．（1）求函数f（x）的最小值m；（2）在（1）的条件下，正数a，b满足a2+b2＝m，证明：a+b≥2ab．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题p：“”的否定￢p为（）A．B．C．D．解：根据命题否定的概念知，￢p为，sinx0≥cosx0，故选：C．2．在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，＝（）A．B．C．D．解：故选：B．3．若a＞b＞0，则下列不正确的是（）A．B．C．a+1＞b+1D．【解答】对于A，，∵a＞b＞0，∴＜0，即，故A正确；对于B，由均值不等式可知，当a＞b＞0时，＞，故B正确；对于C，∵a＞b＞0，∴a+1＞b+1，故C正确；对于D，取a＝4，b＝1，而，＜，故D不正确．故选：D．4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第六个单音的频率为（）A．fB．fC．fD．f解：由题意知，十三个单音的频率构成等比数列{an}，a1＝f，q＝，∴第六个单音的频率．故选：B．5．双曲线C：＝1的渐近线方程为（）A．B．y＝±xC．D．y＝±2x解：双曲线的渐近线方程为，即，故选：C．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a、b、c，已知2ccosB﹣bcosA＝acosB，则角B＝（）A．B．C．D．解：因为2ccosB﹣bcosA＝acosB，所以2sinCcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB，所以2sinCcosB＝sin（A+B）＝sinC，因为sinC≠0，所以cosB＝，因为B∈（0，π），所以B＝．故选：B．7．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，则a2020+b2020＝（）A．4043B．4041C．4039D．4037解：∵{an}，{bn}均为等差数列，且a1+b1＝1，a2+b2＝3，∴数列{an+bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a2020+b2020＝1+2019×2＝4039．故选：C．8．方程|x|+＝2所表示的曲线大致形状为（）A．B．C．D．解：方程|x|+＝2，表示的曲线关于x，y轴对称，只看第一象限，当x＞0，y＞0时，方程可变为，y＝（x﹣2）2，x∈（0，2]，且x＝0时，y＝4，只有D符合题意，故选：D．9．设a＞0，b＞0，若a+b＝4，则的最小值为（）A．B．C．D．解：∵a＞0，b＞0，a+b＝4，∴，当且仅当，即时取等号，故选：A．10．设有穷数列{an}的前n项和为Sn，令Tn＝，称Tn为数列a1，a2，…，an的“凯森和”．已知数列1，2，4，a的“凯森和”为6，则a＝（）A．6B．5C．4D．3解：由已知可得＝6，∴a＝6，故选：A．11．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2+2ab＝a2+b2+6，若△ABC的面积为，则tanC的值为（）A．B．C．1D．解：由题意c2＝a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣2abcosC，即﹣2ab+6＝﹣2abcosC，即ab（1﹣cosC）＝3①，②联立①②得，整理得，即，又0＜C＜π，∴，∴，∴，故选：B．12．已知圆＝1和焦点为F的抛物线C2：y2＝8x，点N是圆C1上一点，点M是抛物线C2上一点，则|MF|+|MN|的最小值为（）A．1B．C．4D．5解：过点M作直线x＝﹣2的垂线，垂足为H，则|MF|＝|MH|⋅|MF|+|MN|＝|MH|+|MC1|﹣1，故M是过圆心向准线x＝﹣2所作垂线与C2的交点，即；|MF|+|MN|的最小值为3+2﹣1＝4．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知p：x＜m，q：﹣1≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则m的值可能为4（填一个满足条件的值即可）．解：p是q的必要不充分条件，所以[﹣1，3]⫋（﹣∞，m），则m＞3，故答案不唯一，只需填大于3的数即可．故答案为：4．14．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为6．解：实数x，y满足的可行域为如图所示阴影部分，由解得A（2，2），把y＝﹣2x+z，平移，当直线经过点A（2，2）时，z取最大值，最大值为z＝6．故答案为：6．15．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|等于C的半实轴长，则C的离心率为．解：不妨设双曲线，焦点F（﹣c，0），对称轴y＝0，由题设知，∴，由，得a2＝2b2，∴c2＝2b2+b2＝3b2，∴，∴．故答案为：．16．伴随着国内经济的持续增长，人民的生活水平也相应有所提升，其中旅游业带来的消费是居民消费领域增长最快的，因此挖掘特色景区，营造文化氛围尤为重要．某景区的部分道路如图所示，AB＝30m，，CD＝50m，∠ABC＝∠BCD＝45°，要建设一条从点A到点D的空中长廊，则AD＝40m．解：由题可知∠ABC＝∠BCD＝45°，所以AB∥CD．由，则，，，，所以，则．故答案为：40．三、解答题：包括必考题和选考题两部分，第17题～第21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生任选一题作答。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（一）必考题17．在①b2﹣a2﹣c2＝ac，②2a+c＝2bcosC，③4S＝这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线处，并作出解答．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．△ABC的面积为S，且______．（1）求角B；（2）若a＝2，b＝2，求△ABC的周长．解：（1）若选①，因为b2﹣a2﹣c2＝ac，可得，又B∈（0，π），可得．若选②，由2a+c＝2bccosC，由正弦定理可得：2sinA+sinC＝2sinBcosC，即2sin（B+C）+sinC＝2sinBcosC，整理得sinC（2cosB+1）＝0，而sinC≠0，可得，又B∈（0，π），可得．若选③，由，得，即，又B∈（0，π），可得．（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，即，解得c＝2或c＝﹣4（舍去），可得△ABC周长．18．已知等差数列{an}满足a3＝4，a5＝6，数列{log2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列．（1）求an和bn；（2）若cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．解：（1）依题意，2d＝6﹣4＝2，∴d＝1，∴a1＝2，∴an＝2+（n﹣1）＝n+1，∵数列{log2bn}是以1为首项，公差为1的等差数列，∴log2bn＝1+（n﹣1）＝n，即．（2）由（1）得，∴，①，②①﹣②得＝＝﹣n⋅2n+1，∴．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2AD＝2AB＝2SD＝4，SD⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面SBD；（2）若点M是线段SC的中点，求平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD＝2，∴，又∵CD＝4，∴CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又∵SD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SD，∵SD∩BD＝D，BD⊂平面SBD，SD⊂平面SBD，∴BC⊥平面SBD．（2）如图，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），S（0，0，2），M（0，2，1），由（1）得平面SBD的一个法向量为，设n＝（x，y，z）为平面ABM的一个法向量，由，得，不妨取，设平面SBD与平面ABM所成的角为θ，∴|cosθ|＝，即平面MAB与平面SBD所成锐二面角的余弦值为．20．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，F为右焦点，B为C的上顶点，且|FB|＝2．O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y＝x﹣1与C相交于P，Q两点，求△OPQ的面积．解：（1）由|FB|＝2得a＝2，又∴∴b2＝a2﹣c2＝1故C的方程为．（2）解法1：联立直线与椭圆方程：，化简得5x2﹣8x＝0，∴x＝0或x＝，∴，∴＝，∴O到直线y＝x﹣1的距离，∴．解法2：联立直线与椭圆方程：，消去x得5y2+2y﹣3＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∴．21．如图，河的两岸，分别有生活小区ABC和DEF，其中AB⊥BC，EF⊥DF，DF⊥AB，C，E，F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得AB＝3km，BC＝4km，DF＝km，FE＝3km，EC＝km．若以OA，OD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系xoy，则河岸DE可看成是曲线y＝（其中a，b为常数）的一部分，河岸AC可看成是直线y＝kx+m（其中k，m为常数）的一部分．（1）求a，b，k，m的值；（2）现准备建一座桥MN，其中M，N分别在DE，AC上，且MN⊥AC，设点M的横坐标为t．①请写出桥MN的长l关于t的函数关系式l＝f（t），并注明定义域；②当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？解：（1）由题意得：OD＝BC＝4，OB＝FC，∴D（0，），E（3，4），A（，0），C（，4），把D（0，），E（3，4）代入y＝得：，解得：a＝﹣4，b＝﹣7，把A（，0），C（，4）代入y＝kx+m得：，解得：k＝，m＝﹣2；（2）由（1）得：M点在y＝上，∴M（t，），t∈[0，3]，①桥MN的长l为MN到直线y＝x﹣2的距离，故l＝f（x）＝＝|4t+﹣9|，t∈[0，3]；②由①得：f（t）＝|4t+﹣9|＝|4（t﹣4）++7|，而t﹣4＜0，＜0，∴4（t﹣4）+≤﹣2＝﹣12，当且仅当4（t﹣4）＝时即t＝“＝”成立，∴f（t）min＝|﹣12+7|＝1．选考题请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作