高考数学理科二轮复习导学案直线与圆专题

直线与圆考向一：直线与圆的位置关系1、设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2、（1）求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可写出切线方程．（2）求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的两种方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出3、求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆C的半径为r，则|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代数法：将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)．则|AB|＝eq\r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)1、［2016?全国Ⅱ，4］圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4) C．eq\r(3) D．2解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).故选A.2、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.3、直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)]D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析∵直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，则|AB|＝2eq\r(2).点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，圆心为(2,0)，∴圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[eq\r(2)，3eq\r(2)]，则S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2,6]，故选A.4、［2016?全国Ⅲ，16］已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________.解析由题意可知直线l过定点(－3，eq\r(3))，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，eq\r(3))，由于|AB|＝2eq\r(3)，r＝2eq\r(3)，所以圆心到直线AB的距离为d＝eq\r(?2\r(3)?2－?\r(3)?2)＝3，又由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，所以直线l的斜率k＝－m＝eq\f(\r(3),3)，即直线l的倾斜角为30°.如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以|CH|＝2eq\r(3)，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.5、［2017?江苏卷，13］在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案[－5eq\r(2)，1]设P(x，y)，则eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－12－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，6－y)．∵eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤20，∴(－12－x)·(－x)＋(－y)·(6－y)≤20，即2x－y＋5≤0.如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与⊙O交于E，F两点，∵P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，∴点P在eq\x\to(EDF)上．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝50，,2x－y＋5＝0))得F点的横坐标为1.又D点的横坐标为－5eq\r(2)，∴P点的横坐标的取值范围为[－5eq\r(2)，1]．考向二：圆的方程综合问题1、［2018?全国Ⅱ，19］(本小题满分12分)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解(1)由题意，得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1?，,y2＝4x，))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由题设知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此，l的方程为y＝x－1.(2)由(1)，得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,?x0＋1?2＝\f(?y0－x0＋1?2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此，所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.2、［2017?全国Ⅲ，20］已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋2，,y2＝2x))可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝eq\f(y\o\al(2,1),2)，x2＝eq\f(y\o\al(2,2),2)，故x1x2＝eq\f(?y1y2?2,4)＝4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为eq\f(y1,x1)·eq\f(y2,x2)＝eq\f(－4,4)＝－1，所以OA⊥OB，故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝eq\r(?m2＋2?2＋m2).由于圆M过点P(4，－2)，因此eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－eq\f(1,2).当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为eq\r(10)，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－eq\f(1,2)时，直线l的方程为2x＋