高考数学（文）二轮培优（全国通用版）讲义考前冲刺三第四类

第四类概率问题重在“辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的概率模型，只要找到模型，问题便迎刃而解.而概率与统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，同时，还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理分划复杂事件.【例4】(2018·合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x[11，13)[13，15)[15，17)[17，19)[19，21)[21，23]频数2123438104(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x的平均数和众数；(2)若x<13或x≥21，则该产品不合格.现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率.解(1)频率分布直方图为(辨析1)估计平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝12×0.02＋14×0.12＋16×0.34＋18×0.38＋20×0.10＋22×0.04＝17.08.(辨型1)由频率分布直方图，x∈[17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.(2)记技术指标值x<13的2件不合格产品为a1，a2，技术指标值x≥21的4件不合格产品为b1，b2，b3，b4，(辨析2)则从这6件不合格产品中随机抽取2件包含如下基本事件(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15个基本事件.记抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8个基本事件.故抽取2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率为P＝eq\f(8,15).(辨型2)探究提高1.概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算.2.求解该类问题要注意两点：(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.【训练4】(2018·日照一模)共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网＋”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50，60)，[60，70)，…，[90，100]分成5组，请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题：频率分布表组别分组频数频率第1组[50，60)80.16第2组[60，70)a■第3组[70，80)200.40第4组[80，90)■0.08第5组[90，100]2b合计■■频率分布直方图(1)求出a，b，x，y的值；(2)若在满意度评分值为[80，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求2人中至少一人来自第5组的概率.解(1)由题意可知，eq\f(8,2)＝eq\f(0.16,b)，解得b＝0.04；∴样本容量n＝eq\f(8,0.16)＝50，∴[80，90)内的频数为50×0.08＝4，a＝50－8－20－4－2＝16；∴[60，70)内的频率为eq\f(16,50)＝0.32，∴x＝eq\f(0.32,10)＝0.032；又[90，100]内的频率为0.04，∴y＝eq\f(0.04,10)＝0.004.(2)由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，设第4组的4人分别为a1，a2，a3，a4；第5组的2人分别为b1，b2；则从中任取2人，所有基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15个.又至少一人来自第5组的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a