高考数学（文）一本培养专题突破讲义第2部分专题6第11讲函数的图象与性质

第11讲函数的图象与性质高考统计·定方向热点题型真题统计命题规律题型1：函数的表示、图象及应用2018全国卷ⅠT12；2018全国卷ⅠT13；2018全国卷ⅠT32018全国卷ⅢT9；2017全国卷ⅠT8；2017全国卷ⅢT72017全国卷ⅢT16；2016全国卷ⅠT9；2016全国卷ⅡT102015全国卷ⅠT10；2015全国卷ⅡT11；2015全国卷ⅡT132014全国卷ⅠT151.函数的图象与性质是历届高考重点考查内容之一，以选择、填空题的形式呈现.2.题目多出现在7~12或13~15题位置上，以中档题为主.题型2：函数的性质及应用2018全国卷ⅡT12；2018全国卷ⅢT7；2018全国卷ⅢT162017全国卷ⅠT9；2017全国卷ⅡT8；2017全国卷ⅡT142016全国卷ⅢT7；2014全国卷ⅠT5；2014全国卷ⅡT15题型1函数的表示、图象及应用■核心知识储备·函数的图象(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|等的相互关系．(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．■高考考法示例·【例1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,2x，x＞0，))则满足f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＞1的x的取值范围是________．(1)D(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))[(1)法一：易得函数y＝－x4＋x2＋2为偶函数，y′＝－4x3＋2x＝－2x(eq\r(2)x＋1)(eq\r(2)x－1)，令y′>0，即2x(eq\r(2)x＋1)(eq\r(2)x－1)<0，解得x<－eq\f(\r(2),2)或0<x<eq\f(\r(2),2)，所以当y′<0时，－eq\f(\r(2),2)<x<0或x>eq\f(\r(2),2)，所以函数y＝－x4＋x2＋2在－∞，－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(2),2)上单调递增，在－eq\f(\r(2),2)，0，eq\f(\r(2),2)，＋∞上单调递减，故选D.法二：令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝1，y＝2而当x＝eq\f(\r(2),2)时，y＝－eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(9,4)＞2，所以排除C.选D.(2)由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤eq\f(1,2)，x>eq\f(1,2)三段讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋eq\f(1,2)>1，解得x>－eq\f(1,4)，∴－eq\f(1,4)<x≤0.当0<x≤eq\f(1,2)时，原不等式为2x＋x＋eq\f(1,2)>1，显然成立．当x>eq\f(1,2)时，原不等式为2x＋2x－eq\f(1,2)>1，显然成立．综上可知，x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞)).][方法归纳]函数图象的判断方法,?1?根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置.?2?根据函数的单调性，判断图象的变化趋势.?3?根据函数的奇偶性，判断图象的对称性.?4?根据函数的周期性，判断图象的循环往复.?5?取特殊值代入，进行检验.■对点即时训练·1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()D[利用导数研究函数y＝2x2－e|x|在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断．∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选D.]2．(2018·烟台模拟)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0＜x＜1，,2?x－1?，x≥1.))若f(a)＝f(a＋1)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A．2B．4C．6D．8C[当0＜a＜1时，a＋1≥1，f(a)＝eq\r(a)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴eq\r(a)＝2a，解得a＝eq\f(1,4)或a＝0(舍去)．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1≥2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∴2(a－1)＝2a，无解．综上，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝6.]3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)C．(－1,0) D．(－∞，0)D[当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x＋1)<f(2x)，则需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1<0，,2x<0，,2x<x＋1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2x<0，))所以x<0，故选D.]题型2函数的性质及应用■核心知识储备·1．与函数的单调性有关的两个结论(1)若f(x)在定义域上单调递增，则f(x1)＜f(x2)?x1＜x2；若f(x)在定义域上单调递减，则f(x1)＜f(x2)?x1＞x2.(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)，u＝g(x)单调性的关系是：“同增异减”．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f?x?)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f?x?)，则T＝2a.(a＞0)．3．与函数对称性有关的三条结论(1)函数y＝f(x)关于x＝eq\f(a＋b,2)对称?f(a＋x)＝f(b－x)；特例：函数y＝f(x)关于x＝a对称?f(a＋x)＝f(a－x)?f(x)＝f(2a－x)．(2)函数y＝f(x)关于点(a,0)对称?f(a＋x)＋f(a－x)＝0?f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数y＝f(x)关于点(0,0)对称?f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．(3)y＝f(x＋a)是偶函数?函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；y＝f(x＋a)是奇函数?函数y＝f(x)关于(a,0)对称．■高考考法示例·【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则()A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称(3)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,x)i＝()A．0B．m C．2m D．4m(1)C(2)C(3)B[(1)法一：因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(1－x)＝f(1＋x)，所以当x＝1时，f(2)＝f(0)＝0；当x＝2时，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；当x＝3时，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.综上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.法二：取一个符合题意的函数f(x)＝2sineq\f(πx,2)，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.(2)f(x)的定义域为(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．设u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，则u＝－x2＋2x在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y＝lnu在其定义域上单调递增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．∴选项A，B错误．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴选项C正确．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒为0，∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D错误．故选C.(3)根据函数y＝f(x)与y＝|x2－2x－3|的图象都关于直线x＝1对称求解．∵f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．又y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|的图象关于直线x＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x＝1对称．当m为偶数时，eq\i\su(i＝1,m,x)i＝2×eq\f(m,2)＝m；当m为奇数时，eq\i\su(i＝1,m,x)i＝2×eq\f(m－1,2)＋1＝m.故选B.][方法归纳]根据函数的对称性，判断函数的周期性一般地，①若函数f?x?的图象既关于点?a，0?对称，又关于点?b，0??b≠a?对称，则函数f?x?是以2|a－b|为周期的周期函数；②若函数f?x?的图象既关于直线x＝a对称，又关于直线x＝b?b≠a?对称，则函数f?x?是以2|a－b|为周期的周期函数；③若函数f?x?的图象既关于点?a，0?对称，又关于直线x＝b?b≠a?对称，则函数f?x?是以4|a－b|为周期的周期函数.(教师备选)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，?x∈R，f(x－1)＝f(x＋1)成立，当x∈(0,1)且x1≠x2时，有eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)＜0.给出下列命题：①f(1)＝0；②f(x)在[－2,2]上有5个零点；③点(2018,0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；④直线x＝2018是函数y＝f(x)图象的一条对称轴．则正确命题的序号是________．①②③[令f(x－1)＝f(x＋1)中x＝0，得f(－1)＝f(1)．∵f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，故①正确；由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2)＝f(0)＝0，又当x∈(0,1)且x1≠x2时，有eq\f(f?x2?－f?x1?,x2－x1)＜0，∴函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数的简图如图：由图知②③正确，④不正确，∴正确命题的序号为①②③.]■对点即时训练·1．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)B[法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝lnx的图象上，所以y＝ln(2－x)．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y＝lnx的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.]2．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]D[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]3．若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－∞，4) B．(－4,4]C．(－∞，4)∪[2，＋∞) D．[－4,4)D[由题意得x2－ax－3a＞0在区间(－∞，－2]上恒成立且eq\f(a,2)≥－2，即(－2)2－a(－2)－3a＞0且a≥－4，解得实数a的取值范围是[－4,4)，选D.]4．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]1．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2)的图象大致为()B[因为f(－x)＝eq\f(e－x－ex,?－x?2)＝－eq\f(ex－e－x,x2)＝－f(x)(x≠0)，所以f(x)是定义域上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称，排除选项A；因为f(1)＝e－eq\f(1,e)>2，所以排除选项C，D，选B.]2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)D[由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间．∵函数t＝x2－2x－8